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一、期末考试试题期末考试的__有单项选择题、填空题和解答题单项选择题和填空题各5个题,分数约占30%解答题共5个题,包括计算题、化简题和证明题等,分数约占70%各章分数的分布为第9章约6分,第10~14各章有选择题、填空题和解答题,分数分配大致与所用课时成比例期末考试的内容和要求以__电大编发的《计算机数学基础下数值分析部分考核说明》为准主要考核基本概念、基本原理和基本运算可以带简易计算器
二、考核知识点、要求、例题与参考练习题以下分章给出期末考试的考核知识点、复习要求、例题与参考练习题,供期末复习和考试参考第9章数值分析中的误差一考核知识点误差的来源类型;绝对误差和绝对误差限,相对误差和相对误差限,有效数字;绝对误差的传播二复习要求
1.知道产生误差的主要来源
2.了解绝对误差和绝对误差限、相对误差和相对误差限和有效数字等概念以及它们之间的关系
3.知道四则运算中的误差传播公式三例题例1指出下列各数具有几位有效数字,及其绝对误差限和相对误差限
2.0004-
0.
002009000.00解因为x1=
2.0004=
0.20004×101绝对误差限
0.00005=
0.5×101―5,即m=1l=5故x=
2.0004有5位有效数字.相对误差限x2=-
0.00200,绝对误差限
0.000005,3位有效数字相对误差限r=x3=
9000.00,绝对误差限
0.005,6位有效数字,相对误差限为r==
0.00000056例2ln2=
0.69___718…,精确到10-3的近似值是多少?解精确到10-3=
0.001,意旨两个近似值x1x2满足,由于近似值都是四舍五入得到的,要求满足,近似值的绝对误差限应是=
0.0005故至少要保留小数点后三位才可以故ln
20.693四参考练习题:练习
9.1B4,6,9;练习
9.2B2;习题91第10章线性方程组的数值解法一考核知识点高斯顺序消去法,列主元消去法;雅可比迭代法,高斯――赛德尔迭代法,超松弛迭代法;消去法消元能进行到底的条件,迭代解数列收敛的条件二复习要求
1.知道高斯消去法的基本思想,熟练掌握高斯顺序消去法和列主元消去法
2.掌握线性方程组雅可比迭代法和高斯――赛德尔迭代法
3.知道解线性方程组的高斯消去法消元能进行到底的条件,知道迭代解数列收敛概念和上述两种迭代法的收敛性的充分条件二例题例1用顺序消去法解线性方程组解顺序消元于是有同解方程组回代得解x3=-1x2=1x1=1原线性方程组的解为X=11-1T例2取初始向量X0=000T用雅可比迭代法求解线性方程组解建立迭代公式k=123…第1次迭代k=0,X0=0,得到X1=135T第2次迭代,k=1,,得到X2=5-3-3T第3次迭代,k=2,,得到X3=111T第4次迭代,k=3,,得到X4=111T例3填空选择题
1.用高斯列主元消去法解线性方程组作第1次消元后的第2,3个方程分别为解答
1.选a21=2为主元,作行互换,第1个方程变为2x1+2x2+3x3=3,消元得到是应填写的内容
2.用高斯-赛德尔迭代法解线性方程组的迭代格式中=k=012…解答高斯-赛德尔迭代法就是充分利用已经得到的结果,求x2的值时应该用x1的新值答案是
3.当时,线性方程组的迭代解一定收敛A6B=6C6D6解答当a6时,线性方程组的系数矩阵是严格对角占优矩阵,由教材第10章定理6,迭代解一定收敛应选择A四参考练习题:练习
10.1A:13;B12;练习
10.3A2;B12;习题1018第11章函数插值与最小二乘拟合一考核知识点插值函数,插值多项式,__值函数,节点;拉格朗日插值多项式插值基函数;均差及其性质,牛顿插值多项式;分段线性插值、线性插值基函数,样条函数,三次样条插值函数;最小二乘法,法方程组,线性拟合、二次拟合、指数拟合二复习要求
1.了解插值函数,插值节点等概念
2.熟练掌握拉格朗日插值多项式的公式,知道拉格朗日插值多项式余项
3.掌握牛顿插值多项式的公式,了解均差概念和性质,掌握均差表的计算,知道牛顿插值多项式的余项
4.掌握分段线性插值的方法和线性插值基函数的构造
5.知道三次样条插值函数的概念,会求简单的三次样条插值函数
6.了解曲线拟合最小二乘法的意义和推导过程,掌握法方程组的求法,以及线性拟合和二次多项式拟合的方法,三例题例1已知函数y=fx的观察数据为xk-2045yk51-31试构造fx的拉格朗日多项式Pnx,并计算f-1解先构造基函数所求三次多项式为P3x==+-+=P3-1=例2已知函数y=fx的数据如表中第1,2列计算它的各阶均差解依据均差计算公式,结果列表中kxkfxk一阶均差二阶均差三阶均差四阶均差
00.
400.
4107510.
550.
578151.
1160020.
650.
696751.
168000.
2800030.
800.
888111.
275730.
358930.
1973340.
901.
201521.
384100.
433480.
213000.03134计算公式为一阶均差二阶均差………例3设是n+1个互异的插值节点,是拉格朗日插值基函数,证明证明Pnx=y0l0x+y1l1x+…+ynlnx=当fx1时1=由于故有例4已知数据如表的第2,3列,试用直线拟合这组数据kxkykxkyk
11414224.
5493369184481632558.
52542.
5153155105.5例5选择填空题
1.通过四个互异节点的插值多项式Px只要满足则Px是不超过一次的多项式A初始值y0=0B一阶均差为0C二阶均差为0D三阶均差为0解答因为二阶均差为0,那么牛顿插值多项式为Nx=fx0+fx0x1x-x0它是不超过一次的多项式故选择C正确
2.拉格朗日插值多项式的余项是牛顿插值多项式的余项是ABfxx0x1x2…xnx-x1x-x2…x-xn-1x-xnCDfxx0x1x2…xnx-x0x-x1x-x2…x-xn-1x-xn解答A,D见教材有关公式四参考练习题练习
11.1A5;B2,3,5;练习
11.2A12;B2,3,4;练习
11.3A1;B134;练习
11.4:A13;B12;习题115136第12章数值积分与微分一考核知识点数值求积公式,求积节点,求积系数,代数精度;插值型求积公式,牛顿――科茨求积公式,科茨系数及其性质,复化梯形求积公式,复化抛物线求积公式;高斯型求积公式,高斯点,二点、三点高斯――勒让德求积公式;二点、三点插值型求导公式二复习要求
1.了解数值积分和代数精度等基本概念
2.了解牛顿科茨求积公式和科茨系数的性质熟练掌握并推导复化梯形求积公式和复化抛物线求积公式
3.知道高斯求积公式和高斯点概念会用高斯勒让德求积公式求定积分的近似值
4.知道插值型求导公式概念,掌握两点求导公式和三点求导公式三例题例1试确定求积公式的代数精度解当fx取1xx2…计算求积公式何时精确成立1取fx=1有左边=右边=22取fx=x有左边=右边=03类似导出,取fx=x2x3有左边=右边5取fx=x4有左边=2/5右边=2/9当k3求积公式精确成立,而x4公式不成立,可见该求积公式具有3次代数精度例2试用梯形公式、科茨公式和抛物线公式计算定积分计算结果取5位有效数字1用梯形公式计算2用科茨公式系数为=3如果要求精确到10-5,用复化抛物线公式,截断误差为RN[f]N2只需把[
0.51]4等分,分点为
0.
50.
6250.
750.8751例3用三点高斯-勒让德求积公式计算积分解做变量替换,有=查表得节点为
0.774596669和0;系数分别为
0.5555555556和
0.88888888__=+
0.8888888__×+=
0.94083124例4已知函数值f
1.0=
0.250000f
1.1=
0.226757f
1.2=
0.206612,用三点公式计算在x=
1.
01.
11.2处的导数值解三点导数公式为k=123…n-1本例取x0=
1.0x1=
1.1x2=
1.2y0=
0.250000y1=
0.226757y2=
0.206612h=
0.1于是有例5选择填空题
1.如果用复化梯形公式计算定积分要求截断误差不超过
0.5×10-4,试问nA41B42C43D40解答;复化的梯形公式的截断误差为,n=
40.8取n41故选择A
2.已知n=3时,科茨系数,那么=解答由科茨系数的归一性质,四参考练习题练习
12.1A2;B1,2;练习
12.2A3;B1,2;练习
12.3A1;B1,2;练习
12.4A1;B1,2;习题127第13章方程求根1考核知识点二分法;迭代法;牛顿法;弦截法二复习要求
1.知道有根区间概念,和方程fx=0在区间ab有根的充分条件
2.掌握方程求根的二分法,知道其收敛性;掌握二分法二分次数公式,掌握迭代法,知道其收敛性
3.熟练掌握牛顿法掌握初始值的选择条件
4.掌握弦截法三例题例1试建立计算的牛顿迭代格式,并求的近似值,要求迭代误差不超过10-6解令,求x的值牛顿迭代格式为迭代误差不超过10-6,计算结果应保留小数点后6位当x=7或8时,x3=343或512,取x0=8有
7.
4780787.
4399567.
4397607.439760于是,取
7.439760例2用弦截法求方程x3-x2-1=0,在x=
1.5附近的根计算中保留5位小数点解fx=x3-x2-1,f1=-1,f2=3,有根区间取
[12]取x1=1迭代公式为:n=12…
1.
376621488811463481.46553取
1.46553,f
1.46553-
0.000145例3选择填空题
1.设函数fx在区间[ab]上连续若满足则方程fx=0在区间[ab]一定有实根解答因为fx在区间[ab]上连续,在两端点函数值异号,即fafb0,由连续函数的介值定理,必存在c,使得fc=0,故fx=0一定有根
2.为求方程x3―x2―1=0在区间[
1.
31.6]内的一个根,把方程改写成下列形式,并建立相应的迭代公式,迭代公式不收敛的是ABCD迭代公式解答在A中=
1.076故迭代发散应选择A可以验证在B,C,D中,x满足,迭代收敛四参考练习题练习
13.1A2;B234;练习
13.2A12;B234;练习
13.3A3;B1;练习
13.4A1;B14第14章常微分方程的数值解法一考核知识点欧拉公式,梯形公式,改进欧拉法,局部截断误差;龙格――库塔法,局部截断误差二复习要求
1.掌握欧拉法和改进的欧拉法梯形公式、预报-校正公式和平均形式公式,知道其局部截断误差
2.知道龙格库塔法的基本思想知道二阶、三阶龙格库塔法掌握四阶龙格――库塔法,知道龙格库塔法的局部截断误差三例题例1用欧拉法解初值问题取步长h=
0.2计算过程保留6位小数解h=
0.2fx=-y-xy2首先建立欧拉迭代格式当k=0,x1=
0.2时,已知x0=0y0=1,有y
0.2y1=
0.2×14-0×1=
0.8当k=1x2=
0.4时已知x1=
0.2y1=
0.8有y
0.4y2=
0.2×
0.8×4-
0.2×
0.8=
0.6144当k=2x3=
0.6时已知x2=
0.4y2=
0.6144有y
0.6y3=
0.2×
0.6144×4-
0.4×
0.4613=
0.8例2用欧拉预报-校正公式求解初值问题,取步长h=
0.2计算y
0.2y
0.4的近似值,小数点后至少保留5位解步长h=
0.2此时fxy=-y-y2sinx欧拉预报-校正公式为有迭代公式:当k=0,x0=1y0=1时,x1=
1.2,有当k=1,x1=
1.2y1=
0.71549时,x2=
1.4,有=
0.52608例3写出用四阶龙格-库塔法求解初值问题的计算公式,取步长h=
0.2计算y
0.4的近似值至少保留四位小数解此处fxy=8-3y四阶龙格-库塔法公式为其中1=fxkyk;2=fxn+h,yk+h1;3=fxk+h,yn+h2;4=fxk+h,yk+h3本例计算公式为其中1=8-3yk;2=
5.6-
2.1yk;3=
6.32-
2.37yk;4=
4.208+
1.578yk当x0=0y0==2四参考练习题练习
14.1A3;B234,5;练习
14.2A1;B1,235薈蚇袇蒆螃羅袇膆薆袁袆芈螁螇羅莀薄蚃羄蒂莇肂羃节薂羈羂莄蒅袄羁蒇蚁螀羁膆蒄蚆羀艿虿羅聿莁蒂袁肈蒃蚇螇肇膃蒀蚃肆莅蚆虿肅蒈薈羇肅膇螄袃肄芀薇蝿肃莂螂蚅膂蒄薅羄膁膄莈袀膀芆薃螆膀蒈莆螂腿膈蚂蚈膈芀蒄羆膇莃蚀袂膆蒅蒃螈芅膅蚈蚄芄芇蒁羃芄荿蚇罿芃薂葿袅节芁螅螁袈莄薈蚇袇蒆螃羅袇膆薆袁袆芈螁螇羅莀薄蚃羄蒂莇肂羃节薂羈羂莄蒅袄羁蒇蚁螀羁膆蒄蚆羀艿虿羅聿莁蒂袁肈蒃蚇螇肇膃蒀蚃肆莅蚆虿肅蒈薈羇肅膇螄袃肄芀薇蝿肃莂螂蚅膂蒄薅羄膁膄莈袀膀芆薃螆膀蒈莆螂腿膈蚂蚈膈芀蒄羆膇莃蚀袂膆蒅蒃螈芅膅蚈蚄芄芇蒁羃芄荿蚇罿芃薂葿袅节芁螅螁袈莄薈蚇袇蒆螃羅袇膆薆袁袆芈螁螇羅莀薄蚃羄蒂莇肂羃节薂羈羂莄蒅袄羁蒇蚁螀羁膆蒄蚆羀艿虿羅聿莁蒂袁肈蒃蚇螇肇膃蒀蚃肆莅蚆虿肅蒈薈羇肅膇螄袃肄芀薇蝿肃莂螂蚅膂蒄薅羄膁膄莈袀膀芆薃螆膀蒈莆螂腿膈蚂蚈膈芀蒄羆膇莃蚀袂膆蒅蒃螈芅膅蚈蚄芄芇蒁羃芄荿蚇罿芃薂葿袅节芁螅螁袈莄薈蚇袇蒆螃羅袇膆薆袁袆芈螁螇羅莀薄蚃羄蒂莇肂羃节薂羈羂莄蒅袄羁蒇蚁螀羁解将的计算结果列入表中因为n=5a0a1满足的法方程组是解得a0=
2.45a1=
1.25所求拟合直线方程为y=
2.45+
1.25x110。