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阶段性测试题十二算法初步、推理与证明、复数本试卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分.满分150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷选择题 共50分
一、选择题本大题共10个小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1.文2011·辽宁文i为虚数单位,+++= A.0 B.2iC.-2iD.4i[答案] A[解析] 本题考查了复数的定义及其运算,等比数列前n项和公式的应用,并考查了多种方法灵活处理问题的能力.法1∵i2=1,∴i3=-i,i5=i,i7=-i,∴原式=+++=
0.法2把原式看成是以为首项,以为公比的等比数列的前4项和即原式==
0.理2011·辽宁理a为正实数,i为虚数单位,||=2,则a= A.2B.C.D.1[答案] B[解析] 本小题考查内容为复数的运算与复数的模的求法.=|1-ai|==2,∴a=.2.2011·大纲全国卷理复数z=1+i,为z的共轭复数,则z-z-1= A.-2iB.-iC.iD.2i[答案] B[解析] 本小题考查的内容是复数的概念与运算.=1-i,∴z·-z-1=1+i1-i-1+i-1=-i.3.2011·新课标理执行下面的程序框图,如果输入的N是6,那么输出的p是 A.120B.720C.1440D.5040[答案] B[解析] 当输入的N是6时,由于k=1,p=1,因此p=p·k=
1.此时k=1,满足k6,故k=k+1=2;当k=2时,p=1×2,此时满足k6,故k=k+1=3;当k=3时,p=1×2×3,此时满足k6,故k=k+1=4;当k=4时,p=1×2×3×4,此时满足k6,故k=k+1=5;当k=5时,p=1×2×3×4×5,此时满足k6,故k=k+1=
6.当k=6时,p=1×2×3×4×5×6=720,此时k6不再成立,因此输出p=
720.4.2012·九江一模下面的程序框图给出了计算数列{an}的前8项和S的算法,算法执行完毕后,输出的S为 A.8B.63C.92D.129[答案] C[解析] 程序框图是计算S=1+2+4+7+11+16+22+29=92,∴输出的S为92,故选C.5.2012·三亚调研为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文→密文加密,接收方由密文→明文解密,已知加密规则为明文a,b,c,d对应密文a+2b2b+c2c+3d4d,例如,明文1234对应密文
571816.当接收方收到密文1492328时,则解密得到的明文为 A.4617B.7614C.6417D.1647[答案] C[解析] 因加密规则可得⇒.故明文为
6417.6.2012·西宁调研观察下图中图形的规律,在其右下角的空格内画上合适的图形为 [答案] A[解析] 表格中的图形都是矩形、圆、正三角形的不同排列,规律是每一行中只有一个图形是空心的,其他两个都是填充颜色的,第三行中已经有正三角形是空心的了,因此另外一个应该是阴影矩形.7.文要表示直线与圆的位置关系最好用下列哪种框图来表示 A.流程图B.程序框图C.结构图D.统筹图[答案] C[解析] 直线与圆有三种位置关系直线与圆相交,直线与圆相切,直线与圆相离,它们三者是并列关系,都从属与直线与圆的位置关系,故宜用结构图表示.理2012·临沂一模如图所示的程序框图输出的结果是 A.B.C.D.[答案] C[解析] i=1≤4满足,执行第一次循环后,A=,i=2;i=2≤4满足,执行第二次循环后,A=,i=3;i=3≤4满足,执行第三次循环后,A=,i=4;i=4≤4满足,执行第四次循环后,A=,i=5;i=5≤4不满足,跳出循环,输出A=.8.2011·山东理复数z=i为虚数单位在复平面内对应的点所在象限为 A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限[答案] D[解析] 本题主要考查复数的运算及复数的几何意义.∵z====-i.∴z在复平面由对应的点为,-,故选D.9.2011·福建理对于函数fx=asinx+bx+c其中a,b∈R,c∈Z,选取a,b,c的一组值计算f1和f-1,所得出的正确结果一定不可能是 A.4和6B.3和1C.2和4D.1和2[答案] D[解析] ∵f1=asin1+b+c,f-1=-asin1-b+c,且c是整数,∴f1+f-1=2c是偶数.在选项中只有D中两数和为奇数,不可能是D.[点评] 本题考查求函数值和逻辑推理,题目是在以往高考题的基础上改编的,较新颖,题目难度较大.10.文2012·鹰潭一模已知x>0,y>0,lg2x+lg8y=lg2,则+的最小值是 A.2B.2C.4D.2[答案] C[解析] 因为x>0,y>0,且lg2x+lg8y=lg2,所以x+3y=
1.于是,有+=x+3y+=2++≥4,故选C.理2012·江西上饶一模用数学归纳法证明“n3+n+13+n+23,n∈N*能被9整除”,要利用归纳假设证n=k+1时的情况,只需展开 A.k+33B.k+23C.k+13D.k+13+k+23[答案] A[解析] 假设当n=k时,原式能被9整除,即k3+k+13+k+23能被9整除.当n=k+1时,k+13+k+23+k+33为了能用上面的归纳假设,只需将k+33展开,让其出现k3即可.第Ⅱ卷非选择题 共100分
二、填空题本大题共5个小题,每小题5分,共25分,把正确答案填在题中横线上11.在复平面内,复数对应的点的坐标为________.[答案] -11[解析] ==i1+i=-1+i.故对应点坐标为-11.12.文2011·福建理运行如图所示的程序,输出的结果是________.[答案] 3[解析] 本题主要考查算法知识,由于a=1,b=2,a=a+b=1+2=
3.理2011·江西理下图是某算法的程序框图,则程序运行后输出的结果是________.[答案] 10[解析] 本题主要考查程序框图知识.n=1,s=0+-11+1=0,n=2时,s=0+-12+2=3,n=3时,s=3+-13+3=5,n=4时,s=5+-14+4=109,故运行输出结果为
10.13.2011·安徽理如下图所示,程序框图算法流程图的输出结果是________.[答案] 15[解析] 由T=T+k可知T是一个累加变量,原题实质为求1+2+3+…+k的和,其和为,令≤105,得k≤14,故当k=15时,T=1+2+3+…+15=
120105.此时输出k=
15.14.2012·咸阳调研已知点Ann,an为函数y=的图像上的点,Bnn,bn为函数y=x图像上的点,其中n∈N*,设cn=an-bn,则cn与cn+1的大小关系为________.[答案] cncn+1[解析] 解法1∵an=,bn=n,cn=-n=,随n的增大而减小,为减函数,∴cn+1cn,解法2cn+1=-n+1,cn=-n,∴==1,∴cncn+
1.15.文2012·唐山模拟方程fx=x的根称为fx的不动点,若函数fx=有唯一不动点,且x1=1007,xn+1=n∈N+,则x2013=________.[答案] 2013[解析] 由=x,得ax2+2a-1x=0,∵fx有唯一不动点,∴2a-1=0,即a=,∴fx=,∴xn+1===xn+.∴x2013=x1+×2012=1007+1006=
2013.理自然数按下表的规律排列则上起第15行,左起第16列的数为________.[答案] 240[解析] 经观察可得这个自然数表的排列特点
①第一列的每个数都是完全平方数,并且恰好等于它所在行数的平方,即第n行的第1个数为n2;
②第一行第n个数为n-12+1;
③第n行从第1个数至第n个数依次递减1;
④第n列从第1个数至第n个数依次递增
1.则上起第15行,左起第16列的数应为第16列的第15个数,即为[16-12+1]+14=152+1+14=15×16=
240.
三、解答题本大题共6个小题,共75分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤16.本小题满分12分2011·上海理已知复数z1满足z1-21+i=1-ii为虚数单位,复数z2的虚部为2,且z1·z2是实数,求z
2.[解析] z1-21+i=1-i⇒z1=2-i设z2=a+2i,a∈R,则z1z2=2-ia+2i=2a+2+4-ai,∵z1z2∈R,∴a=4,∴z2=4+2i.17.本小题满分12分2012·合肥模拟给出以下10个数598043957328176036,要求把大于40的数找出来并输出,试画出该问题的程序框图.[分析] 题目给出了10个数字,将大于40的数找出来.解答本题先确定使用循环结构,再确定循环体.[解析] 程序框图如图所示[点评] 设计程序框图,首先由题意选择合适的结构,再确定本结构需要的条件.18.本小题满分12分设复数z=lgm2-2m-2+m2+3m+2i,当实数m取何值时.1z是纯虚数.2z是实数.3z对应的点位于复平面的第二象限.[解析] 1由题意知解得m=
3.所以当m=3时,z是纯虚数.2由m2+3m+2=0,得m=-1或m=-2,又m=-1或m=-2时,m2-2m-20,所以当m=-1或m=-2时,z是实数.3由即解得-1m1-或1+m
3.所以当-1m1-或1+m3时,z对应的点位于复平面的第二象限.19.本小题满分12分求证关于x的方程ax2+2x+1=0至少有一个负根的充要条件是a≤
1.[分析] 需证明充分性和必要性.证充分性时,可分a=0,a0和0a≤1三种情况证明;证必要性,就是寻找方程有一个负根和两个负根的条件.[证明] 充分性当a=0时,方程为2x+1=0,其根为x=-,方程有一个负根,符合题意.当a0时,Δ=4-4a0,方程ax2+2x+1=0有两个不相等的实根,且0,方程有一正一负根,符合题意.当0a≤1时,Δ=4-4a≥0,方程ax2+2x+1=0有实根,且,故方程有两个负根,符合题意.综上知当a≤1时,方程ax2+2x+1=0至少有一个负根.必要性若方程ax2+2x+1=0至少有一个负根.当a=0时,方程为2x+1=0符合题意.当a≠0时,方程ax2+2x+1=0应有一正一负或两个负根.则0或.解得a0或0a≤
1.综上知若方程ax2+2x+1=0至少有一负根则a≤
1.故关于x的方程ax2+2x+1=0至少有一个负根的充要条件是a≤
1.[点评] 在证必要性时,易忽视a=0的情况而导致得不到结果,出现这种现象的原因是忽视了一元二次方程对二次项系数的要求.20.本小题满分13分1设x是正实数,求证x+1x2+1x3+1≥8x3;2若x∈R,不等式x+1x2+1x3+1≥8x3是否仍然成立?如果成立,请给出证明;如果不成立,请举出一个使它不成立的x的值.[解析] 1x是正实数,由基本不等式知x+1≥2,x2+1≥2x,x3+1≥2,故x+1x2+1x3+1≥2·2x·2=8x3当且仅当x=1时等号成立.2若x∈R,不等式x+1x2+1x3+1≥8x3仍然成立.由1知,当x0时,不等式成立;当x≤0时,8x3≤0,而x+1x2+1x3+1=x+12x2+1x2-x+1=x+12x2+1[x-2+]≥
0.此时不等式仍然成立.21.本小题满分14分2012·贵阳一模已知数列{an}中,Sn是它的前n项和,并且Sn+1=4an+2n=12,…,a1=
1.1设bn=an+1-2ann=12,…,求证数列{bn}是等比数列;2设cn=n=12,…,求证数列{cn}是等差数列;3理求数列{an}的通项公式及前n项和公式.[解析] 1证明∵Sn+1=4an+2,∴Sn+2=4an+1+2,两式相减,得Sn+2-Sn+1=4an+1-4ann=12,…,即an+2=4an+1-4an,变形得an+2-2an+1=2an+1-2an.∵bn=an+1-2ann=12,…,∴bn+1=2bn.由此可知,数列{bn}是公比为2的等比数列.2证明由S2=a1+a2=4a1+2,a1=1,∴a2=5,∴b1=a2-2a1=3,由1知bn=3·2n-1,又cn=.∴cn+1-cn=-==.将bn=3·2n-1代入得cn+1-cn=n=12,….由此可知,数列{cn}是公差d=的等差数列.3解由2得c1==,故cn=n-.∵cn=n-=3n-1,∴an=2n·cn=3n-1·2n-2n=12,….当n≥2时,Sn=4an-1+2=3n-4·2n-1+
2.由于S1=a1=1也适合于此公式,所以{an}的前n项和公式为Sn=3n-4·2n-1+
2.。