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抽象函数周期性的探究厦门六中黄东梅抽象函数是指没有给出具体的函数解析式只给出它的一些特征、性质或一些特殊关系式的函数,所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力.而在教学中我发现同学们对于抽象函数周期性的判定和运用比较困难所以特探究一下抽象函数的周期性问题.利用周期函数的周期求解函数问题是基本的方法.此类问题的解决应注意到周期函数定义、紧扣函数图象特征,寻找函数的周期,从而解决问题.以下给出几个命题命题1若a是非零常数,对于函数y=fx定义域的一切x,满足下列条件之一,则函数y=fx是周期函数.
(1)函数y=fx满足fx+a=-fx,则fx是周期函数,且2a是它的一个周期.
(2)函数y=fx满足fx+a=,则fx是周期函数,且2a是它的一个周期.
(3)函数y=fx满足fx+a+fx=1,则fx是周期函数,且2a是它的一个周期.命题2若a、b是非零常数,对于函数y=fx定义域的一切x,满足下列条件之一,则函数y=fx是周期函数.1函数y=fx满足fx+a=fx+b,则fx是周期函数,且|a-b|是它的一个周期.2函数图象关于两条直线x=a,x=b对称,则函数y=fx是周期函数,且2|a-b|是它的一个周期.3函数图象关于点Ma0和点Nb0对称,则函数y=fx是周期函数,且2|a-b|是它的一个周期.4函数图象关于直线x=a,及点Mb0对称,则函数y=fx是周期函数,且4|a-b|是它的一个周期.命题3若a是非零常数,对于函数y=fx定义域的一切x,满足下列条件之一,则函数y=fx是周期函数.
(1)若fx是定义在R上的偶函数,其图象关于直线x=a对称,则fx是周期函数,且2a是它的一个周期.
(2)若fx是定义在R上的奇函数,其图象关于直线x=a对称,则fx是周期函数,且4a是它的一个周期.我们也可以把命题3看成命题2的特例命题3中函数奇偶性、对称性与周期性中已知其中的任两个条件可推出剩余一个.下面证明命题3
(1),其他命题的证明基本类似.设条件A:定义在R上的函数fx是一个偶函数.条件B:fx关于x=a对称条件C:fx是周期函数且2a是其一个周期.结论:已知其中的任两个条件可推出剩余一个.证明:
①已知A、B→C(2001年全国高考第22题第二问)∵fx是R上的偶函数∴f-x=fx又∵fx关于x=a对称∴f-x=fx+2a∴fx=fx+2a∴fx是周期函数且2a是它的一个周期
②已知A、C→B∵定义在R上的函数fx是一个偶函数∴f-x=fx又∵2a是fx一个周期∴fx=fx+2a∴f-x=fx+2a∴fx关于x=a对称
③已知C、B→A∵fx关于x=a对称∴f-x=fx+2a又∵2a是fx一个周期∴fx=fx+2a∴f-x=fx∴fx是R上的偶函数由命题32,我们还可以得到结论:fx是周期为T的奇函数,则f=0基于上述命题阐述,可以发现,抽象函数具有某些关系.根据上述命题,我们易得函数周期,从而解决问题,以下探究上述命题在解决抽象函数问题中的运用.
1.求函数值例1fx是R上的奇函数fx=-fx+4,x∈[0,2]时fx=x,求f2007的值解方法一∵fx=-fx+4∴fx+8=-fx+4=fx∴8是fx的一个周期∴f2007=f251×8-1=f-1=-f1=-1方法二∵fx=-fx+4,fx是奇函数∴f-x=fx+4∴fx关于x=2对称又∵fx是奇函数∴8是fx的一个周期,以下与方法一相同.例2已知fx是定义在R上的函数,且满足fx+2[1-fx]=1+fx,f1=2,求f2009的值解由条件知fx1,故类比命题1可知,函数fx的周期为8,故f2009=f251×8+1=f1=
22.求函数解析式例3已知fx是定义在R上的偶函数,fx=f4-x,且当时,fx=-2x+1,则当时求fx的解析式解当时∴f-x=2x+1∵fx是偶函数∴f-x=fx∴fx=2x+1当时∴f-4+x=2-4+x+1=2x-7又函数fx是定义在R上的偶函数,fx=f4-x,类比命题3
(1)知函数fx的周期为4故f-4+x=fx∴当时求fx=2x-
73.判断函数的奇偶性例4已知fx是定义在R上的函数,且满足fx+999=,f999+x=f999-x,试判断函数fx的奇偶性.解由fx+999=,类比命题1可知,函数fx的周期为1998即fx+1998=fx;由f999+x=f999-x知fx关于x=999对称,即f-x=f1998+x故fx=f-xfx是偶函数
4.判断函数的单调性例5已知fx是定义在R上的偶函数,fx=f4-x,且当时,fx是减函数,求证当时fx为增函数解设则∵fx在[-2,0]上是减函数∴又函数fx是定义在R上的偶函数,fx=f4-x,类比命题3
(1)知函数fx的周期为4故fx+4=fx∴∵f-x=fx∴故当时fx为增函数例6fx满足fx=-f6-x,fx=f2-x,若fa=-f2000,a∈[5,9]且fx在[5,9]上单调.求a的值.解∵fx=-f6-x∴fx关于(3,0)对称∵fx=f2-x∴fx关于x=1对称∴根据命题2
(4)得8是fx的一个周期∴f2000=f0又∵fa=-f2000∴fa=-f0又∵fx=-f6-x∴f0=-f6∴fa=f6∵a∈[5,9]且fx在[5,9]上单调∴a=
65.确定方程根的个数例7已知fx是定义在R上的函数,fx=f4-x,f7+x=f7-xf0=0,求在区间[-1000,1000]上fx=0至少有几个根?解依题意fx关于x=2,x=7对称,类比命题2
(2)可知fx的一个周期是10故fx+10=fx∴f10=f0=0又f4=f0=0即在区间0,10]上,方程fx=0至少两个根又fx是周期为10的函数,每个周期上至少有两个根,因此方程fx=0在区间[-1000,1000]上至少有1+2=401个根.PAGE3。