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蚀螇节蒆薆螆羂艿蒂袅肄蒅螀袅膇芈蚆袄荿蒃蚂袃聿莆薈袂膁薁蒄袁芃莄螃袀羃薀虿衿肅莂薅罿膈薈蒁羈芀莁蝿羇罿膄螅羆膂葿蚁羅芄节薇羄羄蒇蒃羃肆芀螂羃膈蒆蚈肂芁芈薄肁羀蒄蒀肀肃芇衿聿芅薂螅肈莇莅蚀肇肇薀薆蚄腿莃蒂蚃节蕿螁螂羁莂蚇螁肃薇薃螁膆莀蕿螀莈膃袈蝿肈蒈螄螈膀芁蚀螇节蒆薆螆羂艿蒂袅肄蒅螀袅膇芈蚆袄荿蒃蚂袃聿莆薈袂膁薁蒄袁芃莄螃袀羃薀虿衿肅莂薅罿膈薈蒁羈芀莁蝿羇罿膄螅羆膂葿蚁羅芄节薇羄羄蒇蒃羃肆芀螂羃膈蒆蚈肂芁芈薄肁羀蒄蒀肀肃芇衿聿芅薂螅肈莇莅蚀肇肇薀薆蚄腿莃蒂蚃节蕿螁螂羁莂蚇螁肃薇薃螁膆莀蕿螀莈膃袈蝿肈蒈螄螈膀芁蚀螇节蒆薆螆羂艿蒂袅肄蒅螀袅膇芈蚆袄荿蒃蚂袃聿莆薈袂膁薁蒄袁芃莄螃袀羃薀虿衿肅莂薅罿膈薈蒁羈芀莁蝿羇罿膄螅羆膂葿蚁羅芄节薇羄羄蒇蒃羃肆芀螂羃膈蒆蚈肂芁芈薄肁羀蒄蒀肀肃芇衿聿芅薂螅肈莇莅蚀肇肇薀薆蚄腿莃蒂蚃节蕿螁螂羁莂蚇螁肃薇薃螁膆莀蕿螀莈膃袈蝿肈蒈螄螈膀芁蚀螇节蒆薆螆羂艿蒂袅肄蒅螀袅膇芈蚆袄荿蒃蚂袃聿莆薈袂膁薁蒄袁芃莄螃袀羃第二讲常微分方程发展简史——适定性理论阶段高阶方程1734年12月BernoulliDaniel在给当时在圣彼得堡的Euler的信中说他已经解决了一端固定在墙上而另一端自由的弹性横梁的横向位移问题他得到了一个四阶线性常微分方程其中是常数是横梁上距自由端的距离是在点的相对于横梁为弯曲位置的垂直位移.Euler在1735年6月前的回信中说道他也已经发现了这个方程对这个方程除了用级数外无法积分.他确实得到了四个级数解这些级数代表圆函数和指数函数但在当时Euler没有了解到这一点.1739年9月Euler在给BernoulliJohn的信中指出上述方程的解可以表示成其中可由条件来确定.弹性问题促使Euler考虑求解常系数一般线性方程的数学问题.1739年9月Euler在给BernoulliJohn的信中首次提到了常系数齐次常微分方程并说他已取得了成功.在1743年至1750年间Euler考虑了$n$阶常系数齐次线性方程第一次引入了特解、通解的概念指出通解必包含个任意常数而且是由个特解分别乘以任意常数后相加而成的创立了求解$n$阶常系数线性齐次微分方程的完整解法--特征方程法.讨论了特征根是单根、重根、共轭复根和复重根的情形这样Euler完整解决了常系数线性齐次方程求解问题.1750年至1751年Euler讨论了n阶常系数线性非齐次方程他又提出了一种降低方程阶的解法.Euler还是微分方程近似解的创始人他提出了的``欧拉折线法不仅解决了常微分方程解的存在性的证明而且也是常微分方程数值计算的最主要的方法之一.1750年Euler又给出了求解微分方程的级数解法.1768年至1769年Euler还将积分因子法__到高阶方程以及利用变换可以将变系数的Euler方程化为常系数线性方程.在Euler工作的基础上1763年DAlembert给出了求非齐次线性方程通解的方法即非齐次方程的通解等于齐次方程的通解加上一个非齐次方程的特解.1762年至1765年间LagrangeJ对高阶变系数线性齐次方程的研究也迈出了一步并引出伴随方程这个名字是1873年FuchsLazarus取的Lagrange并未给它取名同时发现一个定理:非齐次线性常微分方程的伴随方程的伴随方程就是原来方程对应的齐次方程.Lagrange把EulerL在1743年至1750年间关于常系数线性齐次微分方程的某些结果__到了变系数线性齐次方程.Lagrange发现齐次方程的通解是由一些__的特解分别乘以任意常数后相加而成的而且若已知高阶方程的个特解就可以将方程降低阶.1774-1775年Lagrange提出了“常数变易法”解出了一般$n$阶变系数非齐次线性常微分方程.这是18世纪微分方程求解的最高成就.NewtonI在创建微积分时就给出了求解微分方程的“级数展开法”和“待定系数法”;1842年CauchyA完善了“待定系数法”.探索常微分方程的一般积分方法大概到1775年就停止了此后100年没有出现新的重大的新方法直到19世纪末才引进了Lapla__变换法和算子法.从总体上看17世纪的微分方程仍然是微积分的一部分并未单独形成一个分支学科.在18世纪由解决一些具体物理问题而发展起来的微分方程已经成为有自己的目标和方法的新的数学分支.这段时期数学家把注意力主要集中在求常微分方程的解上并且取得了一系列重大进展.对解的理解和寻求在本质上逐渐起了变化.最初数学家们用初等函数找解接着是用一个没有积出的积分来表示解.在用初等函数及其积分来寻求解的巨大努力失败之后数学家们转向用无穷级数求解了.但后来人们逐渐发现很多常微分方程求解是非常困难的甚至是不可能的.
2、常微分方程适定性理论19世纪初期和中期19世纪初期和中期是数学发展史上的一个转变时期数学分析的基础、群的概念、复变函数的开创等都在这个时期常微分方程深受这些新概念和新方法的影响,进入了它发展的第二个阶段Riccati方程在微分方程早期研究中出现的一类重要的非线性方程就是所谓的Riccati方程.它最早是由研究声学的威尼斯的RiccatiJacopoGran__sco伯爵于1723年至1724年间通过变量代换从一个二阶方程降阶得到的一个一阶方程.Riccati的工作之所以者的重视不仅由于他处理了二阶微分方程而且由于他有把二阶方程化到一阶方程的想法使降阶法成为处理高阶方程的主要方法之一.1686年Leibniz向数学界推出求解方程Riccati方程的特例的通解的这一挑战性问题且直言自己研究多年而未果.如此伟大的数学家如此简单的方程激发了许多数学家的研究热情.虽然此方程形式简单但经过几代数学家的努力仍不得其解.1725年DanielBernoulli用初等方法求解了一个特殊的Riccati方程他证明了Riccati方程当为正整数时能化为变量可分离方程.1760年至1761年EulerL证明方程在已知一个特解的情况下通过变换可化为线性方程;DAlembertJ最先研究了一般形式的Riccati方程而且对这类方程采用了“Riccati方程”这一名称.AbelN研究了Abel第一类和第二类方程的若干特殊类型特别是对于Jacobi方程得到了通解.1841年法国数学家Liouville证明了Riccati方程除了某些特殊情形外对一般的不能用初等积分法求其通解.当然对于一般的非线性方程将更是如此这与代数学中五次和五次以上方程没有根式公式解的结论有相似的理论意义.PoincareJ曾经将代数方程求根的问题(见代数学)和常微分方程求解问题的历史发展作过对比,这种对比既直观又富有成果例如11824年,AbelNH证明五次代数方程没有一般的用根式求解的公式,从而结束了一般代数方程求根式通解的企图类似地,1841年Liouville证明了Riccati方程除了某些特殊情形外对一般的不能用初等积分法求其通解从而结束了一般常微分方程求通解的企图21832年GailoisE创造了群的概念,并将代数方程的根用根式表达的可能性和代数方程的根组成的置换群的可解性相__,得到可能性的充分必要条件是可解性类似地,1874年LieMS将群的概念用于常微分方程,引入了将常微分方程的解变为解的连续变换群的概念当连续变换群已知时,常微分方程的积分因子即可显式地写出,从而解决了解的可积性问题这些工作从正反两方面将常微分方程的理论提高到一个新的水平Riccati的工作迫使人们另辟蹊径考虑不借助于解的表达式而从方程本身的特点去推断其解的性质周期性、有界性、稳定性等以及寻找各种近似求解的方法从而导致微分方程理论的研究进入了一个多样化的发展时期.在物理力学上所提出的微分方程问题又大都要求满足某种附加条件的特解即所谓定解问题的解.这样人们开始改变了原来的想法不去求通解而从事定解问题的研究.研究热潮逐渐由求方程的通解转向常微分方程定解问题的适定性.18世纪以后不断出现的特殊的微分方程的求解问题也迫使数学家转向对解的存在性问题的思考.常微分方程理论研究中的一个基本问题是微分方程是否有解存在如果有解存在其解是否唯一这个问题的解决不仅可以使数学家避免对一些根本无解的方程作无谓的探索而且直接影响并导致微分方程的基本理论.这些基本理论包括:解的存在及唯一性、延展性、解的整体存在性、解对初值和参数的连续依赖性和可微性等.初值问题解的存在性19世纪初期CauchyA等人建立了数学分析(又称分析学)的基础无限、极限、连续、可微等等概念得到了精确的意义Cauchy也是复变函数论的奠基人之一.Cauchy的一个考虑了微分方程的解的存在性问题在相当一般条件下解的存在唯一性定理为ODEs的研究奠定了坚实的基础后来又有许多数学家做了大量工作逐渐形成了常微分方程的基本理论.1768年L.Euler最早考虑了一般常微分方程的解的存在性问题并提出用简单的折线来近似地描绘所要寻求的积分曲线--后人称这种方法为Euler折线法差分法它标志了微分方程近似计算方法的开端.1__0年PeanoG在方程右端函数连续的假设下解是否存在的问题进行了研究.1__2年G.Peano18__年给出用__定义自然数的Peano公理;1__0年第一次构造出充满正方形的连续曲线的例子即Peano曲线第一次对此问题给与了正面的回答证明了著名的Peano存在性定理.这一结果通常被称为Cauchy-Peano定理.1915年Perron在更一般条件下研究了解的存在性.Cauchy-Peano存在性定理证明方法很多例如:Euler折线法Cauchy的优级数法Schauder不动点定理方法等.在数学史上用拓扑学方法证明Caucy-Peano存在性定理是19___G.Birkhoff和O.Kellogg第一个给出的.1976年Gardner给出了Cauchy-Peano存在性定理的一个新的初等证明它没有用到Arzela-Ascoli定理而且也没有用到积分的概念.更为有趣的是在没有积分概念的情况下应用Garder方法可以证明关于连续函数的原函数的存在定理.众所周知在微积分学中原函数的存在定理是通过Newton-Leibniz公式给出的积分是不可缺少的概念.初值问题解的唯一性Cauchy在1820年首先严格证明了在相当一般的条件下微分方程解的存在唯一性定理为微分方程理论的发展奠定了坚实的基础1825年他开始对解的延拓等问题进行研究;1836年用优级数法证明了解析系数微分方程解的存在性;1__6年ELindelof用取绝对值的方法得到了最好的优级数.1876年德国数学家LipschitzR把Cauchy的条件作了适当的减弱提出了著名的Lipschitz条件.1838年LiouvilleJ在研究热传导方程时提出了逐次逼近法;1__0年PicardC给出了逐次逼近法的普遍形式并逐渐形成了微分方程的一般理论这一理论无论是对于求解还是研究解的各种性质都是最基本的.在微分方程理论中逐次逼近法是比较经典的方法.最早CauchyLipschitzPeano等曾使用这种方法解决某些特殊类型方程解的存在性问题.ELindelof在1__7年也使用过逐次逼近法解决微分方程解的存在性问题并且还在1__9年证明了隐函数定理.在此之前ACauchy和RLipschitz在对右端函数加上较强的条件得到过同样的结论.1__3年PicardC把这一方法应用到一般非线性微分方程上来因而又称为Picard逐次逼近法建立了Cauchy-Pichard解的存在唯一性定理解的存在唯一性是微分方程理论研究中的最重要的基本问题是微分方程理论研究的基础.从Cauchy起对唯一性问题的研究已有非常之多条件也是多种多样的.在历史上许多著名数学家对此问题进行过深入的研究得到了许多非常好的结果例如Resenbelett-Nagumo-Perron1925定理、Osgood1__8-Ta__rkin-Montel定理、Kamke定理等等.1993年Agarwal和Lakshmikantham对解的存在唯一性问题的研究结果作了全面系统的总结对各种不同的判据作了详尽的分析比较为此问题的进一步研究提供了必要的思路.从此书可以看出所有的判据都是充分性判据都有一定的适用范围一个自然问题是能否找到解唯一的充分必要条件2004年在右端函数连续的前提下王克和范猛建立了自治纯量常微分方程解唯一的充分必要条件__地解决了自治纯量常微分方程的解的唯一性问题.对于其他类型的微分方程这仍然是一个公开问题.直到现在解的唯一性问题仍是常微分方程理论中非常重要的一个研究课题.边值问题常微分方程初值问题的解的存在性的研究有力地推动了人们对各种方程的求解和探索.1833年Sturm首先着手研究二阶方程的边界值问题他鼓励他的朋友Liouville一同参加.1836-1837年间Sturm给出了具有变系数的齐次线性二阶常微分方程在给定条件下具有非零解的条件.同一时期Sturm和Liouville还开创了边值问题和特征值问题在近代物理和工程技术中有广泛的应用并且构成了常微分方程的一个重要的分支--二阶线性方程的边值问题与振动理论.薃蚂羃肈莆薈羂芁薁薄羁莃蒄袃羀肃芇蝿罿膅蒂蚅羈芇芅薁肈羇蒁蒇肇聿芃螅肆膂葿蚁肅莄节蚇肄肄薇薃肃膆莀袂肂芈薅螈肂莁莈蚄膁肀薄薀螇膂莇蒆螆芅薂袄螆肄莅螀螅膇蚀蚆螄艿蒃薂螃莁芆袁螂肁蒁螇袁膃芄蚃袀芆蒀蕿袀羅芃蒅衿膈蒈袄袈芀莁螀袇莂薆蚅袆肂荿薁袅膄薅蒇羄芇莇螆羄羆薃蚂羃肈莆薈羂芁薁薄羁莃蒄袃羀肃芇蝿罿膅蒂蚅羈芇芅薁肈羇蒁蒇肇聿芃螅肆膂葿蚁肅莄节蚇肄肄薇薃肃膆莀袂肂芈薅螈肂莁莈蚄膁肀薄薀螇膂莇蒆螆芅薂袄螆肄莅螀螅膇蚀蚆螄艿蒃薂螃莁芆袁螂肁蒁螇袁膃芄蚃袀芆蒀蕿袀羅芃蒅衿膈蒈袄袈芀莁螀袇莂薆蚅袆肂荿薁袅膄薅蒇羄芇莇螆羄羆薃蚂羃肈莆薈羂芁薁薄羁莃蒄袃羀肃芇蝿罿膅蒂蚅羈芇芅薁肈羇蒁蒇肇聿芃螅肆膂葿蚁肅莄节蚇肄肄薇薃肃膆莀袂肂芈薅螈肂莁莈蚄膁肀薄薀螇膂莇蒆螆芅薂袄螆肄莅螀螅膇蚀蚆螄艿蒃薂螃莁芆袁螂肁蒁螇袁膃芄蚃袀芆蒀蕿袀羅芃蒅衿膈蒈袄袈芀莁螀袇莂薆蚅袆肂荿薁袅膄薅蒇羄芇莇螆羄羆薃蚂羃肈莆薈羂芁薁薄羁莃蒄袃羀肃芇蝿罿膅蒂蚅羈芇芅薁肈羇蒁蒇肇聿芃螅肆。