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绝密★启用前2010年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(必修+选修Ⅱ)本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第I卷1至2页,第Ⅱ卷3至4页考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回第I卷注意事项1.答题前,考生在答题卡上务必用直径
0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚,并帖好条形码.请认真核准条形码的准考证号、姓名和科目.2.每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,在试题卷上作答无效.3.第I卷共10小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.参考公式如果事件A、B互斥,那么球的表面积公式PA+B=PA+PB如果事件A、B相互独立,那么其中R表示球的半径PA·B=PA·PB球的体积公式如果事件A在一次试验中发生的概率是P,那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率其中R表示球的半径
一、选择题
(1)复数(A)(B)(C)(D)
(2)记,那么(A)(B)-(C)(D)-
(3)若变量满足约束条件则的最大值为(A)4(B)3(C)2(D)1
(4)已知各项均为正数的等比数列中,=(A)(B)7(C)6(D)
(5)的展开式中x的系数是(A)-4(B)-2(C)2(D)4
(6)某校开设A类选修课3门,B类选择题4门,一位同学从中共选3门,若要求两类课程中各至少选一门,则不同的选法共有(A)30种(B)35种(C)42种(D)48种
(7)正方体ABCD—A1B1C1D1中,BB1与平面ACD1所成角的余弦值为(A)(B)(C)(D)
(8)设,则(A)(B)(C)(D)
(9)已知F
1、F2为双曲线的左、右焦点,点P在C上,,则P到x轴的距离为(A)(B)(C)(D)
(10)已知函数,则的取值范围是(A)(B)(C)(D)
(11)已知圆O的半径为1,PA、PB为该圆的两条切线,A、B为两切点,那么的最小值为(A)(B)(C)(D)
(12)已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点,若AC=CD=2,则四面体ABCD的体积的最大值为(A)(B)(C)(D)绝密★启用前2010年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(必修+选修Ⅱ)第Ⅱ卷注意事项1.答题前,考生先在答题卡上用直径
0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚,然后贴好条形码请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目2.第Ⅱ卷共2页,请用直径
0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答,在试题卷上作答无效3.第Ⅱ卷共10小题,共90分
二、填空题本大题共4小题,每小题5分,共20分把答案填在题中横线上(注意在试题卷上作答无效)
(13)不等式的解集是
(14)已知为第三象限的角,,则
(15)直线与曲线有四个交点,则的取值范围是
(16)已知是椭圆的一个焦点,是短轴的一个端点,线段的延长线交于点,且,则的离心率为
三、解答题本大题共6小题,共70分解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
(17)(本小题满分10分)(注意在试题卷上作答无效)已知内角A,B及其对边,满足,求内角C
(18)(本小题满分12分)(注意在试题卷上作答无效)投到某杂志的稿件,先由两位初审专家进行评审,若能通过两位初审专家的评审,则予以录用;若两位初审专家都未予通过,则不予录用;若恰能通过一位初审专家的评审,则再由第三位专家进行复审,若能通过复审专家的主审,则予以录用,否则不予录用高稿件能通过各初审专家评审的概率均为
0.5,复审的稿件能通过评审的概率为
0.3各专家独立评审(Ⅰ)求设到该杂志的1篇稿件被录用的概率;(Ⅱ)记X表示投到该杂志的4篇稿件中被录用的篇数,求X的分布列及期望
(19)(本小题满分12分)(注意在试题卷上作答无效)如图,四棱锥S—ABCD中,底面ABCD,AB//DC,,DC=SD=2,E为棱SB上的一点,平面EDC平面SBC(Ⅰ)证明SE=2EB;(Ⅱ)求二面角A—DE—C的大小
(20)(本小题满分12分)(注意在试题卷上作答无效)已知函数(Ⅰ)若,求的取值范围;(Ⅱ)证明
(21)(本小题满分12分)(注意在试题卷上作答无效)已知抛物线的焦点为F,过点K(-1,0)的直线与C相交于A、B两点,点A关于轴的对称点为D(Ⅰ)证明点F在直线BD上;(Ⅱ)设,求的内切圆M的方程
(22)(本小题满分12分)(注意在试题卷上作答无效)已知数列中,(Ⅰ)设,求数列的通项公式;(Ⅱ)求使不等式成立的的取值范围参考答案
一、选择题
(1)A
(2)B
(3)B
(4)A
(5)C
(6)A
(7)D
(8)C
(9)B
(10)C
(11)D
(12)B
二、填空题
(13)]
(14)
(15)
(16)
三、解答题
(17)解由及正弦定理得,从而又故,所以
(18)解(Ⅰ)记A表示事件稿件能通过两位初审专家的评审;B表示事件稿件恰能通过一位初审专家的评审;C表示事件稿件能通过复审专家的评审;D表示事件稿件被录用则(Ⅱ),其分布列为,,,,期望
(19)解法一(Ⅰ)连结BD,取DC的中点G,连结BG,由此知DG=GC=BG=1,即为直角三角形,故又平面ABCD,故BCSD,所以,BC平面BDS,BCDE作BKEC,K为垂足,因平面EDC平面SBC,故BK平面EDC,BKDEDE与平面SBC内的两条相交直线BK、BC都垂直DE平面SBC,DEEC,DESB…………4分所以SE=2EB(Ⅱ)由知,又AD=1故为等腰三角形,取ED中点F,连接AF,则AFDE,所以,是二面角A—DE—C的平面角连结AG,所以,二面角A—DE—C的大小为120°解法二以D为坐标原点,射线DA为轴正半轴,建立如图所示的直角坐标系设,则(Ⅰ)设平面SBC的法向量为由得故令又设,则设平面CDE的法向量则,得故令由平面DEC平面SBC得故SE=2EB(Ⅱ)由(Ⅰ)知,取DE中点E,则故,由此得又,故,由此得,向量与的夹角等于二面角A—DE—C的平面角于是所以,二面角A—DE—C的大小为120°
(20)解(Ⅰ)题设等价于令当时,;当时,,的最大值点,综上,的取值范围是(Ⅱ)由(Ⅰ)知,即当时,当时;所以
(21)解设,的方程为(Ⅰ)将并整理得从而直线BD的方程为即令,得所以点F(1,0)在直线BD上(Ⅱ)由
①知,因为故解得所以的方程为又由
①知故直线BD的斜率因而直线BD的方程为因为KF为的平分线,故可设圆心,及BD的距离分别为由(舍去),故圆M的半径所以圆M的方程为
(22)解(Ⅰ),,即,又所以是首项为,公比为4的等比数列,(Ⅱ)用数学归纳法证明当时,(i)当时,,命题成立;(ii)设当时,,则当时,故由(i),(ii)知当时,当时,令,由得当时,当时,,于是,当时,因此不符合要求所以的取值范围是。