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阶段性测试题七不等式本试卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分.满分150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷选择题 共50分
一、选择题本大题共10个小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1.2012·镇江模拟设集合A={x|0},B={x|0x3},则A∩B= A.{x|1x3} B.{x|0x3}C.{x|0x1}D.∅[答案] C[解析] 由0⇒xx-10⇒0x1,∵B={x|0x3},∴A∩B={x|0x1}.2.2012·周口一模已知不等式x2+ax+40的解集不是空集,则实数a的取值范围是 A.-4≤a≤4B.-4a4C.a≥4或a≤-4D.a-4或a4[答案] D[解析] 不等式x2+ax+40的解集不是空集,意味着方程x2+ax+4=0的根的判别式大于零,解不等式Δ=a2-4×40,得a-4或a
4.3.2012·安庆一模已知a,b为非零实数且ab,则下列命题成立的是 A.a2b2B.ab2a2bC.D.[答案] C[解析] 若ab0,可得a2b2,知A不成立.若,可得a2bab2,知B不成立.若a=1,b=2,则=2,=有,知D不成立,故选C.4.2012·揭阳一模已知c0,则下列不等式中成立的是 A.c2cB.ccC.2ccD.2cc[答案] D[解析] 幂函数y=xc在x0,c0时为减函数,∴2cc.5.2011·湖北文直线2x+y-10=0与不等式组表示的平面区域的公共点有 A.0个B.1个C.2个D.无数个[答案] B[解析] 本题考查不等式组表示平面区域,考查学生分析问题的能力.不等式组表示可行域的画法,“直线定界,特殊点定域”.可行域如图所示.由于-2-,且直线2x+y-10=0过50点,所以交点个数为1个,是50.6.2012·衡水一模不等式fx=ax2-x-c0的解集为{x|-2x1},则函数y=f-x的图像为图中的 [答案] B[解析] ∵ax2-x-c0的解集为{x|-2x1},∴a0且-21为方程ax2-x-c=0的两根.∴,∴.∴fx=-x2-x+2,∴f-x=-x2+x+2=-x+1x-2.7.2011·福建文若a0,b0,且函数fx=4x3-ax2-2bx+2在x=1处有极值,则ab的最大值等于 A.2B.3C.6D.9[答案] D[解析] 本题考查导数、导数应用,均值不等式求最值.f′x=12x2-2ax-2b=0的一根为x=1,即12-2a-2b=
0.∴a+b=6,∴ab≤2=9,当且仅当a=b=3时“=”号成立.8.2012·南京高三第一次调研在平面直角坐标系中,若不等式组a为常数所表示的平面区域的面积等于2,则a的值为 A.-5B.1C.2D.3[答案] D[解析] 由得A1,a+1,由得B10,由得C01,∵△ABC的面积为2,且a-
1.∴S△ABC=|a+1|=2,∴a=
3.9.2012·台州一模若直线2ax-by+2=0a0,b0被圆x2+y2+2x-4y+1=0截得的弦长为4,则+的最小值是 A.5B.6C.8D.9[答案] D[解析] 圆的方程可化为x+12+y-22=4,其半径为2,因为直线2ax-by+2=0a0,b0截圆所得的弦长为4,故直线恰好过圆心-12所以a+b=1,于是+=+a+b=5++≥
9.当且仅当=,即b=2a时等号成立.10.2012·昆明一中模拟一批货物随17列货车从A市以akm/h匀速直达B市,已知两地铁路线长为400km,为了安全,两列车之间的距离不得小于2km,那么这批货物全部运到B市,最快需要 A.6hB.8hC.10hD.12h[答案] B[解析] 第一列货车到达B市的时间为h,由于两列货车的间距不小于2km,∴第17列货车到达时间为+=+≥8,当且仅当a=100km/h时成立.∴最快需要8h,故选B.第Ⅱ卷非选择题 共100分
二、填空题本大题共5个小题,每小题5分,共25分,把正确答案填在题中横线上11.文2011·安徽文函数y=的定义域是________.[答案] {x|-3x2}[解析] 该题考查函数的定义域,考查一元二次不等式的解法,注意填定义域集合.由6-x-x20,得x2+x-60,即{x|-3x2}.理2011·天津文已知log2a+log2b≥1,则3a+9b的最小值为________.[答案] 18[解析] 本题考查利用均值不等式求最值的问题,解决此类问题的关键是根据条件灵活变形,构造定值.∵log2a+log2b≥1,∴log2ab≥1,ab≥
2.∴a·2b≥4,∴a+2b≥2≥4,当且仅当a=2b=2时取“=”∴3a+9b=3a+32b≥2=2≥2=
18.当且仅当a=2b=2时取“=”12.2011·新课标理若变量x,y满足约束条件则z=x+2y的最小值为________.[答案] -6[解析] 本题主要考查了线性规划求最值.依题意,可行域为如图阴影部分,则最优解为A4,-5,∴zmin=4+2×-5=-
6.13.2012·郑州一模若关于x的方程x2+ax+a2-1=0有一正根和一负根,则a的取值范围是________.[答案] -1a1[解析] 令fx=x2+ax+a2-1,则二次函数fx开口向上,若方程fx=0有一正一负根,则只需f00,即a2-10,∴-1a
1.14.2012·黄山一模若实数x,y满足x2+y2+xy=1,则x+y的最大值是________.[答案] [解析] 由x2+y2+xy=1,得1=x+y2-xy,∴x+y2=1+xy≤1+,解得-≤x+y≤,∴x+y的最大值为.15.2012·石家庄一模若关于x的不等式4x-2x+1-a≥0在
[12]上恒成立,则实数a的取值范围为________.[答案] -∞,0][解析] ∵4x-2x+1-a≥0在
[12]上恒成立,∴4x-2x+1≥a在
[12]上恒成立.令y=4x-2x+1=2x-12-
1.∵1≤x≤2,∴2≤2x≤
4.由二次函数的性质可知当2x=2,即x=1时,y有最小值为
0.∴a的取值范围为-∞,0].
三、解答题本大题共6个小题,共75分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤16.本小题满分12分2012·山东模拟设xy0,试比较x2+y2x-y与x2-y2·x+y的大小.[解析] x2+y2x-y-x2-y2x+y=x-y[x2+y2-x+y2]=-2xyx-y,∵xy0,∴xy0,x-y0,∴-2xyx-y0,∴x2+y2x-yx2-y2x+y.17.本小题满分12分2012·长春一模已知不等式kx2-2x+6k0k≠0.1若不等式的解集为{x|x-3或x-2},求k的值;2若不等式的解集为∅,求k的取值范围.[解析] 1∵不等式的解集为{x|x-3或x-2}.∴k0且x1=-3,x2=-2是方程kx2-2x+6k=0的两根.∴x1x2=6,x1+x2==-5,∴k=-.2由于k≠0,要使不等式解集为∅,只需,即,解得k≥.18.本小题满分12分2012·大同模拟已知fx=-3x2+a6-ax+b.1解关于a的不等式f10;2当不等式fx0的解集为-13时,求实数a,b的值.[解析] 1f1=-3+a6-a+b=-a2+6a+b-
3.∵f10,∴a2-6a+3-b0,Δ=24+4b.当b≤-6,即Δ≤0时,f10的解集为∅;当b-6时,3-a3+,∴若b≤-6,则f10的解集为∅;若b-6,则f10的解集为{a|3-a3+}.2∵不等式-3x2+a6-ax+b0的解集为-13,∴解得19.本小题满分12分2011·安徽理1设x≥1,y≥1,证明x+y+≤++xy.2设1a≤b≤c,证明logab+logbc+logca≤logba+logcb+logac.[解析] 1由于x≥1,y≥1,所以x+y+≤++xy⇔xyx+y+1≤y+x+xy
2.将上式中的右式减左式,得[y+x+xy2]-[xyx+y+1]=[xy2-1]-[xyx+y-x+y]=xy+1xy-1-x+yxy-1=xy-1xy-x-y+1=xy-1x-1y-1.由于x≥1,y≥1,所以xy-1x-1y-1≥0,从而所要证明的不等式成立.2设logab=x,logbc=y,由对数的换底公式得logca=,logba=,logcb=,logac=xy.于是,所要证明的不等式即为x+y+≤++xy.又由于1a≤b≤c,所以x=logab≥1,y=logbc≥
1.故由1知所要证明的不等式成立.[点评] 本题考查不等式的基本性质,对数函数的性质和对数换底公式等基本知识,考查代数式的恒等变形能力和推理论证能力.20.本小题满分13分2012·洛阳一模函数fx对一切实数x,y均有fx+y-fy=x+2y+1x成立,且f1=
0.1求f0;2求fx;3当0x2时不等式fxax-5恒成立,求a的取值范围.[解析] 1令x=1,y=0,得f1+0-f0=1+2×0+1·1=2,∴f0=f1-2=-
2.2令y=0,fx+0-f0=x+2×0+1·x=x2+x,∴fx=x2+x-
2.3fxax-5化为x2+x-2ax-5,axx2+x+3,∵x∈02,∴a=1+x+.当x∈02时,1+x+≥1+2,当且仅当x=,即x=时取等号,由∈02,得min=1+
2.∴a1+
2.21.本小题满分14分2012·铜川一模某工厂生产甲、乙两种产品,计划每天每种产品的生产量不少于15吨,已知生产甲产品1吨,需煤9吨,电力4千瓦时,劳力3个;生产乙产品1吨,需煤4吨,电力5千瓦时,劳力10个;甲产品每吨的利润为7万元,乙产品每吨的利润为12万元;但每天用煤不超过300吨,电力不超过200千瓦时,劳力只有300个.问每天生产甲、乙两种产品各多少吨,才能使利润总额达到最大?[解析] 设每天生产甲、乙两种产品分别为x吨、y吨,利润总额为z万元,则线性约束条件为目标函数为z=7x+12y,作出可行域如图,作出一组平行直线7x+12y=t,当直线经过直线4x+5y=200和直线3x+10y=300的交点A2024时,利润最大.即生产甲、乙两种产品分别为20吨、24吨时,利润总额最大,zmax=7×20+12×24=428万元.。