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知识改变命运,学习成就未来2011年高考数学试题分类汇编函数与导数
一、选择题
1.(安徽理3)设是定义在上的奇函数,当时,,则(A)B(C)1 (D)
32.安徽理10函数在区间〔01〕上的图像如图所示,则m,n的值可能是(A)BCD
3.(安徽文5)若点ab在图像上,则下列点也在此图像上的是(A)(,b)B10a1bCb+1Da22b.
4.安徽文10函数在区间〔01〕上的图像如图所示,则n可能是(A)1B2C3D
45.(北京理6)根据统计,一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位分钟)为(A,c为常数)已知工人组装第4件产品用时30分钟,组装第A件产品时用时15分钟,那么c和A的值分别是A.75,25B.75,16C.60,25D.60,
166.(北京文8)已知点若点在函数的图象上,则使得的面积为2的点的个数为A.4B.3C.2D.
17.(福建理5)等于A.1B.C.D.
8.(福建理9)对于函数其中,,选取的一组值计算和,所得出的正确结果一定不可能是A.4和6B.3和1C.2和4D.1和
29.(福建理10)已知函数,对于曲线上横坐标成等差数列的三个点A,B,C,给出以下判断
①△ABC一定是钝角三角形
②△ABC可能是直角三角形
③△ABC可能是等腰三角形
④△ABC不可能是等腰三角形其中,正确的判断是A.
①③B.
①④C.
②③D.
②④
10.(福建文6)若关于x的方程x2+mx+1=0有两个不相等的实数根,则实数m的取值范围是A.(-1,1)B.(-2,2)C.(-∞,-2)∪(2,+∞)D.(-∞,-1)∪(1,+∞)
11.(福建文8)已知函数fx=,若fa+f1=0,则实数a的值等于A.-3B.-1C.1D.
312.(福建文10)若a>0,b>0,且函数fx=4x3-ax2-2bx+2在x=1处有极值,则ab的最大值等于A.2B.3C.6D.
913.(广东理4)设函数和gx分别是R上的偶函数和奇函数,则下列结论恒成立的是A.+|gx|是偶函数B.-|gx|是奇函数C.||+gx是偶函数D.||-gx是奇函数
14.(广东文4)函数的定义域是()A.B.C.D.
15.(广东文10)设是R上的任意实值函数.如下定义两个函数和;对任意;.则下列等式恒成立的是()A.B.C.D.
16.(湖北理6)已知定义在R上的奇函数和偶函数满足,若,则A.B.C.D.
17.(湖北理10)放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素,其含量不断减少,这种现象成为衰变,假设在放射性同位素铯137的衰变过程中,其含量(单位太贝克)与时间(单位年)满足函数关系,其中为时铯137的含量,已知时,铯137的含量的变化率是(太贝克/年),则A.5太贝克B.太贝克C.太贝克D.150太贝克
18.(湖南文7)曲线在点处的切线的斜率为()A.B.C.D.
19.(湖南文8)已知函数若有则的取值范围为A.B.C.D.
20.(湖南理6)由直线与曲线所围成的封闭图形的面积为()A.B.1C.D.
21.(湖南理8)设直线与函数的图像分别交于点,则当达到最小时的值为()A.1B.C.D.
22.(江西文3)若,则的定义域为B.C.D.
23.(江西文4)曲线在点A
(01)处的切线斜率为()A.1B.2C.D.
24.(江西文6)观察下列各式则,…,则的末两位数字为()A.01B.43C.07D.
4925.(江西理3)若,则定义域为A.B.C.D.
26.(江西理4)设,则的解集为A.B.C.D.
27.(江西理7)观察下列各式,,,…,则的末四位数字为A.3125B.5625C.0625D.
812528.(辽宁理9)设函数,则满足的x的取值范围是A.,2]B.[0,2]C.[1,+]D.[0,+]
29.(辽宁理11)函数的定义域为,,对任意,,则的解集为A.(,1)B.(,+)C.(,)D.(,+)
30.(辽宁文6)若函数为奇函数,则a=A.B.C.D.
131.(全国Ⅰ理2)下列函数中,既是偶函数又在单调递增的函数是(A)B(C)D
32.(全国Ⅰ理9)由曲线,直线及轴所围成的图形的面积为(A)(B)4(C)(D)
633.全国Ⅰ理12函数的图像与函数的图像所有交点的横坐标之和等于(A)2B4C6D
834.(全国Ⅰ文4)曲线在点
(10)处的切线方程为(A)(B)(C)(D)
35.全国Ⅰ文9设偶函数fx满足fx=2x-4x0),则=(A)(B)(C)(D)
36.(全国Ⅱ理2)函数=(≥0)的反函数为A=(∈R)B=(≥0)C=(∈R)D=(≥0)
37.(全国Ⅱ理8)曲线在点
(02)处的切线与直线和围成的三角形的面积为ABCD
138.(全国Ⅱ理9)设是周期为2的奇函数,当时,,则ABCD
39.(山东理9)函数的图象大致是
40.(山东理10)已知是上最小正周期为2的周期函数,且当时则函数的图象在区间
[06]上与轴的交点的个数为(A)6(B)7(C)8(D)
941.(山东文4)曲线在点P1,12处的切线与y轴交点的纵坐标是(A)-9(B)-3(C)9(D)
1542.(陕西理3)设函数(R)满足,,则函数的图像是()
43.(陕西文4)函数的图像是()
44.(上海理16)下列函数中,既是偶函数,又是在区间上单调递减的函数是()(A).(B).(C).(D).
45.(上海文15)下列函数中,既是偶函数,又在区间上单调递减的函数是()(A)(B)(C)(D)
46.(四川理7)若是R上的奇函数,且当时,,则的反函数的图象大致是
47.(四川文4)函数的图象关于直线y=x对称的图象像大致是【
48.(天津理2)函数的零点所在的一个区间是( ). A. B. C. D.
49.(天津理8)设函数若,则实数的取值范围是( ). A. B. C. D.
50.(天津文4)函数的零点所在的一个区间是( ). A. B. C. D.
51.(天津文6)设,,,则( ). A. B. C. D.
52.(天津文10)设函数,则的值域是( ). A. B., C. D.
53.(浙江理1)已知,则的值为A.6B.5C.4D.
254.(浙江文10)设函数,若为函数的一个极值点,则下列图象不可能为的图象是
55.(重庆理5)下列区间中,函数=在其上为增函数的是(A)(-(B)(C)(D)
56.(重庆理10)设m,k为整数,方程在区间
(01)内有两个不同的根,则m+k的最小值为(A)-8(B)8C12D
1357.重庆文3曲线在点处的切线方程为A BCD
58.重庆文6设则的大小关系是A BC D
59.重庆文7若函数在处取最小值则A BC3 D4
二、填空题
60.重庆文15若实数满足,则的最大值是.
61.(浙江文11)设函数若则实数=________________________
62.(天津文16)设函数.对任意,恒成立,则实数的取值范围是 .
63.(天津理16)设函数.对任意,恒成立,则实数的取值范围是 .
64.(四川理13)计算_______.
65.(四川理16)函数的定义域为A,若且时总有,则称为单函数.例如,函数=2x+1是单函数.下列命题
①函数(xR)是单函数;
②若为单函数,且,则;
③若f A→B为单函数,则对于任意,它至多有一个原象;
④函数在某区间上具有单调性,则一定是单函数.其中的真命题是_________.(写出所有真命题的编号)
66.(上海文3)若函数的反函数为,则
67.(上海文12)行列式所有可能的值中,最大的是
68.(上海文14)设是定义在上,以1为周期的函数,若函数在区间上的值域为,则在区间上的值域为
69.(上海理1)函数的反函数为.
70.(上海理10)行列式所有可能的值中,最大的是.
71.(上海理13)设是定义在上,以1为周期的函数,若函数在区间上的值域为,则在区间上的值域为.
72.(陕西文11)设,则______.
73.(陕西理11)设,若,则.
74.(陕西理12)设,一元二次方程有整数根的充要条件是.
75.(山东理16)已知函数=当2<a<3<b<4时,函数的零点.
76.(辽宁文16)已知函数有零点,则的取值范围是___________.
77.(江苏2)函数的单调增区间是__________
78.(江苏8)在平面直角坐标系中,过坐标原点的一条直线与函数的图象交于P、Q两点,则线段PQ长的最小值是________.
79.(江苏11)已知实数,函数,若,则a的值为________
80.(江苏12)在平面直角坐标系中,已知点P是函数的图象上的动点,该图象在P处的切线交y轴于点M,过点P作的垂线交y轴于点N,设线段MN的中点的纵坐标为t,则t的最大值是_____________
81.(湖南文12)已知为奇函数,.
82.(湖北文15)里氏震级M的计算公式为,其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅是相应的标准地震的振幅,假设在一次地震中,测震仪记录的最大振幅是1000此时标准地震的振幅为
0.001,则此次地震的震级为__________级;9级地震的最大的振幅是5级地震最大振幅的__________倍
83.(广东文12)设函数若,则.
84.(广东理12)函数在处取得极小值.
85.(北京理13)已知函数,若关于x的方程有两个不同的实根,则实数k的取值范围是________.
86.(安徽文13)函数的定义域是.
三、解答题
87.(安徽理16)设,其中为正实数(Ⅰ)当时,求的极值点;(Ⅱ)若为上的单调函数,求的取值范围本题考查导数的运算,极值点的判断,导数符号与函数单调变化之间的关系,求解二次不等式,考查运算能力,综合运用知识分析和解决问题的能力.
88.(北京理18)已知函数.1求的单调区间;2若对,,都有,求的取值范围
89.(北京文18)已知函数,(I)求的单调区间;(II)求在区间上的最小值
90.(福建理18)某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量单位千克与销售价格单位元/千克满足关系式,其中,为常数,已知销售价格为5元/千克时,每日可售出该商品11千克.Ⅰ求的值;Ⅱ若该商品的成品为3元/千克试确定销售价格的值使商场每日销售该商品所获得的利润最大.
91.(福建文22)已知a、b为常数,且a≠0,函数fx=-ax+b+axlnx,fe=2,(e=
2.71828…是自然对数的底数)(Ⅰ)求实数b的值;(Ⅱ)求函数fx的单调区间;(Ⅲ)当a=1时,是否同时存在实数m和M(m<M),使得对每一个t∈[m,M],直线y=t与曲线y=fx(x∈[,e])都有公共点?若存在,求出最小的实数m和最大的实数M;若不存在,说明理由
92.(广东理21)
(2)设是定点,其中满足.过作的两条切线,切点分别为,与分别交于.线段上异于两端点的点集记为.证明;解(1),直线AB的方程为,即,,方程的判别式,两根或,,,又,,得,.(2)由知点在抛物线L的下方,
①当时,作图可知,若,则,得;若,显然有点;.
②当时,点在第二象限,作图可知,若,则,且;若,显然有点;.根据曲线的对称性可知,当时,,综上所述,(*);由(1)知点M在直线EF上,方程的两根或,同理点M在直线上,方程的两根或,若,则不比、、小,,又,;又由(1)知,;,综合(*)式,得证.(3)联立,得交点,可知,过点作抛物线L的切线,设切点为,则,得,解得,又,即,,设,,,又,;,,.
93.(广东文19)设讨论函数的单调性.解函数fx的定义域为(0,+∞)综上所述,fx的单调区间如下表(其中)
94.(湖北理17)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下,大桥上的车流速度(单位千米/小时)是车流密度(单位辆/千米)的函数.当桥上的车流密度达到200辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为0;当车流密度不超过20辆/千米时,车流速度为60千米/小时.研究表明当时,车流速度是车流密度的一次函数.(Ⅰ)当时,求函数的表达式;(Ⅱ)当车流密度为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位辆/小时)可以达到最大,并求出最大值.(精确到1辆/小时)本题主要考查函数、最值等基础知识,同时考查运用数学知识解决实际问题的能力.解析(Ⅰ)由题意当时,;当时,设,显然在是减函数,由已知得,解得故函数的表达式为=(Ⅱ)依题意并由(Ⅰ)可得当时,为增函数,故当时,其最大值为;当时,,当且仅当,即时,等号成立.所以,当时,在区间上取得最大值.综上,当时,在区间上取得最大值,即当车流密度为100辆/千米时,车流量可以达到最大,最大值约为3333辆/小时.
95.(湖北理21)(Ⅰ)已知函数,,求函数的最大值;(Ⅱ)设…,均为正数,证明
(1)若……,则;
(2)若…=1,则…+解(Ⅰ)的定义域为,令,在上递增,在上递减,故函数在处取得最大值(Ⅱ)
(1)由(Ⅰ)知当时有即,∵,∴∵∴即
(2)
①先证,令,则由
(1)知∴;
②再证…+,记则于是由
(1)得所以…+综合
①②,
(2)得证
96.(湖北文20)设函数,,其中,a、b为常数,已知曲线与在点
(20)处有相同的切线I求a、b的值,并写出切线的方程;II若方程有三个互不相同的实根
0、、,其中,且对任意的,恒成立,求实数m的取值范围解I,由于曲线曲线与在点
(20)处有相同的切线,故有,由此解得;切线的方程‘II由I得,依题意得方程有三个互不相等的根,故是方程的两个相异实根,所以;又对任意的,恒成立,特别地,取时,成立,即,由韦达定理知,故,对任意的,有,则;又所以函数在上的最大值为0,于是当时对任意的,恒成立;综上的取值范围是
97.(湖南文22)设函数I讨论的单调性;(II)若有两个极值点,记过点的直线的斜率为,问是否存在,使得若存在,求出的值,若不存在,请说明理由.解析(I)的定义域为令当故上单调递增.当的两根都小于0,在上,,故上单调递增.当的两根为,当时,;当时,;当时,,故分别在上单调递增,在上单调递减.(II)由(I)知,.因为,所以又由I知,.于是若存在,使得则.即.亦即[来源:]再由(I)知,函数在上单调递增,而,所以这与式矛盾.故不存在,使得
98.(湖南理20)如图6,长方形物体E在雨中沿面P(面积为S)的垂直方向作匀速移动,速度为,雨速沿E移动方向的分速度为E移动时单位时间内的淋雨量包括两部分
(1)P或P的平行面(只有一个面淋雨)的淋雨量,假设其值与×S成正比,比例系数为;
(2)其它面的淋雨量之和,其值为,记为E移动过程中的总淋雨量,当移动距离d=100,面积S=时(Ⅰ)写出的表达式(Ⅱ)设0<v≤100<c≤5,试根据c的不同取值范围,确定移动速度,使总淋雨量最少解析(I)由题意知,E移动时单位时间内的淋雨量为,故.(II)由I知,当时,当时,故1当时,是关于的减函数.故当时,2当时,在上,是关于的减函数;在上,是关于的增函数;故当时,
99.(湖南理22)已知函数=,g=+(Ⅰ)求函数h=-g的零点个数,并说明理由;(Ⅱ)设数列满足,,证明存在常数M使得对于任意的,都有≤ .解析(I)由知,,而,且,则为的一个零点,且在内有零点,因此至少有两个零点解法1,记,则当时,,因此在上单调递增,则在内至多只有一个零点又因为,则在内有零点,所以在内有且只有一个零点记此零点为,则当时,;当时,;所以,当时,单调递减,而,则在内无零点;当时,单调递增,则在内至多只有一个零点;从而在内至多只有一个零点综上所述,有且只有两个零点解法2,记,则当时,,因此在上单调递增,则在内至多只有一个零点因此在内也至多只有一个零点,综上所述,有且只有两个零点(II)记的正零点为,即
(1)当时,由,即.而,因此,由此猜测下面用数学归纳法证明[来源:]
①当时,显然成立;
②假设当时,有成立,则当时,由知,,因此,当时,成立故对任意的,成立
(2)当时,由
(1)知,在上单调递增则,即从而,即,由此猜测下面用数学归纳法证明
①当时,显然成立;
②假设当时,有成立,则当时,由知,,因此,当时,成立故对任意的,成立综上所述,存在常数,使得对于任意的,都有.
100.(江苏17)请你设计一个包装盒,如图所示,ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得四个点重合于图中的点P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒,E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点,设AE=FB=xcm.
(1)若广告商要求包装盒侧面积S(cm)最大,试问x应取何值?
(2)若广告商要求包装盒容积V(cm)最大,试问x应取何值?并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.【解】
(1)根据题意有(0x30)所以x=15cm时包装盒侧面积S最大.
(2)根据题意有,所以,当时,,所以,当x=20时,V取极大值也是最大值.此时,包装盒的高与底面边长的比值为.即x=20包装盒容积V(cm)最大此时包装盒的高与底面边长的比值为解析本题主要考查空间想象能力、数学阅读能力及运用数学知识解决实际问题的能力、建立数学函数模型求解能力、导数在实际问题中的应用,中档题.
101.(江苏19)已知a,b是实数,函数和是的导函数,若在区间I上恒成立,则称和在区间I上单调性一致.
(1)设,若函数和在区间上单调性一致求实数b的取值范围;
(2)设且,若函数和在以a,b为端点的开区间上单调性一致,求|a-b|的最大值.答案因为函数和在区间上单调性一致,所以,即即实数b的取值范围是由若则由和在区间上不是单调性一致所以.;又.所以要使只有取当时因此当时,因为,函数和在区间(ba)上单调性一致,所以,即,设,考虑点ba的可行域,函数的斜率为1的切线的切点设为则;当时,因为,函数和在区间(ab)上单调性一致,所以,即,当时,因为,函数和在区间(ab)上单调性一致,所以,即而x=0时,不符合题意,当时,由题意综上可知,解析本题主要考查单调性概念、导数运算及应用、含参不等式恒成立问题,综合考查、线性规划、解二次不等式、二次函数、化归及数形结合的思想,考查用分类讨论思想进行探索分析和解决问题的综合能力.1中档题;
(2)难题.
102.(江西理19)设.
(1)若在上存在单调递增区间,求的取值范围;
(2)当时,在上的最小值为,求在该区间上的最大值.【解析】
(1)在上存在单调递增区间,即存在某个子区间使得.由,在区间上单调递减,则只需即可由解得,所以,当时,在上存在单调递增区间.
(2)令,得两根,,.所以在,上单调递减,在上单调递增当时,有,所以在上的最大值为又,即所以在上的最小值为,得,,从而在上的最大值为.
103.(江西文18)如图,在交AC于点D现将
(1)当棱锥的体积最大时,求PA的长;
(2)若点P为AB的中点,E为解
(1)设,则令则单调递增极大值单调递减由上表易知当时,有取最大值证明作得中点F,连接EF、FP,由已知得为等腰直角三角形,,所以.
104.(江西文20)设.
(1)如果在处取得最小值,求的解析式;
(2)如果,的单调递减区间的长度是正整数,试求和的值.注区间的长度为).解
(1)已知,又在处取极值,则,又在处取最小值-
5.则,
(2)要使单调递减,则又递减区间长度是正整数,所以两根设做a,b即有b-a为区间长度又又b-a为正整数,且m+n10所以m=2,n=3或,符合
105.(辽宁理21)已知函数.(I)讨论的单调性;(II)设,证明当时,;(III)若函数的图像与x轴交于A,B两点,线段AB中点的横坐标为x0,证明(x0)<0.解(I)(i)若单调增加.(ii)若且当所以单调增加,在单调减少.(II)设函数则当.故当,(III)由(I)可得,当的图像与x轴至多有一个交点,故,从而的最大值为不妨设由(II)得从而由(I)知,
106.(辽宁文20)设函数=x+ax2+blnx,曲线y=过P
(10),且在P点处的切斜线率为2.(I)求a,b的值;(II)证明≤2x-2.解(I)由已知条件得,解得(II),由(I)知设则而
107.(全国Ⅰ理21)已知函数,曲线在点处的切线方程为(Ⅰ)求、的值;(Ⅱ)如果当,且时,,求的取值范围解(Ⅰ),由于直线的斜率为,且过点,故即解得,(Ⅱ)由(Ⅰ)知,所以考虑函数,则i设,由知,当时,而,故当时,,可得;当x(1,+)时,h(x)0,可得h(x)0从而当x0且x1时,f(x)-(+)0,即f(x)+.(ii)设0k
1.由于当x(1,)时,(k-1)(x2+1)+2x0故x)0而h
(1)=0,故当x(1,)时,h(x)0,可得h(x)0与题设矛盾(iii)设k
1.此时(x)0而h
(1)=0,故当x(1,+)时,h(x)0,可得h(x)0与题设矛盾综合得,k的取值范围为(-,0]
108.(全国Ⅰ文21)设函数(Ⅰ)若a=,求的单调区间;(Ⅱ)若当≥0时≥0,求a的取值范围
(21)解(Ⅰ)时,,当时;当时,;当时,故在,单调增加,在(-1,0)单调减少(Ⅱ)令,则若,则当时,,为减函数,而,从而当x≥0时≥0,即≥
0.若,则当时,,为减函数,而,从而当时<0,即<
0.综合得的取值范围为
109.(全国Ⅱ理22)(Ⅰ)设函数,证明当>0时,>0;(Ⅱ)从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张,然后放回,用这种方式连续抽取20次,设抽得的20个号码互不相同的概率为.证明<<.【命题立意】本小题主要考查函数、导数、不等式证明及等可能事件的概率等知识通过运用导数知识解决函数、不等式问题考查了考生综合运用数学知识解决问题的能力.【解析】(Ⅰ),(仅当时)故函数在单调递增.当时,,故当>0时,>
0.(Ⅱ)从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张,然后放回,连续抽取20次,则抽得的20个号码互不相同的概率为,要证<()19<.先证即证即证而………所以.即再证,即证,即证,即证由(Ⅰ),当>0时,>
0.令则,即综上有
110.(全国Ⅱ文20)已知函数Ⅰ证明曲线(Ⅱ)若求的取值范围【解析】Ⅰ,,又曲线的切线方程是,在上式中令,得所以曲线(Ⅱ)由得,(i)当时,没有极小值;ii当或时,由得故由题设知,当时,不等式无解;当时,解不等式得综合iii得的取值范围是
111.(山东理21)某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度,长度单位米),其中容器的中间为圆柱形,左右两端均为半球形,按照设计要求容器的体积为立方米,且.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元,半球形部分每平方米建造费用为.设该容器的建造费用为千元.(Ⅰ)写出关于的函数表达式,并求该函数的定义域;(Ⅱ)求该容器的建造费用最小时的.【解析】(Ⅰ)因为容器的体积为立方米,所以解得所以圆柱的侧面积为=两端两个半球的表面积之和为所以+定义域为
0.(Ⅱ)因为+=所以令得:;令得:所以米时该容器的建造费用最小.
112.(陕西理21)设函数定义在上,,导函数,.
(1)求的单调区间和最小值;
(2)讨论与的大小关系;
(3)是否存在,使得对任意成立?若存在,求出的取值范围;若不存在,请说明理由.【分析】
(1)先求出原函数,再求得,然后利用导数判断函数的单调性(单调区间),并求出最小值;
(2)作差法比较,构造一个新的函数,利用导数判断函数的单调性,并由单调性判断函数的正负;
(3)存在性问题通常采用假设存在,然后进行求解;注意利用前两问的结论.【解】
(1)∵,∴(为常数),又∵,所以,即,∴;,∴,令,即,解得,当时,,是减函数,故区间在是函数的减区间;当时,,是增函数,故区间在是函数的增区间;所以是的唯一极值点,且为极小值点,从而是最小值点,所以的最小值是.
(2),设,则,当时,,即,当时,,,因此函数在内单调递减,当时,=0,∴;当时,=0,∴.
(3)满足条件的不存在.证明如下证法一假设存在,使对任意成立,即对任意有
①但对上述的,取时,有,这与
①左边的不等式矛盾,因此不存在,使对任意成立.证法二假设存在,使对任意成立,由
(1)知,的最小值是,又,而时,的值域为,∴当时,的值域为,从而可以取一个值,使,即∴,这与假设矛盾.∴不存在,使对任意成立.
113.(陕西文21)设,.
(1)求的单调区间和最小值;
(2)讨论与的大小关系;
(3)求的取值范围,使得<对任意>0成立.【分析】
(1)先求出原函数,再求得,然后利用导数判断函数的单调性(单调区间),并求出最小值;
(2)作差法比较,构造一个新的函数,利用导数判断函数的单调性,并由单调性判断函数的正负;
(3)对任意>0成立的恒成立问题转化为函数的最小值问题.【解】
(1)由题设知,∴令0得=1,当∈(0,1)时,<0,是减函数,故(0,1)是的单调减区间当∈(1,+∞)时,>0,是增函数,故(1,+∞)是的单调递增区间,因此,=1是的唯一极值点,且为极小值点,从而是最小值点,所以的最小值为2,设,则,当时,,即,当时,,因此,在内单调递减,当时,,即
(3)由
(1)知的最小值为1,所以,,对任意,成立即从而得
114.(上海理20)已知函数,其中常数满足
(1)若,判断函数的单调性;
(2)若,求时的的取值范围.解⑴当时,任意,则∵,,∴,函数在上是增函数当时,同理函数在上是减函数⑵,当时,,则;当时,,则
115.(上海文21)已知函数,其中常数满足
(1)若,判断函数的单调性;
(2)若,求时的的取值范围.解⑴当时,任意,则∵,,∴,函数在上是增函数当时,同理函数在上是减函数⑵当时,,则;当时,,则
116.(四川理22)已知函数,.(Ⅰ)设函数Fx=fx-hx,求Fx的单调区间与极值;(Ⅱ)设,解关于x的方程;(Ⅲ)试比较与的大小.本小题主要考查函数导数的应用、不等式的证明、解方程等基本知识,考查数形结合、函数与方程、分类与整合、特殊与一般等数学思想方法及推理运算、分析问题、解决问题的能力.解(Ⅰ)由()知,,令,得.当时,;当时,.故当时,是减函数;时,是增函数.函数在处有得极小值.(Ⅱ)方法一原方程可化为,即为,且
①当时,,则,即,,此时,∵,此时方程仅有一解.
②当时,,由,得,,若,则,方程有两解;若时,则,方程有一解;若或,原方程无解.方法二原方程可化为,即,
①当时,原方程有一解;
②当时,原方程有二解;
③当时,原方程有一解;
④当或时,原方程无解.(Ⅲ)由已知得.设数列的前n项和为,且()从而,当时,.又.即对任意时,有,又因为,所以.故.
117.(四川文22)已知函数,.(Ⅰ)设函数Fx=18fx-x2[hx]2,求Fx的单调区间与极值;(Ⅱ)设,解关于x的方程;(Ⅲ)设,证明.本小题主要考查函数导数的应用、不等式的证明、解方程等基础知识,考查数形结合、函数与方程、分类与整合等数学思想方法及推理运算、分析问题、解决问题的能力.解(Ⅰ),.令,得(舍去).当时.;当时,,故当时,为增函数;当时,为减函数.为的极大值点,且.(Ⅱ)方法一原方程可化为,即为,且
①当时,,则,即,,此时,∵,此时方程仅有一解.
②当时,,由,得,,若,则,方程有两解;若时,则,方程有一解;若或,原方程无解.方法二原方程可化为,即,
①当时,原方程有一解;
②当时,原方程有二解;
③当时,原方程有一解;
④当或时,原方程无解.(Ⅲ)由已知得,.设数列的前n项和为,且()从而有,当时,.又.即对任意时,有,又因为,所以.则,故原不等式成立.
118.(天津理21)已知函数.(Ⅰ)求函数的单调区间和极值;(Ⅱ)已知函数的图象与函数的图象关于直线对称.证明当时,.(Ⅲ)如果,且,证明.【解】(Ⅰ).令,则.当变化时,的变化情况如下表增极大值减所以在区间内是增函数,在区间内是减函数.函数在处取得极大值.且.(Ⅱ)因为函数的图象与函数的图象关于直线对称,所以,于是.记,则,,当时,,从而,又,所以,于是函数在区间上是增函数.因为,所以,当时,.因此.(Ⅲ)1若,由(Ⅰ)及得与矛盾;2若,由由(Ⅰ)及得与矛盾;根据1,2可得.不妨设.由(Ⅱ)可知,所以.因为,所以,又,由(Ⅰ),在区间内是增函数,所以 ,即.
119.(天津文20)已知函数,其中.(Ⅰ)若,求曲线在点处的切线方程;(Ⅱ)若在区间上,恒成立,求的取值范围.【解】(Ⅰ)当时,,.,.所以曲线在点处的切线方程为,即.(Ⅱ).令,解得或.针对区间,需分两种情况讨论1若则.当变化时,的变化情况如下表增极大值减所以在区间上的最小值在区间的端点得到.因此在区间上,恒成立,等价于 即解得,又因为,所以.2若,则.当变化时,的变化情况如下表增极大值减极小值增所以在区间上的最小值在区间的端点或处得到.因此在区间上,恒成立,等价于 即解得或,又因为,所以.综合12的取值范围为.
120.(浙江理22)已知函数.(Ⅰ)求的单调区间和极值;(Ⅱ)求证.解(Ⅰ)定义域为,………2分令,令故的单调递增区间为,的单调递减区间为的极大值为(Ⅱ)证要证即证,即证即证令,由(Ⅰ)可知在上递减,故即,令,故累加得,故,得证法二=,其余相同证法.
121.(浙江文21)设函数,(Ⅰ)求的单调区间;(Ⅱ)求所有实数,使对恒成立.注为自然对数的底数.
(21)本题主要考查函数的单调性、导数运算法则、导数应用等基础知识,同时考查抽象概括、推理论证能力满分15分(Ⅰ)解因为,所以由于,所以的增区间为,减区间为(Ⅱ)证明由题意得,,由(Ⅰ)知内单调递增,要使恒成立,只要,解得
122.(重庆理18)设的导数满足,其中常数(Ⅰ)求曲线在点处的切线方程;Ⅱ设,求函数的极值解(Ⅰ)则;;所以,于是有故曲线在点处的切线方程为Ⅱ由(Ⅰ)知,令;于是函数在上递减,上递增,上递减;所以函数在处取得极小值,在处取得极大值
123.重庆文19设的导数为若函数的图象关于直线对称,且.]Ⅰ求实数的值;Ⅱ求函数的极值解Ⅰ,函数的图象关于直线对称,所以,又;Ⅱ由Ⅰ,令;函数在上递增,在上递减,在上递增,所以函数在处取得极大值,在处取得极大值
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