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专题九《图形与变换》●中考点击考点分析内容要求
1、轴对称图形的识别,轴对称的性质及其应用Ⅰ
2、中心对称图形的识别,中心对称的性质及其应用Ⅱ
3、图形的平移与旋转的性质及应用Ⅱ
4、相似三角形的性质与判定的应用Ⅱ
5、位似图形的识别,位似性质的简单应用Ⅰ命题预测本专题主要包括图形的变换和相似形.其中轴对称图形、平移、中心对称图形的识别,相似三角形性质以填空和选择题为主,主要是考查对图形的识别和性质;图形的折叠、平移、旋转与几何图形面积相关的计算问题以填空题和解答题为主,主要是考查对几何问题的综合运用能力;而相似三角形的性质及判断定的应用往往还会结合圆或者解直角三角形等问题一并考查,主要是以解答题为主对比近两年中考试题,预测2008年在这方面的考查将会弱化较为复杂的综合题和计算题,而相对强化图形与变换中的对称、平移、旋转以及相似和位似等方面的识别题、创新题、开放题,主要考查学生的动手能力,观察与实验能力,探索与实践能力,中考命题趋势是稳中求变,变中创新●难题透视例1如图9-1,把一个正方形三次对折后沿虚线剪下,则所得图形是()【考点要求】本题考查学生轴对称知识的灵活应用【思路点拔】通过实物的演示或者操作以及空间想象,不难得到正确答案【方法点拨】在解答图形的折叠问题时,有时可借助实物进行操作、演示,帮助理解,从而弥补空间思维上出现的盲区例2如图9-2,一只小狗正在平面镜前欣赏自己的全身像,此时,它所看到的全身像()【考点要求】本题考查平面镜的轴对称变换【思路点拔】观察所给的“小狗照镜子”图,可以发现小狗的尾巴向左,并且正面向镜子,由于平面镜成像是轴对称变换,由性质可知,像的尾巴应向左且正面向前【答案】选A【错解剖析】部分学生未能抓住平面镜成像的轴对称变换特性而选择错误答案解题关键先分析清问题是何种对称变换,然后利用性质解题例3如图9-3,下列图案
②③④⑤⑥⑦中,是由
①平移得出的,是由
①平移且旋转得出的【考点要求】本题考查平移、旋转的定义【思路点拔】图
①中的鸽子是头向左,尾巴向右展翅飞翔,平移后的图形应与其方向保持一致,而如果经过旋转后则会发生方向上的改变【答案】
③⑤是由
①平移得出的,
②④⑥⑦是由
①平移且旋转得出的【错解剖析】本题需熟悉平移与旋转的性质,同时还需要一定的空间想象能力例4已知三个数12HYPERLINKhttp://www.7caiedu.cn/EMBEDEquation.DSMT4请你再添上一个只填一个数使它们能构成一个比例式则这个数是_________.【考点要求】本题考查比例式的概念【思路点拔】因为所添数字位置未作要求,因而有多种可能性,设所添数字为x,则有以下几种可能,HYPERLINKhttp://www.7caiedu.cn/EMBEDEquation.DSMT4,HYPERLINKhttp://www.7caiedu.cn/EMBEDEquation.DSMT4,HYPERLINKhttp://www.7caiedu.cn/EMBEDEquation.DSMT4【答案】2HYPERLINKhttp://www.7caiedu.cn/EMBEDEquation.DSMT4或HYPERLINKhttp://www.7caiedu.cn/EMBEDEquation.DSMT4或HYPERLINKhttp://www.7caiedu.cn/EMBEDEquation.DSMT4【思路点拔】这是一道开放型试题,由于题中没有告知构成比例的各数顺序故应考虑各种可能位置.解题关键以x为比例外项,则另一个比例外项可能是
1、2或HYPERLINKhttp://www.7caiedu.cn/EMBEDEquation.DSMT
4.例5如图9-4在△ABC中ACAB点D在AC边上点D不与A、C重合若再增加上条件就能使△ABD∽△ACB则这个条件可以是_______.【考点要求】本题考查三角形相似的判定方法的运用【思路点拔】由于所识别的两三角形隐含着一个公共角∠A因此依照识别方法只要再附加条件∠ABD=∠C∠ADB=∠ABC或HYPERLINKhttp://www.7caiedu.cn/EMBEDEquation.DSMT4即可.【答案】∠ABD=∠C∠ADB=∠ABCHYPERLINKhttp://www.7caiedu.cn/EMBEDEquation.DSMT4【错解剖析】部分学生不熟悉三角形相似的判定方法,易错用“边边角”进行判定,也有学生不注意两个三角形顶点的对应突破方法本题答案只要求填写一个,为确保正确,可根据△ABD∽△ACB找出一对相等的对应角例6如图9-6AD是直角△ABC斜边上的高DE⊥DF且DE和DF分别交AB、AC于E、F.求证:HYPERLINKhttp://www.7caiedu.cn/EMBEDEquation.DSMT4【考点要求】本题考查利用相似证明比例线段问题【思路点拔】∵∠BAC=90°AD⊥BC∴∠B+∠C=90°∠DAC+∠C=90°.∴∠B=∠DAC.同理∠C=∠BAD.又∵∠ADE+∠ADF=90°∠CDF+∠ADF=90°∴∠ADE=∠CDF.又∵∠BED=∠BAD+∠ADE∠AFD=∠C+∠CDF.∴∠BED=∠AFD.∴△BED∽△AFD.∴HYPERLINKhttp://www.7caiedu.cn/EMBEDEquation.DSMT4【方法点拔】所证比例式中四条线段为△AFD与△BDE的边只需证△AFD与△BDE相似即可.解题关键证明比例式或等积式的基本方法是证明包含比例式或等积式中的四条线段所在的两三角形相似.如果直接证明不容易则可等线段转化或等比转化.●难点突破方法总结图形的轴对称、平移、旋转是近年中考的新题型、热点题型,它主要考查学生的观察与实验能力,探索与实践能力,因此在解题时应注意以下方面
1.熟练掌握图形的轴对称、图形的平移、图形的旋转的基本性质和基本方法
2.结合具体问题大胆尝试,动手操作平移、旋转,探究发现其内在规律是解答操作题的基本方法3.注重图形与变换的创新题,弄清其本质,掌握其基本的解题方法,尤其是折叠与旋转等相似形内容难度与前几年相比,有所降低,主要解题方法可归纳如下
1.准确掌握图形相似的概念、性质、判定和应用是应考的基本战略
2.把握基本图形,实现对等转化是解决与相似三角形有关问题的重要方法,如通过平行线构造相似三角形;利用“A”型、“X”型找相似三角形;利用中间比实现转化等
3.熟练掌握图形的相似各类应用问题,从中提炼出解题的基本方法,如类比法、设比值法、数形结合法等
4.注重基础,不断创新,利用相似解决实际生活中的测量、设计等问题●拓展演练
一、选择题1.在平面内,将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度,这样的图形运动称为旋转下列图案中,不能由一个图形通过旋转而构成的是()2.下列各图中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是()3.如图已知D、E分别是△ABC的AB、AC边上一点DE∥BC且HYPERLINKhttp://www.7caiedu.cn/EMBEDEquation.DSMT4四边形HYPERLINKhttp://www.7caiedu.cn/EMBEDEquation.DSMT4=1:3,那么AD:AB等于A.HYPERLINKhttp://www.7caiedu.cn/EMBEDEquation.DSMT4B.HYPERLINKhttp://www.7caiedu.cn/EMBEDEquation.DSMT4C.HYPERLINKhttp://www.7caiedu.cn/EMBEDEquation.DSMT4D.HYPERLINKhttp://www.7caiedu.cn/EMBEDEquation.DSMT
44.如图是用杠杆撬石头的示意图C是支点当用力压杠杆的A端时杠杆绕C点转动另一端B向上翘起石头就被撬动.现有一块石头要使其滚动杠杆的B端必须向上翘起10cm已知杠杆的动力臂AC与阻力臂BC之比为5:1则要使这块石头滚动至少要将杠杆的A端下压A.100cmB.60cmC.50cmD.10cm
5.把正方形ABCD沿着对角线AC的方向平移到正方形A′B′C′D′的位置,它们的重叠部分图中的阴影部分的面积是正方形ABCD面积的一半,若AC=HYPERLINKhttp://www.7caiedu.cn/EMBEDEquation.3,则正方形平移的距离AA′是().A.1B.HYPERLINKhttp://www.7caiedu.cn/EMBEDEquation.3C.HYPERLINKhttp://www.7caiedu.cn/EMBEDEquation.3D.HYPERLINKhttp://www.7caiedu.cn/EMBEDEquation.
36.如图13已知梯形ABCD中AD∥BC对角线AC、BD分别交中位线EF于点H、G且EG:GH:HF=1:2:1那么AD:BC等于A.2:3B.3:5C.1:3D.1:
27.同学们曾玩过万花筒,它是由三块等宽等长的玻璃片围成的.如图是看到的万花筒的一个图案,图中所有小三角形均是全等的等边三角形,其中的菱形AEFG可以看成是把菱形ABCD以A为中心()A.顺时针旋转60°得到B.顺时针旋转120°得到C.逆时针旋转60°得到D.逆时针旋转120°得到
8.已知∠AOB=30°,点P在∠AOB内部,P1与P关于OB对称,P2与P关于OA对称,则P1,O,P2三点所构成的三角形是( )A.直角三角形B.钝角三角形C.等腰三角形D.等边三角形
9.点P是△ABC中AB边上的一点过点P作直线不与直线AB重合截△ABC使截得的三角形与原三角形相似.满足这样条件的直线最多有A.2条B.3条C.4条D.5条
10.如图,菱形纸片ABCD的一内角为60°.边长为2,将它绕对角线的交点O顺时针旋转90°后到A′B′C′D′位置,则旋转前后两菱形重叠部分多边形的周长为()A.8B.4HYPERLINKhttp://www.7caiedu.cn/EMBEDEquation.3-1C.8HYPERLINKhttp://www.7caiedu.cn/EMBEDEquation.3-1D.4HYPERLINKhttp://www.7caiedu.cn/EMBEDEquation.3+1
二、填空题
11.在你所学过的几何图形中,写出两个既是轴对称图形又是中心对称图形的图形名称
12.若两个相似三角形的相似比是2:3则这两个三角形对应中线的比是__________.
13.由16个相同的小正方形拼成的正方形网格,现将其中的两个小正方形涂黑如右图请你用两种不同的方法分别在下图中再将两个空白的小正方形涂黑,使它成为轴对称图形
14.如图,AD是ΔABC的中线,∠ADC=45°,把ΔADC沿AD对折,点C落在点C′的位置,则BC′与BC之间的数量关系是.
15.如图已知∠1=∠2若再增加一个条件就能使结论“AB·DE=AD·BC”成立则这个条件可以是_________________.
16.如图在正方形ABCD中F是AD的中点BF与AC交于点G则△BGC与四边形CGFD的面积之比是________.
17.在△ABC和△A′B′C′中有下列条件:
①HYPERLINKhttp://www.7caiedu.cn/EMBEDEquation.DSMT4;
②HYPERLINKhttp://www.7caiedu.cn/EMBEDEquation.DSMT4;
③∠A=∠A′;
④∠B=∠B′;
⑤∠C=∠C′.如果从中任取两个条件组成一组那么能判断△ABC∽△A′B′C′的共有_______组.
三、解答题18.已知,点P是正方形ABCD内的一点,连PA、PB、PC.
(1)将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置(如图1).
①设AB的长为a,PB的长为b(ba),求△PAB旋转到△P′CB的过程中边PA所扫过区域(图1中阴影部分)的面积;
②若PA=2,PB=4,∠APB=135°,求PC的长.
(2)如图2,若PA2+PC2=2PB2,请说明点P必在对角线AC上.29.实验与推理如图14―1,14―2,四边形ABCD是正方形,M是AB延长线上一点直角三角尺的一条直角边经过点D,且直角顶点E在AB边上滑动(点E不与点A,B重合),另一条直角边与∠CBM的平分线BF相交于点F⑴如图14―1,当点E在AB边的中点位置时
①通过测量DE,EF的长度,猜想DE与EF满足的数量关系是;
②连接点E与AD边的中点N,猜想NE与BF满足的数量关系是;
③请证明你的上述两猜想⑵如图14―2,当点E在AB边上的任意位置时,请你在AD边上找到一点N,使得NE=BF,进而猜想此时DE与EF有怎样的数量关系20.图1是边长分别为4和3的两个等边三角形纸片ABC和C′D′E′叠放在一起(C与C′重合).
(1)操作固定△ABC,将△C′D′E′绕点C顺时针旋转30°得到△CDE,连结AD、BE,CE的延长线交AB于F(图2);探究在图2中,线段BE与AD之间有怎样的大小关系?试证明你的结论.
(2)操作将图2中的△CDE,在线段CF上沿着CF方向以每秒1个单位的速度平移,平移后的△CDE设为△PQR(图3);探究设△PQR移动的时间为x秒,△PQR与△ABC重叠部分的面积为y,求y与x之间的函数解析式,并写出函数自变量x的取值范围.
(3)操作图1中△C′D′E′固定,将△ABC移动,使顶点C落在C′E′的中点,边BC交D′E′于点M,边AC交D′C′于点N,设∠ACC′=α(30°<α<90°=(图4);探究在图4中,线段C′N·E′M的值是否随α的变化而变化?如果没有变化,请你求出C′N·E′M的值,如果有变化,请你说明理由.●习题答案专题九《图形与变换》
1.【答案】C[点拨能由旋转而构成的图形必须是旋转对称图形,C只是轴对称图形]
2.【答案】C[点拨B即不是轴对称图形,也不是中心对称图形]
3.【答案】C[点拨由HYPERLINKhttp://www.7caiedu.cn/EMBEDEquation.DSMT4四边形HYPERLINKhttp://www.7caiedu.cn/EMBEDEquation.DSMT4=1:3,可知HYPERLINKhttp://www.7caiedu.cn/EMBEDEquation.DSMT4=1:4,根据相似三角形面积比等于相似比的平方可得AD:AB=1:2]
4.【答案】C[点拨根据相似三角形的性质,可求得A端要向下压50cm,也可利用物理学中的杠杆定律解题]
5.【答案】D[点拨因为AC=HYPERLINKhttp://www.7caiedu.cn/EMBEDEquation.3,所以正方形ABCD的面积等于1,所以阴影小正方形的面积等于HYPERLINKhttp://www.7caiedu.cn/EMBEDEquation.DSMT4,其边长等于HYPERLINKhttp://www.7caiedu.cn/EMBEDEquation.DSMT4,所以A′C=1,所以AA′=HYPERLINKhttp://www.7caiedu.cn/EMBEDEquation.3]
6.【答案】C[点拨设HYPERLINKhttp://www.7caiedu.cn/EMBEDEquation.DSMT4,则HYPERLINKhttp://www.7caiedu.cn/EMBEDEquation.DSMT4,根据三角形中位线的性质可得HYPERLINKhttp://www.7caiedu.cn/EMBEDEquation.DSMT4,HYPERLINKhttp://www.7caiedu.cn/EMBEDEquation.DSMT4,所以AD:BC=1:3]
7.【答案】C[点拨菱形ABCD中AB边的对应边为AE,所以旋转角为∠BAE=120°]
8.【答案】D[点拨根据题目描述,画出图形,利用轴对称性质容易得到结果]
9.【答案】C[点拨过点P可分别作AC、BC的平行线,由此可得相似三角形,另外还可作与AB相交的两条直线,构造相似三角形]
10.【答案】C[根据旋转性质,可以知道所得阴影部分图形的边长相等,再根据三角形全等和勾股定理可证得其长等于AB′=HYPERLINKhttp://www.7caiedu.cn/EMBEDEquation.3-1,从而求得周长]
11.【答案】菱形、圆[点拨比如矩形、正方形、菱形、圆等]
12.【答案】2:3[根据相似三角形面积之比等于相似比的平方可求得结果]
13.【答案】略[点拨本题没有固定答案,有多种答案可选择]
14.【答案】BC′=HYPERLINKhttp://www.7caiedu.cn/EMBEDEquation.3BC[点拨因为∠ADC=45°,由轴对称性质可知DC′=DC,∠C′DC=90°.又BD=CD,由勾股定理可知,BC′=HYPERLINKhttp://www.7caiedu.cn/EMBEDEquation.DSMT4BC]
15.【答案】∠B=∠D[点拨本题答案不唯一,要结论成立,只需△ABC∽△ADE]
16.【答案】4:5[点拨容易证明△AFG∽△CBG,因为F是AD中点,所以FG︰BG=1︰2,又△AFG与△ABG等高,所以HYPERLINKhttp://www.7caiedu.cn/EMBEDEquation.DSMT4=2︰1,所以△BGC与四边形CGFD的面积之比是4:5]
17.【答案】6组[点拨根据三角形相似的判定,有三组对应边的比相等,两个对应角相等,两组对应边的比相等且夹角相等三种依据可判定两个三角形相似,所以有以下组合
①②、
①④、
②⑤、
③④、
④
⑤、
③⑤]
三、解答题
18.【答案】解
(1)
①S阴影=HYPERLINKhttp://www.7caiedu.cn/EMBEDEquation.DSMT4
②连结PP′,证△PBP′为等腰直角三角形,从而PC=6;
(2)将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置,由勾股逆定理证出∠P′CP=90°,再证∠BPC+∠APB=180°,即点P在对角线AC上.
19.【答案】解
(1)
①DE=EF;
②NE=BF
③证明∵四边形ABCD是正方形,N,E分别为AD,AB的中点,∴DN=EB∵BF平分∠CBM,AN=AE,∴∠DNE=∠EBF=90°+45°=135°∵∠NDE+∠DEA=90°,∠BEF+∠DEA=90°,∴∠NDE=∠BEF∴△DNE≌△EBF,∴DE=EF,NE=BF
(2)在DA边上截取DN=EB(或截取AN=AE),连结NE,点N就使得NE=BF成立(图略)此时,DE=EF20【答案】解
(1)BE=AD证明∵△ABC与△DCE是等边三角形∴∠ACB=∠DCE=60°CA=CB,CE=CD ∴∠BCE=∠ACD∴△BCE≌△ACD∴BE=AD(也可用旋转方法证明BE=AD)
(2)如图在△CQT中∵∠TCQ=30°∠RQT=60°∴∠QTC=30°∴∠QTC=∠TCQ ∴QT=QC=x ∴RT=3-x∵∠RTS+∠R=90°∴∠RST=90°∴y=HYPERLINKhttp://www.7caiedu.cn/EMBEDEquation.DSMT4×32-HYPERLINKhttp://www.7caiedu.cn/EMBEDEquation.DSMT43-x2=-HYPERLINKhttp://www.7caiedu.cn/EMBEDEquation.DSMT43-x2+HYPERLINKhttp://www.7caiedu.cn/EMBEDEquation.DSMT40≤x≤3
(3)C′N·E′M的值不变证明∵∠ACC′=60°∴∠MCE′+∠NCC′=120°∵∠CNC′+∠NCC′=120°∴∠MCE′=∠CNC′∵∠E′=∠C′∴△E′MC∽△C′CN∴HYPERLINKhttp://www.7caiedu.cn/EMBEDEquation.DSMT4∴C′N·E′M=C′C·E′C=HYPERLINKhttp://www.7caiedu.cn/EMBEDEquation.DSMT4×HYPERLINKhttp://www.7caiedu.cn/EMBEDEquation.DSMT4=HYPERLINKhttp://www.7caiedu.cn/EMBEDEquation.DSMT
4.图9-1图9-2图9-3图9-4图9-6ABCDABCD第5题图第6题图第7题图第10题第13题第14题第15题第16题图1图2E′D′图2图3D′E′图4C/(C/)(C/)TS。