还剩14页未读,继续阅读
本资源只提供10页预览,全部文档请下载后查看!喜欢就下载吧,查找使用更方便
文本内容:
阶段性测试题五平面向量本试卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分.满分150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷选择题 共50分
一、选择题本大题共10个小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1.2012·临川模拟已知向量a,b满足a·b=0,|a|=1,|b|=2,则|2a-b|= A.0 B.2C.4D.8[答案] B[解析] |2a-b|2=4a2-4a·b+b2=8,∴|2a-b|=
2.2.2012·芜湖一模已知向量a=-22,b=5,k.若|a+b|不超过5,则k的取值范围是 A.[-46]B.[-64]C.[-62]D.[-26][答案] C[解析] ∵|a+b|=|3,k+2|=≤5,∴k+22≤42,∴-6≤k≤
2.∴选C.3.2012·丽水一模已知向量a=-56,b=65,则a与b A.垂直B.不垂直也不平行C.平行且同向D.平行且反向[答案] A[解析] 已知向量a=-56,b=65,a·b=-30+30=0,则a与b垂直.4.2012·威海一模如图,已知=a,=b,=3,用a,b表示,则等于 A.a+bB.a+bC.a+bD.a+b[答案] B[解析] =+=+=+-=+=a+b.5.a,b为平面向量,已知a=43,2a+b=318,则a,b夹角的余弦值等于 A.B.-C.D.-[答案] C[解析] 本题考查了平面向量的坐标运算和数量积的坐标运算,在解决问题时需要先设出向量坐标,然后求得参数,该题较为简单.由题可知,设b=x,y,则2a+b=8+x6+y=318,所以可以解得x=-5,y=12,故b=-512,所以cos〈a,b〉==,故选C.6.文2012·宝鸡模拟已知a、b均为非零向量,命题p a·b0,命题q a与b的夹角为锐角,则p是q成立的 A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件[答案] B[解析] 当a与b夹角为0°时,a·b0;∴p⇒/q,当a与b夹角α为锐角时,a·b=|a|·|b|cosα0,∴q⇒p.因此p是q成立的必要不充分条件.理2012·宝鸡模拟已知a=13,b=11,c=a+λb,若a和c的夹角是锐角,则λ的取值范围是 A.B.C.{0}D.∪0,+∞[答案] D[解析] 由条件得,c=1+λ,3+λ,从而⇒λ∈∪0,+∞.7.文2012·九江一模已知向量m=11,n=1,t,若m·n=3,则向量m与向量n夹角的余弦值为 A.B.C.D.[答案] D[解析] ∵m·n=3,∴1+t=3,∴t=2,∴n=12,|m|=,|n|=,∴cosm,n===,故选D.理2012·九江一模已知向量a与b的夹角为,|a|=,则a在b方向上的投影为 A.B.C.D.[答案] C[解析] ∵a在b方向上的投影为|a|cosa,b=cos=.故应选C.8.设向量a=cosα,sinα,b=cosβ,sinβ,其中0αβπ,若|2a+b|=|a-2b|,则β-α等于 A.B.-C.D.-[答案] A[解析] 由|2a+b|=|a-2b|知3|a|2-3|b|2+8a·b=
0.而|a|=1,|b|=1,故a·b=0,即cosα-β=0,由于0αβπ,故-πα-β0,故β-α=,选A.9.文2012·泉州一模已知向量m,n满足m=20,n=,.在△ABC中,=2m+2n,=2m-6n,D为BC边的中点,则||等于 A.2B.4C.6D.8[答案] A[解析] 由D为BC边的中点得,||=|+|.又∵+=4m-4n=2m-2n=1,-∴||=2,故选A.理2012·泉州一模若△ABC的三个内角A,B,C成等差数列,且+·=0,则△ABC一定是 A.等腰直角三角形B.非等腰直角三角形C.等边三角形D.钝角三角形[答案] C[解析] ∵+·=0,∴+-=0,∴2-2=0,即||=||又A,B,C成等差数列,∴B=60°.从而C=A=60°.故△ABC为等边三角形.10.文2011·辽宁理若a,b,c均为单位向量,且a·b=0,a-c·b-c≤0,则|a+b-c|的最大值为 A.-1B.1C.D.2[答案] B[解析] 本小题考查内容为向量数量积及向量模的计算.|a+b-c|2=|a|2+|b|2+|c|2+2a·b-2a·c-2b·c=3-2a·c+b·ca-c·b-c=a·b-a·c-b·c+|c|2=1-a·c+b·c≤0,∴|a+b-c|2≤1,∴|a+b-c|max=
1.理2011·四川文在集合{12345}中任取一个偶数a和一个奇数b构成以原点为起点的向量α=a,b.从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形,记所有作成的平行四边形的个数为n,其中面积等于2的平行四边形的个数为m,则= A.B.C.D.[答案] B[解析] 向量a的坐标有21,23,25,41,43,45.共6种情况,以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形共有C=15个.以a,b为邻边所作平行四边形的面积为S=|a||b|sina,b=|a||b|=|a||b|=.分别以a=21,b=41;a=21,b=43;a=45,b=23为邻边的平行四边形面积为2,故m=3,所以==.[点评] 本题综合考查了平面向量的数量积、排列组合知识及分析问题、解决问题的能力,综合性较强,难度较大.第Ⅱ卷非选择题 共100分
二、填空题本大题共5个小题,每小题5分,共25分,把正确答案填在题中横线上11.2012·沈阳调研若向量a=11,b=-12,则a·b等于________.[答案] 1[解析] ∵a=11,b=-12,∴a·b=1×-1+1×2=-1+2=
1.12.已知e1,e2是夹角为的两个单位向量,a=e1-2e2,b=ke1+e
2.若a·b=0,则实数k的值为________.[答案] [解析] a·b=e1-2e2·ke1+e2=ke+1-2ke1·e2-2e=k-2+1-2kcos=2k-.∵a·b=0,∴2k-=0,即k=.13.文2011·湖南文设向量a,b满足|a|=2,b=21,且a与b的方向相反,则a的坐标为________.[答案] -4,-2[解析] 考查向量坐标数乘运算等.由a与b方向相反可设a=λ21,λ0,所以由|a|=2=|λ|,知λ=-2,所以a=-4,-2.理2011·湖南理在边长为1的正三角形ABC中,设=2,=3,则·=________.[答案] -[解析] 本小题考查内容为向量的加减法与向量数量积的计算.如图,令=a,=b,=a+b,=+=b-a+=b-a,∴·=·=a·b-+-a·b=--a·b=--×=-.14.2012·黄山模拟设向量a,b的夹角为θ,a=21,a+3b=54,则sinθ=________.[答案] [解析] 设b=x,y,∵a=21,a+3b=54,∴即∴b=11,∴cosθ===.又∵θ∈[0,π],∴sinθ==.15.2012·济南调研在直角坐标系xOy中,i,j分别是与x轴,y轴平行的单位向量,若直角三角形ABC中,=i+j,=2i+mj,则实数m=________.[答案] 0或-2[解析] 本题考查了向量的运算.由已知可得=-=i+m-1j.当A=90°时,·=i+j·2i+mj=2+m=0,m=-
2.当B=90°时,·=-i+j·[i+m-1·j]=-1+m-1=-m=0,m=
0.当C=90°时,·=-2i+mj·[-i-m-1j]=2+mm-1=m2-m+2=0,此时m不存在.故m=0或-
2.
三、解答题本大题共6个小题,共75分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤16.本小题满分12分2012·郑州模拟已知向量a=3,-2,b=-21,c=7,-4,是否能以a,b为平面内所有向量的一组基底?若能,试将向量c用这一组基底表示出来;若不能,请说明理由.[解析] ∵a=3,-2,b=-21.∴a·b=3×1--2×-2=-1≠
0.∴a与b不共线,故一定能以a,b作为平面内的所有向量的一组基底.设c=λa+ub即7,-4=3λ,-2λ+-2u,u=3λ-2u,-2λ+u,∴,解得.∴c=a-2b.17.本小题满分12分2012·徐州模拟已知平面内A、B、C三点在一条直线上,=-2,m,=n1,=5,-1,且⊥,求实数m,n的值.[解析] 由于C、A、B三点在一条直线上,则∥,又=-=7,-1-m,=-=n+21-m,∴71-m--1-mn+2=
0.整理得mn+n-5m+9=0,又⊥,∴-2n+m=
0.联立方程组解得或.18.本小题满分12分2012·盐城一模已知向量a=sinθ,,b=1,cosθ,θ∈-,.1若a⊥b,求θ;2求|a+b|的最大值.[解析] 1因为a⊥b,所以sinθ+cosθ=
0.得tanθ=-.又θ∈-,,所以θ=-.2因为|a+b|2=sinθ+12+cosθ+2=5+4sinθ+.所以当θ=时,|a+b|2的最大值为5+4=
9.故|a+b|的最大值为
3.19.本小题满分12分2012·洛阳模拟已知向量a=,,b=2,cos2x.1若x∈0,],试判断a与b能否平行?2若x∈0,],求函数fx=a·b的最小值.[解析] 1若a与b平行,则有·cos2x=·2,因为x∈0,],sinx≠0,所以得cos2x=-2,这与|cos2x|≤1相矛盾,故a与b不能平行.2由于fx=a·b=-===2sinx+,又因为x∈0,],所以sinx∈0,],于是2sinx+≥2=2,当2sinx=,即sinx=时取等号.故函数fx的最小值等于
2.20.本小题满分13分已知向量=,=,定义函数fx=·.1求函数fx的表达式,并指出其最大值和最小值;2在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且fA=1,bc=8,求△ABC的面积S.[解析] 1fx=·=-2sinx,-1·-cosx,cos2x=sin2x-cos2x=sin,∴fx的最大值和最小值分别是和-.2∵fA=1,∴sin=.∴2A-=或2A-=.∴A=或A=.又∵△ABC为锐角三角形,∴A=,∵bc=8,∴△ABC的面积S=bcsinA=×8×=
2.21.本小题满分14分2012·西安模拟已知O为坐标原点,向量=sinα,1,=cosα,0,=-sinα,2,点P满足=.1记函数fα=·,α∈-,,讨论函数fα的单调性,并求其值域;2若O,P,C三点共线,求|+|的值.[解析] 1=cosα-sinα,-1,设=x,y,则=x-cosα,y.由=得x=2cosα-sinα,y=-1,故=2cosα-sinα,-1.=sinα-cosα,1,=2sinα,-1.fα=·=sinα-cosα,1·2sinα,-1=2sin2α-2sinαcosα-1=-sin2α+cos2α=-sin2α+,又α∈-,,故02α+,当02α+≤,即-α≤时,fα单调递减;当2α+,即α时,fα单调递增,故函数fα的单调递增区间为,,单调递减区间为-,],因为sin2α+∈-,1],故函数fα的值域为[-,1.2=2cosα-sinα,-1,=-sinα,2,由O,P,C三点共线可得-1×-sinα=2×2cosα-sinα,得tanα=.sin2α===.∴|+|===.[点评] 本题是三角函数与平面向量的综合问题,这类试题的难度一般不大,但解题时要细心,要正确利用平面向量的相关知识,特别是平面向量中的共线、垂直关系.。