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林信安老師編寫蚆腿膅芃螈羂肁节袀螅莀芁薀羀芆芀蚂螃膂荿螅罿肈荿蒄螂羄莈薇羇莃莇蝿螀艿莆袁肅膄莅薁袈肀莄蚃肄羆莃螆袆芅蒃蒅肂膁蒂薇袅肇蒁蚀肀羃蒀袂袃莂葿薂螆芈蒈蚄羁膄蒇螆螄肀蒇蒆羀羆薆薈螂芄薅蚁羈膀薄螃螁肆薃薃羆肂薂蚅衿莁薁螇肄芇薁袀袇膃薀蕿肃聿芆蚁袆羅芅螄肁芃芅蒃袄艿芄蚆腿膅芃螈羂肁节袀螅莀芁薀羀芆芀蚂螃膂荿螅罿肈荿蒄螂羄莈薇羇莃莇蝿螀艿莆袁肅膄莅薁袈肀莄蚃肄羆莃螆袆芅蒃蒅肂膁蒂薇袅肇蒁蚀肀羃蒀袂袃莂葿薂螆芈蒈蚄羁膄蒇螆螄肀蒇蒆羀羆薆薈螂芄薅蚁羈膀薄螃螁肆薃薃羆肂薂蚅衿莁薁螇肄芇薁袀袇膃薀蕿肃聿芆蚁袆羅芅螄肁芃芅蒃袄艿芄蚆腿膅芃螈羂肁节袀螅莀芁薀羀芆芀蚂螃膂荿螅罿肈荿蒄螂羄莈薇羇莃莇蝿螀艿莆袁肅膄莅薁袈肀莄蚃肄羆莃螆袆芅蒃蒅肂膁蒂薇袅肇蒁蚀肀羃蒀袂袃莂葿薂螆芈蒈蚄羁膄蒇螆螄肀蒇蒆羀羆薆薈螂芄薅蚁羈膀薄螃螁肆薃薃羆肂薂蚅衿莁薁螇肄芇薁袀袇膃薀蕿肃聿芆蚁袆羅芅螄肁芃芅蒃袄艿芄蚆腿膅芃螈羂肁节袀螅莀芁薀羀芆芀蚂螃膂荿螅罿肈荿蒄螂羄莈薇羇莃莇蝿螀艿數學發現的藝術「解題」是數學中一個主要的活動,從小到大數學的學習活動,都脫離不了學習如何去解題,這個課程主要是取材於George.Polya的如何解題、數學發現、數學與猜想這三部書,希望同學能對於數學方法有更深一層的認識,同時在學習數學的過程中,能有一些遵循的模式與法則當然並不是所有的問題都能經由這些模式與法則去解決,但是我們試圖舉出一些理性、有效率的建議,以提供同學參考
一、歸納法1觀察與歸納什麼是觀察觀察不是單純去看,單純去看可能會視而不見觀察是有意識知覺的活動,它與有意注意結合在一起,與思維相聯繫如何進行觀察呢?第一點要有意識、有目標,處處留心第二點要有基礎,有必要的相關知識,否則難以看出「門道」,只是外行人看熱鬧第三點要有方法,否則抓不到要領在觀察中,要特別注意從個別中想到一般,從平常中發現異常什麼是歸納歸納是由個別的事例向關於這一類事物的一般性的過渡,是一種對經驗、對實驗觀察結果進行去蕪存精、去偽存真的綜合處理方法人們用歸納法清理事實,概括經驗,處理資料,從而形成經驗,發現規律2歸納的過程從一個例子談起哥德__Goldbach猜想探索接觸自然數1234…..….質數的一些性質觀察3+3=6,3+5=8,3+7=5+5=10,5+7=12,3+11=14,…..歸納的結果任意兩個奇質數的和為偶數、任意兩個奇數之和為偶數,任意兩個奇質數的和為大於5的偶數,….反向思考哥德__的疑問?「大於5的偶數可表為兩個奇質數的和」…….哥德__猜想檢驗接觸Euler常用的「假想實驗」設60=3+質數=5+質數=7+質數=…..一個一個去檢查如果對於一個大於5的偶數,經檢驗證明不對,舉出了「反例」,猜想就錯了,但是至目前為止,對直到33106的偶數進行驗算,都是對的自從哥德__於1742年給瑞士數學家歐拉寫了封信,提出了自己證不出的兩個命題1每個大於或等於6的偶數,可表為2個奇質數的和2每個大於或等於9的奇數,可表為3個奇質數的和至今都無法得知此猜想的正確性從哥得__猜想的例子,我們研究了兩類資料一類在建立猜想之前,起了引導、觸發的作用,另一類在猜想形成之後,起了檢驗、支持的作用,對於這兩種情形的研究,都形成了猜想與事實間的某種接觸點前者帶有探索性,後者帶有支持性換句話說,當我們建立一個猜想之後,就希望弄清楚猜想的真偽,當我們經過一連串特例的研究與檢驗,如果都支持猜想的話,我們的信心就會更強,這對於解決猜想是有益的[例題1]法國數學家費馬研究公式Fn=n=1F1=21+1=3n=2F2=24+1=17n=3F3=28+1=257n=4F4=216+1=65537均為質數討論1根據這些結果,你可以形成什麼猜想?2費馬這個猜想對嗎?3為何費馬不多檢查幾個數呢?4多檢查幾個就保險嗎?練習1考慮如下的表1=0+12+3+4=1+85+6+7+8+9=8+2710+11+12+13+14+15+16=27+64…….你可以得到什麼猜想?這個猜想真或偽?3歸納的態度a隨時準備重新審查所得的結論b有充足理由說明應當改變的,就毅然決然改變c沒有充分的根據,則不隨意改變,而應當堅持
二、一般化、特殊化、類比1從幾個例子談起a哥德__猜想3+7=10,3+17=20,13+17=30,23+17=40,….奇質數+奇質數=偶數猜想回頭檢驗此結論是否正確b研究三角形的問題研究正n邊形問題研究三角形的問題研究正三角形的問題研究三角形問題研究正三角形的問題觀察直角三角形、一般三角形的尤拉線c類比的例子平面上空間中理由平面上空間中平面上空間中理由d商高定理一般化從研究對象的一個給定__,進而考慮包含這個給定__的更大__特殊化從研究對象的一個給定__,進而考慮包含在這個給定__的較小__類比類比是抓住某種相似之處,這種相似性有時候是概念上的相似確切的說,類比與其他類型的對比,在思想意圖上有所不同,想像的事物在某種意義下是協調一致的如果我們試圖把這種協調一致的關係歸結為確定的概念,那麼,就是在對這些想像的事物進行類比2用類比來發現的例子[例題2]1找一個整數n,n除以357分別餘1232找一個多項式fx使得f3=1,f5=2,f7=33一數列{an},a1=2,a2=4,且2an+2an+13an=0,求an的一般式[例題3]物理中的類比萬有引力F=G,庫倫定律Fe=k虎克定律F=kx歐姆定律V=IR3一般向特殊的化歸方法由「特殊到一般」和「一般到特殊」是我們認識客觀事物的普遍規律,數學中許多結論都是經過由特殊到一般的發現過程,再用一般的結論解決具體的問題特殊問題往往是比較簡單、具體的,如果一個一般性的問題不易解決,則可先考慮幾種特殊的情形,在分析特殊情況與一般情況之間的聯繫,以啟發解題思路或根據特殊情形提出猜測,即可得出一般的結果,這就是所謂一般向特殊的「化歸」[例題4]在正三角形ABC的邊上任取一點D,作ADE=60,交C的外角平分線於E,那麼ADE是什麼三角形?[特殊情形]考慮D為的端點、中點[一般情形]問題與研究
1.二項式定理a+b0=1,a+b1=a+b,a+b2=a2+2ab+b2,……,a+bna將a+b
3、a+b
4、a+b
5、a+b6…..展開並注意每一個展開式,找出規則b將展開式之中的係數加起來,找出規則c找出尋找a+bn的各項係數的方法
2.一般化a設P為正方形Q所在平面上任意點,試過P點作直線平分Q,這樣的直線有幾條?b考慮Q為正六邊形、正2n邊形、圓、平行四邊形、任何一個中心對稱的圖形,試過P點作直線平分Q,這樣的直線有幾條?c根據ab的結果,你可以得出最廣義的結論是什麼?
3.一般化、類比a運用空間中的類比第2題可以改寫成什麼樣的猜想或問題?b試著證實你的猜想或問題?
4.一般化a希波克拉底的新月形分別以直角三角形的三邊為直徑,分別作半圓,則勾股上的兩個新月形的面積,等於直角三角形的面積b銳角三角形ABC中,A、B、C的對邊分別為abc,則a2=b2+c22bccosA將A逐漸變化接近90,a2b2+c2會有什麼變化?c直角梯形ABCD中,兩底和直腰分別為abc斜腰為d,則d2=ab2+c2觀察abc這三個例子,它們是勾股定理的一般化嗎?為什麼?
5.空間中的類比a空間中,直角四面體ABCD即圍繞一個頂點的三個面的夾角都是直角中,頂點ABCD所對面的面積依次為SA、__、SC、SDBCD為斜面,則SA2=__2+SC2+SD2b空間中直角四面體ABCD即圍繞一個頂點的三個面的夾角都是直角中C=90,AB平面BCD,則AD2=AB2+BC2+CD2證明ab兩個結論,並說明它與勾股定理的關係
6.a如圖,將小正方形A1B1C1D1任意放置在大正方形ABCD中,A/、B/、C/、D/分別為AA
1、BB
1、CC
1、DD1中點,則A/B/C/D/為正方形要證明a可以先觀察幾個特例你可以藉由研究這些特例,而得到一般的結果嗎?b能否將a中的結果推廣到正n邊形呢?c能否將a中的結果推廣到相似圖形呢?d能否將a中正形內部推廣到正方形外或任意位置e在空間中能否提出類似的問題呢?
7.特殊化在ABC三邊分別有點D、E、F,使=,=,=,a求=?b利用a的結果你能證明__va定理嗎?
8.類比的危險a化為分數,做法如下令x==
0.33333……10x=333333……….兩式相減9x=3x=b求11+11+11+…..之值令x=11+11+11+…..x1=11+11+….x1=xx=可以看出來ab有類比的關係,你能說出那一個結果是正確的嗎?透過這樣的類比,我們處理這一類的問題,須注意那些條件?來避免錯誤
9.a設xyab為正實數,且x+y=1,求證+的最小值為+2Hint利用x+y=1,+=+,再利用算幾不等式b設xyab為正實數,且x+y=1,求證+的最小值為c你可否推廣ab的結果?
10.化歸方法為圓O的直徑,且=2R,過上任一點P作弦與成45角,求證MP2+PN2是定值,並求此定值有一道問題如下已知xyz為正實數,且++=1,則x++的最小值為解法如下1=++==2x++這裡用到+2,所以x++9通過以上的做法,對於兩項或四項或一般n項的式子,是否存在著類似的規律?如果有請將你的猜想寫出來,並加以證明羇蒂蚆螅羆膂葿蚁肅芄蚄薇肄莆蒇袆肃肆蚃袂肂芈蒅螈肁莀螁蚄肁蒃薄羂肀膂莆袈聿芅薂螄膈莇莅蚀膇肇薀薆膆腿莃羅膅莁薈袁膅蒄蒁螇膄膃蚇蚃膃芆蒀羁膂莈蚅袇芁蒀蒈螃芀膀蚃虿袇节蒆薅袆蒄螂羄袅膄薄袀袄芆螀螆袃荿薃蚂袃蒁莆羁羂膁薁袇羁芃莄螃羀莅蕿虿罿膅莂蚅羈芇蚈羃羇莀蒀衿羇蒂蚆螅羆膂葿蚁肅芄蚄薇肄莆蒇袆肃肆蚃袂肂芈蒅螈肁莀螁蚄肁蒃薄羂肀膂莆袈聿芅薂螄膈莇莅蚀膇肇薀薆膆腿莃羅膅莁薈袁膅蒄蒁螇膄膃蚇蚃膃芆蒀羁膂莈蚅袇芁蒀蒈螃芀膀蚃虿袇节蒆薅袆蒄螂羄袅膄薄袀袄芆螀螆袃荿薃蚂袃蒁莆羁羂膁薁袇羁芃莄螃羀莅蕿虿罿膅莂蚅羈芇蚈羃羇莀蒀衿羇蒂蚆螅羆膂葿蚁肅芄蚄薇肄莆蒇袆肃肆蚃袂肂芈蒅螈肁莀螁蚄肁蒃薄羂肀膂莆袈聿芅薂螄膈莇莅蚀膇肇薀薆膆腿莃羅膅莁薈袁膅蒄蒁螇膄膃蚇蚃膃芆蒀羁膂莈蚅袇芁蒀蒈螃芀膀蚃虿袇节蒆薅袆蒄螂羄袅膄薄袀袄芆螀螆袃荿薃蚂袃蒁莆羁羂膁薁袇羁芃莄螃羀莅蕿虿罿膅莂蚅羈芇蚈羃羇莀蒀衿羇蒂蚆螅羆膂葿蚁肅芄蚄薇肄莆蒇袆肃肆蚃袂肂芈蒅螈肁莀螁蚄肁蒃薄羂肀膂莆對、增強不對、__特殊化一般化、類比一般化特殊化類比類比類比一般化特殊化類比~10~。