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1、引论§
1、数值分析及其特点
1、数值分析及其主要内容数值分析也称计算方法,主要研究用计算机求解数学问题的数值方法及理论,内容主要包括1数值逼近—插值与拟合、多项式逼近、有理逼近等Ch2~Ch3;2数值积分与微分Ch4;3数值代数—求解方程组以及特征问题的数值方法Ch6~Ch9;4常微分方程的数值解法Ch
52、数值分析的特点1首先要有可靠的理论分析,以确保算法在理论上的收敛性和数值稳定性;2其次要对计算结果进行误差估计,以确定其是否满足精度;(见例3)3还要考虑算法的运行效率,即算法的计算量与存储量例如Cooley和Tukey1965年提出FFT,,N=32K,1000倍例
1、分析用Cramer法则解一个阶线性方程组的计算量解计算机的计算量主要取决于乘除法的次数用Cramer法则解一个阶线性方程组需计算个阶行列式,而用定义计算阶行列式需次乘法,故总计共需此外,还需次除法当时,计算量约为次乘法即使用每秒百亿次乘法的计算机,也需计算3000多年才能完成可见,Cramer法则仅仅是理论上的,不是面向计算机的§
2、数值分析中的误差
1、误差的类型与来源1模型误差;2观测误差;3截断误差方法误差—模型的准确解与数值方法准确解之间的误差;4舍入误差—实数形式的原始数据与有限字长的计算机数据之间的误差数值分析主要研究截断误差与舍入误差例
2、根据Taylor展式计算误差小于
0.01解截断误差舍入误差
2、误差的基本概念1误差与误差限设为某量的精确值,为的一个近似值,则称为的(绝对)误差,为的相对误差用某种方法确定的误差的某个上界称为的误差限,显然,即,称为的相对误差限误差限取决于测量工具和计算方法2函数值的计算误差设,为的近似值,则多元函数一阶Taylor展式,§
3、算法的数值稳定性与病态问题
1、算法的数值稳定性例
3、计算,并做误差分析解算法1,结果见下表又算法2,结果见下表n算法1算法2准确值
01234560.
18230.
08850.
05750.
04580.
02080.0958-
0.
31250.
18230.
08840.
05800.
04310.
03440.
02810.
02620.
18230.
08840.
05800.
04310.
03430.
02850.0243误差分析:算法1,即在计算过程中误差放大了倍算法2,即误差缩小了倍定义1若某算法受初始误差或计算过程中产生的舍入误差的影响较小,则称之是数值稳定的,反之称为不稳定算法
2、病态问题例
4、将方程,即改为摄动方程,即,其中Wilkinson用精密方法计算出其根为令,其根为,则当时,显然反映了初始数据的微小摄动对的影响程度即问题的条件数因,故146810~1920(坏条件问题)定义2若初始数据的微小误差都会对最终的计算结果产生极大的影响,则称这种问题为病态问题(坏条件问题),反之称其为良态问题例
5、分别将线性方程组的右端向量和系数矩阵中数据做一个微小变化,具体数据如下然后用精确方法求解,发现其解与原方程解相比发生了很大的变化这表明此方程组为病态方程组§
4、算法的实现与常用的数学软件用计算机实现数值分析中的算法通常有两种途径1用Fortran、C、VB、VC等自编程序;2借助于现成的数学工具软件目前常用的数学软件约30余个,可分为通用与专用两大类专用系统主要是为解决数学中某个分支的特殊问题而设计的
1、SAS和SPSS(统计分析);
2、Lindo、Lingo和CPLEX(运筹与优化计算);
3、Cayley和GAP(群论研究);
4、PARI(数论研究);
5、Origin(科技绘图与数据分析);
6、DELiA(微分方程分析)等通用系统中又可分为数值计算型与解析计算型数值计算型Matlab、Xmath、Gauss、MLAB和Origin等解析计算型Maple、Mathematica、Macsyma、Axiom和Reduce等其中Matlab、Mathematica、Maple与另一个面向大众的普及型数学软件Mathcad并称数学软件中的“四大天王”Matlab意思为“矩阵实验室”,是美国计算机科学家CleveMoler在70年代末开发出的以矩阵数值计算为主的数学软件,如今已发展成为融科技计算、图形可视化与程序语言为一体的功能强大的通用数学软件Matlab最突出的特点是其带有一系列的“工具包”,可广泛应用于自动控制、信号处理、数据分析、通讯系统和动态仿真等领域高版本的Matlab也可进行符号计算,不过它的代数运算系统是从Maple移植过来的Mathematica是美国物理学家StephenWolfram开发出的第一个将符号计算、数值计算和图形显示很好地结合在一起的数学软件,在国内较为流行,拥有广泛的用户Mathcad是MathSoft公司在80年代开发的一个交互式数学文字软件,与Matlab和Mathematica不同的是,该软件的市场定位是向广大教师、学生、工程技术人员提供一个兼备文字、数学和图形处理能力的集成工作环境,而并不致力于复杂的数值计算与符号计算问题,具有面向大众普及的特点不过,新版Mathcad的计算能力已远远超出了其早期的设计目标Maple是加拿大Waterloo大学符号计算研究小组于80年代初开始研发,1985年才面世的计算机代数软件,起初并不为人们所注意,但MapleVrelease2于1992年面世后,人们发现它是一个功能强大、界面友好的计算机代数系统随着版本的不断更新,Maple已日益得到广泛的承认和欢迎,用户越来越多,声誉越来越高,从1995年以后,Maple一直在IEEE的数学软件评比中居符号计算软件的第一名目前,Maple的最高版本为MapleVrelease11第一章上机实验目的
1、熟悉Maple中的定义函数、解方程、积分、循环语句和列表等命令;
2、通过具体问题的计算,加深对数值稳定性和病态问题的理解实验内容
1、设,由得算法一;又,取,从而又得算法二分别用上述两种算法计算,根据计算结果判定其数值稳定性,并给予证明
2、将方程,即改为摄动方程,对不同的求解此方程,观察对解的影响程度,判定此方程是否为病态方程
15、已知三角形面积,其中为弧度,,且测量的误差分别为,证明面积的误差满足证根据零阶多元Taylor公式,令,则,因,从而,得,即又,故,即从而Ch
2、插值法§
1、插值问题引例矿井中某处的瓦斯浓度与该处距地面的距离有关,现用仪器测得从地面到井下500米每隔50米的瓦斯浓度数据,根据这些数据完成下列工作1寻找一个函数,要求从此函数中可近似求得从地面到井下500米之间任意一点处的瓦斯浓度;2估计井下600米处的瓦斯浓度第一个问题可归结为“已知函数在处的值,求函数在区间内其它点处的值”,这种问题适宜用插值方法解决但对第二个问题不宜用插值方法,因为600米已超出所给数据范围,用插值函数外推插值区间外的数据会产生较大的误差解决第二个问题的常用方法是,根据地面到井下500处的数据求出瓦斯浓度与地面到井下距离之间的函数关系,由求井下600米处的瓦斯浓度定义设在中个点处的值为已知,现根据上述数据构造一个简单函数,使,这种问题称为插值问题分别称为被插值函数、插值函数、插值节点和插值条件若为多项式,则此问题称为多项式插值或代数插值定理1在插值节点处,取给定值,且次数不高于的插值多项式是存在且唯一的证令,则根据插值条件有下列等式(关于的阶线性方程组),其系数行列式是范德蒙(Vandermonde)行列式根据克莱姆法则,此方程组存在唯一解,即存在且唯一§
2、Lagrange插值
1、线性插值与抛物插值1线性插值,其中称为线性插值的基函数2抛物插值设,分别令,即得,故,其中称为抛物插值的基函数
2、Lagrange插值多项式定义对个插值节点,令,则显然此时,满足称之为Langrange插值多项式,称为Lagrange插值的基函数编程时宜用
3、插值公式的余项定理2设上连续,在内可导,则以插值多项式逼近的截断误差(即余项)例
1、已知函数的数据如下,分别用线性插值和二次插值求的近似值
0.
50.
60.7-
0.693147-
0.510826-
0.356675解,§
3、逐次线性插值法对插值节点及对应的函数值,用表示一个非负整数序列,将个节点所确定的不高于次的插值多项式记为,则,即次插值多项式可以用两个次插值多项式通过线性插值获得—逐次线性插值Aitken算法例
2、根据下表近似计算在处的值同理可得类似可得,故§
4、均差与牛顿插值公式
1、均差(差商)及其性质定义称为关于的一阶均差;称为关于的二阶均差;类似地可定义阶均差定理,即阶均差可表示为的线性组合,从而阶均差与节点的排列次序无关证当时,右左不妨假设成立,则
2、牛顿插值公式设插值节点上的插值多项式为分别令,则有;;从而,,,故——牛顿插值公式例
3、P
340.
400.
550.
650.
800.
901.05K=
00.
410750.
578150.
696750.
888111.
026521.25382K=
11.
116001.
186001.
275731.
384101.51533K=
20.
280000.
358930.
433480.52493K=
30.
197330.
213000.22863K=
40.
031340.03126K=5-
0.00012,§
5、差分与等距节点插值公式
1、差分及其性质定义对等距节点,记向前差分;向后差分;中心差分;二阶差分;阶差分不变算子与移位算子,即由,得1差分类似于微分的性质2函数值与差分可相互线性表示3差分与均差的关系证时,假设时成立,则
2、等距节点插值公式令,则,,代入牛顿插值公式得§
6、Runge现象与高次插值的讨论
1、Runge现象例
4、,节点,求插值多项式解——10次Langrange插值多项式结果如下
2、讨论1节点的增多固然能使插值函数在更多的地方与相等,但在两个节点之间不一定能很好地逼近,有时差异很大,所以在实际中,高次插值(7次以上)很少使用;2可将分成若干小区间,在小区间内用低次(二次,三次)插值,即分段低次插值,如样条函数插值§
7、三次样条插值分段低次插值1分段线性插值连续;2分段Hermite插值导数连续;3三次样条插值二阶导数连续
1、三次样条插值函数能够逐段表示成三次多项式且二阶导数连续具有二阶光滑度的函数定义设,且在上为三次多项式,其中,则称为上的三次样条函数若对给定的,满足,则称为三次样条插值函数边界条件第一种边界条件固支梁条件;第二种边界条件简支梁条件特别地,时的样条称为自然样条
2、三弯距方程与三次样条的计算记—弯距,因在上为三次多项式,故为一次多项式,可令—Lagrange线性插值对积分两次并代入,得其中对求导得,从而可得,类似可得利用得,其中对第二种边界条件,,则关于弯距的矩阵方程为,其中上述方程称为三弯距方程,其系数矩阵为三对角,可用追赶法求解求出代入即可得每个上的表达式例
5、求§6例中的三次样条插值函数自然样条解表达式如下
3、三次样条插值的存在唯一性定理三弯矩方程中的系数矩阵是可逆的,即三次样条插值存在、唯一证设为的解,满足,因,故又有,即若不可逆,则有非零解,由前所证,应有,矛盾,故可逆,存在唯一的
4、样条函数的极性极性定理对若为满足的三次样条插值函数,则,其中证,而,故,得,即,二阶导数的范数最小第二章上机实验目的
3、熟悉Maple中的一般插值、样条插值和序列等命令;
4、通过对具体数据做高次插值、样条插值,加深对龙格现象以及样条插值优越性的理解与认识实验内容对数据x125678101317fx
3.
03.
73.
94.
25.
76.
67.
16.
74.
51、做出折线图,得出的大致形状;
2、求出一般插值多项式(8次);
3、求出三次样条插值多项式;
4、将与、与分别做图对照,观察高次插值的危害性以及样条插值的优越性1.矩形区域二元函数的分片线性插值已知平面上一矩形域内四个顶点顶点处的函数值分别为分两片的函数表达式如下第一片下三角形区域满足,插值函数为第二片上三角形区域满足,插值函数为2.矩形区域二元函数的双线性插值双线性插值函数的形式如下,它是分片空间二次曲面利用该函数在矩形的四个顶点(插值节点)的函数值,得到四个代数方程,可以确定四个待定系数双线性插值函数可按下方法计算已知平面上一矩形域内四个顶点顶点处的函数值分别为,求函数,使其满足条件令,则有Ch
3、函数逼近与计算§
1、引言
1、引例某气象仪器厂要在某仪器中设计一种专用计算芯片,以便于计算观测中经常遇到的三角函数以及其它初等函数设计要求在区间中变化时,近似函数在每一点的误差都要小于某一指定的正数1由于插值法的特点是在区间中的个节点处,插值函数与被插值函数无误差,而在其它点处对于,逼近的效果可能很好,也可能很差在本问题中要求在区间中的每一点都要“很好”地逼近,应用一般的插值方法显然是不可行的,龙格现象就是典型的例证采用样条插值固然可以在区间的每一点上满足误差要求但由于样条插值的计算比较复杂,需要求解一个大型的三对角方程组,在芯片中固化这些计算过程较为复杂2可以采用泰勒展式解决本问题将在特殊点处做泰勒展开取其前项作为的近似,即但泰勒展式仅对附近的点效果较好,为了使得远离的点的误差也小于,只好将项数取得相当大,这大大增加了计算量,降低了计算速度因此,从数值计算的角度来说,用泰勒展式做函数在区间上的近似计算是不合适的3引例提出了一个新的问题,即能否找到一个近似函数,比如说,它仍然是一个次多项式,不一定要在某些点处与相等,但却在区间中的每一点处都能“很好”地、“均匀”地逼近
2、逼近问题对,求一个多项式,使在某种衡量标准下最小1一致逼近(均匀逼近)无穷范数最小2平方逼近(均方逼近)欧氏范数最小
3、维尔斯特拉斯定理定理设,则对任意,有多项式,使在上一致成立本定理的证法很多,伯恩斯坦在1921年引入了一个多项式他证明了伯恩斯坦多项式在自由外形设计中有较好的应用但它有一个致命的缺点,就是收敛太慢要提高逼近精度,只好增加多项式的次数,这在实际中是很不合算的切比雪夫从另一个角度去研究逼近问题他不让多项式的次数趋于无穷,而是先把固定对于,他提出在次多项式集合中,寻找一个多项式,使在上“最佳地逼近”§
2、正交多项式
一、正交多项式的概念及性质定义1设区间上非负函数满足1存在;2对非负连续函数,若,则在上,则称为区间上的权函数定义2设,为上的权函数,则积分称为与在上的内积定义3设为上的次多项式,若满足,则称为上关于权函数的正交多项式系定理上的正交多项式在内有个不同的实零点
二、Legendre多项式
1、定义,称为Legendre多项式
2、性质1正交性2奇偶性,即为奇(偶)数时,为奇(偶)函数3递推公式
三、Chebyshev多项式
1、定义称为第一类Chebyshev多项式若记,即,则
2、性质1在上关于权正交,即证2当为奇(偶)数时,为奇(偶)函数证3递推关系证,,,即4是次多项式,其最高项系数为证由
③易知为次多项式故,即最高项系数为§
3、最佳平方逼近
1、问题对,在生成的子集中求一函数,使最小
2、求解记,令,得,,即,也可改写为下列矩阵形式——法方程
3、用正交多项式做最佳平方逼近若取,因,由法方程可得,从而即为的最佳平方逼近多项式若取,因,由法方程可得,,从而即为的最佳平方逼近多项式例
1、用正交多项式求在上的三次最佳平方逼近多项式解用Chebyshev多项式,,,故用Legendre多项式,故§
4、函数按切比雪夫多项式展开定义称为切比雪夫级数或广义傅立叶级数,其中根据切比雪夫多项式的性质,切比雪夫级数的部分和可作为的近似最佳一致逼近多项式例
2、将在上展成切比雪夫级数解因为奇函数,从而也为奇函数,故从而注的泰勒展式为即切比雪夫展式可用较小的项数达到泰勒展式的精度,如对要达到10位有效数字,泰勒展式要25项,而切比雪夫展式仅要10项§
5、离散数据的拟合与最小二乘法
1、离散数据的拟合问题引例1矿井中某处的瓦斯浓度与该处距地面的距离有关,现用仪器测得从地面到井下500米每隔50米的瓦斯浓度数据,根据这些数据完成下列工作1寻找一个函数,要求从此函数中可近似求得从地面到井下500米之间任意一点处的瓦斯浓度;2估计井下600米处的瓦斯浓度根据所学内容,分别给出解决上述问题的方法,并说明理由对于第一个问题,可根据已有瓦斯浓度数据,求出其样条插值函数,由即可较为准确地求得从地面到井下500米之间任意一点处的瓦斯浓度但对第二个问题不宜用插值方法,因为600米已超出所给数据范围,用插值函数外推插值区间外的数据会产生较大的误差解决第二个问题的常用方法是,根据地面到井下500米处的数据求出瓦斯浓度与地面到井下距离之间的函数关系,由求井下600米处的瓦斯浓度引例2在某化学反应中,根据实验测得生成物浓度与时间的关系如下表,求浓度与时间的对应函数关系,并据此求出反应速度曲线时间x12345678910浓度y
4.
006.
408.
008.
809.
229.
509.
709.
8610.
0010.
2011121314151610.
3210.
4210.
5010.
5510.
5810.60显然,从理论上讲是客观存在的,但在实际中仅由离散数据是不可能得出的精确表达式的,只能寻找的一个近似表达式,这种问题称为离散数据的曲线拟合问题曲线拟合需解决如下两个问题1线型的选择;2中参数的计算
2、线型的选择通常主要根据专业知识和散点图确定的线型,常见的线型有1线性函数;2可化为线性函数的非线性函数,如13非线性函数
3、计算线性拟合的最小二乘法做数据的散点图,若近似为直线,则可用线性函数拟合对于本问题通常采用最小二乘法,即所求参数使得在处的值与之差的平方和最小,将上式视为关于的二元函数,对分别关于求偏导并令其为零,即,解上方程组得,例
1、观测物体的直线运动,得出以下数据,求运动方程时间t
00.
91.
93.
03.
95.0距离s010305080110解数据点的折线图所求运动方程为可用相关系数衡量数据线性化程度,本例中相关系数,这表明数据的线性相关性较好拟合运动方程与数据点对照图
4、可线性化的非线性拟合例
2、根据本节引例中的数据拟合出生成物浓度与时间的近似表达式解数据的散点图1用双曲线型拟合令,则为线性函数经计算,从而2用指数线型拟合两边取对数,令,则为线性函数经计算,从而两种线型的误差分析令(均方误差),分别将和代入计算得,,,显然,此结果表明,线型2优于线型1作业在某化学反应中,根据实验所得分解物的浓度与时间关系如下,求浓度y与时间t的拟合曲线用指数线型拟合时间x510152025303540455055浓度y
1.
272.
162.
863.
443.
874.
154.
374.
514.
584.
624.64拟合结果的评价准则设数据点为,拟合函数为,则称为拟合残差准则1最大误差准则,即最小准则2平均误差准则,即最小准则3均方误差准则,即最小上述三准则与数据的大小、量纲有关,不具可比性下面给出一种规范的误差准则,其中显然,,越接近于1,拟合效果越好§
7、Fourier逼近与FFT
一、周期函数的最佳平方逼近设以为周期,则称为的傅立叶级数,其中称为傅立叶级数的部分和,也称为次三角多项式,下面讨论三角多项式对周期函数的最佳平方逼近
1、连续情形设是以为周期的平方可积函数,则因=为上的正交函数系,事实上,故根据用正交多项式作最佳平方逼近的法方程,在上的最佳平方逼近多项式存在且唯一,其系数即傅氏级数的部分和即为的最佳平方逼近三角多项式
2、离散情形1在上取的个观测值,其中记可证,,即共个向量构成正交系2取正交系对进行最佳逼近,则其中
二、快速Fourier变换FFT
1、Fourier变换——Fourier级数的推广对任意函数,则称为的Fourier变换,称为的Fourier逆变换,与称为Fourier变换对常用的Fourier变换有1方脉冲,函数
22、离散的Fourier变换对给定序列,分别称为离散Fourier变换与离散Fourier逆变换若给出在上的值,则的离散Fourier变换为采样定理若的频率范围为,则只有当采样间隔时,才能正确恢复此时,采样频率,称为Nyguist频率
3、快速Fourier变换FFT的计算从的表达式中可以看出,计算一个需要次乘法、次加法,计算所有需要次乘法当较大时,就很大,即常规离散Fourier变换计算量太大1965年Cooley和Tukey提出了一种快速Fourier变换,其乘法次数仅为,大大降低了计算量例如,当时,第三章上机实验目的
5、熟悉Maple中的拟合、求相关系数等命令;
6、通过对具体数据做可线性化的非线性拟合,了解曲线拟合的具体步骤实验内容在某化学反应中,根据实验所得分解物的浓度与时间关系如下,求浓度y与时间x的拟合曲线时间x510152025303540455055浓度y
1.
272.
162.
863.
443.
874.
154.
374.
514.
584.
624.
645、做出数据的散点图,根据的大致形状,选择相应的线型用指数线型或双曲线型拟合;
6、将方程线性化,用Maple相应命令求出此线性方程及相关系数;
7、将线性方程还原为原非线性方程,并将此方程的图形与散点图加以对照,观察拟合效果Pade逼近(有理逼近)简介借助函数的Taylor级数来研究函数的性质,或直接用它的部分和逼近该函数,不仅是纯数学领域中经常使用的手段,也是应用中赖以发展的方法之一在数值计算领域中,用Taylor多项式来逼近一个函数并进而导致各种有效的数值方法巳司空见惯,并在很多情况下获得了成功但有时这种方法的应用显露出某些缺陷这些缺陷一般来说是由于函数的Taylor级数的收敛速度较慢或其收敛范围较狭如果采用有理函数作为逼近工具则能常常获得出人意外的好结果例
1、的Taylor级数为其部分和为用计算的近似值,收敛速度很慢比如为了保证误差不超过,就需要取若取有理函数对其进行逼近,则效果大不相同例
2、的Taylor级数为当时,上述级数发散,但用有理函数逼近可扩大其逼近范围Ch
4、数值积分与数值微分§
1、引言
1、对采用数值积分的原因
①的原函数不是初等函数或过于复杂,如等;
②为离散形式
2、数值积分的基本思想——机械求积将表示为在若干点处值的线性组合即,、和分别称为求积节点、求积系数和余项称为求积公式
3、代数精度定义若对于不高于次的多项式,余项,而总存在次多项式使,则称求积公式代数精度为
4、插值型求积公式定义对及,做插值,则,,称此求积公式为插值型求积公式显然,插值型求积公式的代数精度至少为§
2、Newton-Cotes公式
一、Newton-Cotes公式
1、定义对插值型求积公式,若取等距节点,,则,,,此时称求积公式为Newton-Cotes公式当时,梯形公式当时,称为Simpson公式当时,称为Simpson-3/8公式
2、余项Newton-Cotes公式的代数精度为
3、收敛性与数值稳定性1求积公式收敛的必要条件为有界;2对较大的,Newton-Cotes公式不稳定,不宜采用
二、复化求积法将等分,在每个小区间上用低阶Newton-Cotes公式求得该区间的积分值,则,此方法称为复化求积法
1、复化梯形公式
2、复化Simpson公式例
1、分别用复化梯形公式n=8和复化Simpson公式n=4计算解x01/82/83/84/85/86/87/81fx
10.
99739780.
98961580.
97672670.
95885100.
93615560.
90885160.
87719250.
84147093、复化公式的误差复化公式余项为§
3、Romberg加速收敛法
1、加速收敛技巧在用序列逼近时,若能从产生出新序列,它比更快地收敛于,此即加速收敛技巧例如用逼近时,,类似地此加速收敛算法称为Richardson外推算法
2、Romberg求积法将步长逐次减半,得序列,分析误差可得新序列用逼近I的算法称为Romberg算法§
4、高斯型求积公式
1、高斯公式与高斯点定义对插值型求积公式,若能选择适当的使其具有次代数精度,则称此求积公式为高斯公式,其节点称为高斯点
2、高斯公式的构造定理求积公式为高斯公式的充要条件是以为零点的多项式与任意不超过次的多项式均正交,即证必要性设为次数不超过的多项式,则不超过次,因为高斯公式,故,又,从而充分性对次数不超过的多项式,用除,商为,余式为,则次数均不超过,且,又,故推论上次正交多项式的零点即为Gauss点证因为正交多项式与比它次数低的任意多项式都正交,且上次正交多项式恰好有个不同的实零点,故得证
3、Gauss-Legendre公式
①对积分区间,取其上次Legendre多项式的零点为节点,则称为Gauss-Legendre求积公式此时,,令又故两点Gauss公式三点Gauss公式例、解两点Gauss公式两点梯形公式三点Gauss公式三点Simpson公式
②若积分区间为,可作代换,则
4、高斯公式的稳定性
①Gauss公式中的证因为次多项式,为次,Gauss公式准确成立,,故
②Gauss公式是数值稳定的证设的近似值,则为的近似值,Ch
5、常微分方程的数值解法§
1、基本概念与Euler公式
1、数值解法的必要性1不能给出解的解析表达式;
②求封闭形式的解计算量太大例如
2、数值解法的基本思想——离散化对初值问题求出解在节点上值的近似值,其中
3、Euler公式将在上积分,,得,用数值积分法求
①(矩形公式),得Euler公式
②(矩形公式),得后退的Euler公式
③(梯形公式)得梯形公式(隐形)
4、改进的Euler公式Euler公式计算简便,但精度差,梯形公式为隐式,计算较复杂,但精度较高,可将两者结合称为改进的Euler公式,上式也可写为例
1、求解初值问题解Euler公式改进的Euler公式x
0.
10.
20.
30.
40.
50.
60.
70.
80.
91.0Euler
1.
1001.
1921.
2771.
3581.
4351.
5091.
5801.
6501.
7171.785Euler改
1.
0961.
1841.
2661.
3431.
4161.
4861.
5531.
6161.
6781.738准确
1.
0951.
1831.
2651.
3421.
4141.
4831.
5491.
6121.
6731.732§
2、Runge-Kutta方法
1、Taylor级数方法与阶对,有Taylor级数将此级数截断,并用代替,得阶Taylor公式显然截断误差为定义若某方法的截断误差为,则称此方法精度为阶
2、Runge-Kutta方法基本思想,,——平均斜率
①取,即为Euler公式;
②取,即为后退的Euler公式;
③取,即为梯形公式借用Taylor级数法的思想,将中的平均斜率表示为在若干点处值的线性组合,通过选择组合系数使公式达到一定的阶
3、二阶Runge-Kutta方法选为在某两点处值的线性组合,即,其中,,待定将代入得将上式与二阶Taylor公式对比得(*)根据Euler公式,,代入得,,其中满足(*)式,称之为二阶Runge-Kutta公式特别地,当时,——改进的Euler公式
4、四阶Runge-Kutta方法三阶Runge-Kutta方法较少使用,仿二阶Runge-Kutta方法,可得四阶Runge-Kutta公式,经典的四阶Runge-Kutta公式为特点
①单步、自开始;
②精度高,误差为,四阶;
③数值稳定;
④要计算四次函数值;
⑤对解的光滑性要求高§
3、单步法的收敛性与稳定性
1、收敛性定义若某数值解法对固定的,当时(此时),,则称此方法收敛例
2、对典型方程考察Euler方法的收敛性解Euler公式为,而,即,故收敛定理若数值方法中的关于满足Lipschitz条件,则该方法收敛
2、稳定性定义若某方法在节点值上有大小为的摄动,而其后各节点上的误差无效不超过,则称此方法是稳定的例
3、对方程,考察Euler公式和后退的Euler公式的稳定性解对应的Euler公式为,若在上有摄动值,而它使产生的摄动值为,则,显然,即时,Euler公式稳定,称之为条件稳定后退的Euler公式为,即后退的Euler公式无条件稳定Ch
6、解非线性方程的数值方法§
1、二分法零点定理设,且,则在内至少有一根令为的中点,若,则内有根,否则内有根类似地进行步之后,设有根区间为,则,可取为的近似根,显然误差特点§
2、迭代法
1、迭代格式对非线性方程,给定一个初值,按照某种方法产生一个序列,使得,且例如,将改写为,令Picard迭代
2、收敛性与误差估计定理1若
①对任意,有压缩映射;
②存在正数,使对任意,有Lipschitz条件,则对任意,迭代序列收敛于的唯一根,且有误差估计式证令,由Lipschitz条件,又若,则即为的根,否则由零点定理,在内至少有一根,故在上至少有一根(存在性)若有两个根,即从而有矛盾,故(唯一性)由于,,故即(收敛性)而得令,则有
3、收敛速度与收敛阶定义设迭代公式收敛于的根,如迭代误差满足,则称为P阶收敛,特别地P=1,2时称为线性、平方收敛定理2对迭代公式,若,,为的根,则迭代在附近是P阶收敛的(局部收敛)§
3、牛顿法(切线法)
1、迭代格式设为根的近似值,由Taylor公式若,则略去最后一项后作为新的近似值,即称之为牛顿公式
2、牛顿法的几何意义如图,作曲线在处的切线,,令,即为此切线在轴上的截距
3、牛顿法的收敛性设为的单根,即,此时,,故在的某邻域内,从而,由定理1,牛顿法对附近的初值收敛,即局部收敛,再由定理2知,牛顿法为二阶收敛的例
1、用牛顿法求的一个根解例
2、应用牛顿法于方程,导出求立方根的迭代公式,并讨论其收敛性解,因,即有下界,又,即单调下降,故收敛Ch
7、解线性方程组的直接方法§
1、引言对线性方程组1令,,则1可记为2求解的数值方法有如下两类
1、直接法
2、迭代法
①存贮量大;
①存贮量小;
②计算时间短;
②计算时间长;
③程序复杂;
③程序简单;
④适用于A为低阶矩
④适用于A为高阶稀疏矩阵§
2、Gauss消去法
1、消元过程记为3若,令,用乘第一个方程后加到第个方程上,则3变为记为一般地,对若,令,类似地可消去从第到第个方程中的,直至将方程化为上三角方程记为
2、回代过程
3、矩阵的LU分解矩阵A的第一行乘后加到第行的变换,相当于用矩阵左乘矩阵A一般地,第步所用变换对应于矩阵Gauss消去法可用矩阵描述如下,即,记——上三角,——下三角,则——矩阵的LU分解定理1当方阵A的顺序主子式时,A可唯一地分解为单位下三角阵L与上三角阵U之积,即A=LU设,则对,即,只要经两次回代即可解出方程§
3、Gauss列主元消去法
1、Gauss消去法中的称为主元,从理论上讲仅需即可,但从数值计算的角度来看,其绝对值越小,引起的舍入误差就越大,反之舍入误差就小为了减小舍入误差,提高算法的数值稳定性,可在每步消元过程中选主元,具体有
①总体选主元每步系数矩阵中绝对值最大者
②按列选主元在第k步中,从中选绝对值最大者
2、计算过程只须在Gauss消去法中加入选主元过程在中选出绝对值最大者,然后放在kk位置(交换行)§
4、追赶法与Cholesky分解
1、追赶法对三对角方程首先由第一个方程解出,令,则,代入第二个方程得,即,令,有,类似地可推出下列公式其中,将代入最后一个方程,令,则,代入即可依次求出上述求解过程可分为两个部分
①依次确定,称之为追的过程;
②依相反次序确定,称之为赶的过程即
2、对称正定阵的分解定理2设A对称,且A的各阶顺序主子式均不为零,则A可唯一地分解为,其中L为单位下三角阵,D为对角阵定理3设A对称正定,则A可唯一地分解为,其中L为对角元大于零的下三角阵证由定理2,,又A正定,有中的,故其中为下三角(Cholesky分解)设A对称正定,则可化为,即,经回代即可解计算机解法
①A为一般方阵时,用LU分解(Gauss消去法);
②A对称正定时,用Cholesky分解§
5、向量和矩阵的范数
一、向量的范数
1、定义设或,为定义在上的一个实值函数,若满足
①非负性,当且仅当;
②齐次性对,有;
③三角不等式对,有;则称为上的一个向量范数
2、常用向量范数对,有
①范数;
②1-范数;
③2-范数;
④p-范数定理4中的一切范数都是等价的,即对任意两种范数,总有正数m和M,使
3、向量序列的收敛性定义设为中的向量序列,,并记,,若,则称收敛于,记为定理5,为任一范数
二、矩阵的范数
1、定义若矩阵的某个实值函数满足
①;
②;
③;
④相容性;则称为上的一个矩阵范数
2、常用矩阵范数
①行范数;
②列范数
③2-范数;
④F-范数
3、谱半径定义设A的特征值为,称为A的谱半径定理6A的谱半径不超过A的范数,即证设为A的任一特征值,为相应的特征向量,即,则相容性,故,即定理7若,则可逆,且证若不可逆,即,有非零解亦即有,使,,,矛盾,故可逆,得§
6、误差分析和矩阵的条件数
1、右端向量误差对解的影响设的右端向量有误差,相应的解为,则,又,故
2、系数矩阵误差对解的影响设的系数矩阵有误差,相应的解为,则,由定理7,若,则可逆,,且,故
3、矩阵的条件数定义设A非奇异,则称为的条件数
①;
②;
③;
④若A为正交阵,则常用条件数
①;
②
4、病态方程组条件数刻画了方程组的解对原始数据误差的敏感程度当条件数很大时,或的扰动所引起的的误差可能很大,此时称为病态的或坏条件的,对应的方程组称为病态方程组,反之称为良态的或好条件的例、,Ch
8、解线性方程组的迭代法§
1、基本概念
1、迭代法对线性方程组,给定初始向量,按某种方法生成向量序列,且,使
2、迭代法的一般格式设,其中可逆,则令,则,故可建立迭代公式若收敛,即,则,即为的解
3、误差向量令误差向量,显然,即,迭代收敛,即§
2、Jacobi迭代与Gauss-Seidel迭代设的主对角元均不为零,将分解为,其中为对角阵,和分别为的除主对角元以外的下三角和上三角部分,即,,
1、Jacobi迭代由,即,,得迭代公式,或
2、Gauss-Seidel迭代由,即,得迭代公式或§
3、迭代法的收敛性例
1、取,分别用Jacobi迭代与Gauss-Seidel迭代解下列方程组
①;
②;
③;
④解方程
①精确解为,Jacobi和G-S迭代均发散方程
②精确解为,Jacobi迭代和G-S迭代均收敛,但收敛到同样精度,Jacobi迭代用了125次而G-S迭代仅用了9次方程
③精确解为,Jacobi迭代发散,而G-S迭代仅用7次即收敛方程
④精确解为,G-S迭代迭代发散,而Jacobi仅用4次即收敛
1、矩阵序列的收敛性定义对矩阵序列及,若,则称收敛于A,记为定理
12、迭代法收敛定理定理2迭代法收敛的充要条件为
3、收敛的充分条件
①若A为严格对角占优矩阵,即,则Jacobi迭代和G-S迭代收敛;
②若A对称正定,则G-S迭代收敛§
4、逐次超松弛(SOR)迭代法
1、基本思想计算表明,当阶数较高时,G-S迭代收敛速度仍然较慢,可在G-S迭代基础上对其加速收敛—超松弛法从G-S迭代公式求得的结果不作为第次近似解,而仅作为中间结果,然后再将与进行加权平均后作为第次近似解,即时,即为G-S迭代,时称为超(低)松弛法
2、具体计算公式由G-S迭代公式得,再令,代入得改成矩阵形式为故记为
3、SOR法收敛条件定理3SOR法收敛定理4SOR法收敛证设的特征值为,则又SOR法收敛,即,有,而,从而,即定理5若对称正定,且,则SOR法收敛定理6最佳松驰因子,其中为Jacobi迭代的迭代矩阵例
2、用SOR方法解方程组解方程组的精确解为,取,迭代次数见下表最佳松驰因子,与实际计算结果基本吻合Ch
9、矩阵特征问题的计算方法§
1、引言定理1(圆盘定理)设,,则的任一特征值必属于下列在复平面上以为圆心、为半径的某圆盘证设为的任一特征值,为对应的特征向量,即,令,,故定义设为实对称阵,,则称为Rayleigh商定理2设为阶实对称阵,其特征值为,则对任意,
①;
②证
①因为实对称阵,故可令与对应的正交规范特征向量为,即,从而对任意,有,故
②若为与对应的特征向量,即,则,即,同理§
2、幂法
一、迭代格式设有个特征值,个线性无关的特征向量,且,称为的主(强)特征值对任意,有,令,则记的最大分量为,其中幂法的迭代公式为,即与仅差一个常数因子又的最大分量总是1,故若,则当时,此时,即收敛于,收敛于规范化的特征向量
二、幂法的加速
1、原点平移法幂法的收敛速度取决于,若把幂法应用于,则由于的特征值为,只要仍为主特征值,收敛速度就取决于,对适当的,此比值远小于
2、Rayleith商加速由定理2,设为阶实对称阵,特征值满足,其正交规范特征向量为由幂法§
3、Jacobi方法
一、平面旋转矩阵
1、对实对称矩阵,总存在正交阵,使其中为的特征值,为A的与对应的正交规范特征向量例如,对二阶对称阵,可取正交阵,即平面旋转矩阵,使,其中
2、在中定义平面旋转变换,其中称为中平面上的平面旋转矩阵
①为正交阵;
②仅改变A的第行与第列的元素
二、Jacobi方法
1、基本思想通过一系列平面旋转变换,逐步缩小非对角元的大小,最终将化为对角阵,从而求得其特征值,特征向量
2、有关定理定理3设为对称阵,为正交阵,,则,证因相似变换不改变矩阵的特征值,故可令与的特征值均为定理4设为对称阵,为旋转矩阵,,则定理5设为对称阵,为一非对角元,则存在旋转阵,使中的非对角元,且,其中分别表示对角元、非对角元平方和
3、具体算法选取非对角元中绝对值最大的元素,若,则由定理5,有一旋转矩阵,使中的,类似地可将中绝对值最大的非对角元化为零,继续此过程,可证,,且,即趋向一对角形,从而求出的特征值
4、收敛性定理6设为实对称阵,为旋转矩阵,,,则(对角阵)证记,由定理5,,其中代入有故,即(对角形)
5、Jacobi方法的不足与改进
①Jacobi方法每次要寻找绝对值最大的非对角元,计算量较大;
②在某步被化为零的非对角元,在以后的各步中可能变成非零元,因此Jacobi法有时收敛较慢改进
①循环Jacobi法;
②阈Jacobi法§
4、Householder变换
一、Householder变换矩阵与Hessenberg矩阵定义1设,则称为Householder矩阵
①为对称、正交阵证
②设,则存在,使证若,则只须取,即有下设,且,,即与平行,故可取即得事实上,
③对,存在Householder矩阵H,使,其中证显然,由
②知,可取注具体计算时,可取定义2对方阵A,若当时,,则称A为上(下)Hessenberg阵,即
二、用Householder变换做矩阵的QR分解
1、QR分解定理定理7若方阵A非奇异,则存在正交阵Q与上三角阵R,使A=QR,且当R的对角元均为正时,分解唯一
2、计算过程记,由
一、
③知有,使令,则其第一列中除第一个元素外均为0,一般地,设其中为阶上三角阵,为阶方阵,设其第一列为,又有阶的,使,再根据构造的Householder矩阵,有,为阶上三角阵,经步计算,——上三角阵令——正交阵,即得A=QR§
5、QR方法
1、基本QR方法令,对进行QR分解,再令,一般递推公式为因为,即与A相似,从而有相同的特征值
2、QR方法的收敛性定理8设A的特征值为,特征向量为,,且满足
①;
②可分解为;则收敛于上三角阵特别地,如A为对称阵,则收敛于对角阵QR方法是目前计算一般中小型矩阵全部特征值的最有效方法之一,具有收敛快、稳定性好的特点羂肁莁蒇螄羇莁薀羀芅莀螂螃芁荿袄肈膇莈薄袁肃莇蚆肇罿莆螈衿芈蒅蒈肅膄蒅薀袈肀蒄蚃肃羆蒃袅袆莅蒂薅蝿芁蒁蚇羄膇蒀蝿螇肃蒀葿羂罿蕿薁螅芇薈蚄羁膃薇螆螄聿薆薆罿肅薅蚈袂莄薄螀肇芀薄袂袀膆薃薂肆肂腿蚄袈羈芈螇肄芆芇蒆袇膂芇虿肂膈芆螁羅肄芅袃螈莃芄薃羃艿芃蚅螆膅节螈羂肁莁蒇螄羇莁薀羀芅莀螂螃芁荿袄肈膇莈薄袁肃莇蚆肇罿莆螈衿芈蒅蒈肅膄蒅薀袈肀蒄蚃肃羆蒃袅袆莅蒂薅蝿芁蒁蚇羄膇蒀蝿螇肃蒀葿羂罿蕿薁螅芇薈蚄羁膃薇螆螄聿薆薆罿肅薅蚈袂莄薄螀肇芀薄袂袀膆薃薂肆肂腿蚄袈羈芈螇肄芆芇蒆袇膂芇虿肂膈芆螁羅肄芅袃螈莃芄薃羃艿芃蚅螆膅节螈羂肁莁蒇螄羇莁薀羀芅莀螂螃芁荿袄肈膇莈薄袁肃莇蚆肇罿莆螈衿芈蒅蒈肅膄蒅薀袈肀蒄蚃肃羆蒃袅袆莅蒂薅蝿芁蒁蚇羄膇蒀蝿螇肃蒀葿羂罿蕿薁螅芇薈蚄羁膃薇螆螄聿薆薆罿肅薅蚈袂莄薄螀肇芀薄袂袀膆薃薂肆肂腿蚄袈羈芈螇肄芆芇蒆袇膂芇虿肂膈芆螁羅肄芅袃螈莃芄薃羃艿芃蚅螆膅节螈羂肁莁蒇螄羇莁薀羀芅莀螂螃芁荿袄肈膇莈薄袁肃莇蚆肇罿莆螈衿芈蒅蒈肅膄蒅薀袈肀蒄蚃肃羆蒃袅袆莅蒂薅蝿芁蒁蚇羄膇蒀蝿螇肃蒀葿羂罿蕿薁螅芇薈蚄羁膃薇螆螄聿薆薆罿肅薅蚈袂莄薄螀肇芀薄袂袀膆薃薂肆肂腿蚄袈羈芈螇肄芆芇蒆袇膂芇虿肂膈芆螁羅肄芅PAGE64。