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2010年普通高等学校招生全国统一考试浙江卷数学(理科)本试题卷分选择题和非选择题两部分全卷共5页,选择题部分1至2页,非选择题部分3至5页满分150分,考试时间120分钟参考公式如果事件A,B互斥,那么PA+B=PA+PB如果事件A,B相互独立,那么PA·B=PA·PB如果事件A在一次试验中发生的概率是P,那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率台体的体积公式,其中,分别表示台体的上、下底面积,表示台体的高柱体的体积公式,其中S表示柱体的底面积,表示柱体的高锥体的体积公式,其中S表示锥体的底面积,表示锥体的高球的表面积公式球的体积公式,其中R表示球的半径第I卷选择题部分(共50分)
一、选择题本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设则()A.B.C.D.
2.某程序框图如图所示,若输出的S=57,则判断框内为A.B.C.D.
3.设为等比数列的前项和,,则A.11B.5C.-8D.-
114.设,则“”是“”的A.充分而不必不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
5.对任意复数为虚数单位,则下列结论正确的是A.B.C.D.
6.设是两条不同的直线,是一个平面,则下列命题正确的是A.若B.若C.若D.若
7.若实数满足不等式组且的最大值为9,则实数A.-2B.-1C.1D.
28.设F1,F2分别为双曲线的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点P,满足,且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲的渐近线方程为A.B.C.D.
9.设函数,则在下列区间中函数不存在零点的是A.[-4,-2]B.[-2,0]C.[0,2]D.[2,4]
10.设函数的集合,平面上点的集合,则在同一直角坐标系中,P中函数的图象恰好经过Q中两个点的函数的个数是A.4B.6C.8D.10第Ⅱ卷(非选择题共90分)
二、填空题本大题共7小题,每小题4分,共28分
11.函数的最小正周期是
12.若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的体积是cm
3.
13.设抛物线的焦点为F,点.若线段的中点在抛物线上,则到该抛物线准线的距离为
14.设=,将的最小值记为,则其中
15.设为实数,首项为,公差为的等差数列的前项和为,满足,则的取值范围是
16.已知平面向量满足的夹角为120°则
17.有4位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”、“握力”、“台阶”五个项目的测试,每位同学上、下午各测试一个项目,且不重复,若上午不测“握力”项目,下午不测“台阶,其余项目上、下午都各测试一人,则不同的安排方式共有种(用数字作答).
三、解答题本大题共5小题,共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18.(本题满分14分)在中,角所对的边分别为,已知(I)求的值;(II)当a=2,时,求及的长.
19.(本题满分14分)如图,一个小球从M处投入,通过管道自上面下落到A或B或C,已知小球从每个叉口落入左右两个管道的可能性是相等的.某商家按上述投球方式进行促销活动,若投入的小球落到,则分别设为1,2,3等奖.(I)已知获得1,2,3等奖的折扣率分别为50%,70%,90%,记随机变量为获得等奖的折扣率,求随机变量的分布列及数学期望(II)若有3人次(投入1球为1人次)参加促销活动,记随机变量为获得1等奖或2等奖的人次,求().
20.(本题满分15分)如图,在矩形ABCD中,点E,F分别在线段AB,AD上,AE=EB=AF=沿直线EF将翻折成使平面平面BEF.(I)求二面角的余弦值;(II)点M,N分别在线段FD,BC上,若沿直线MN将四边形MNCD向上翻折,使C与重合,求线段FM的长.
21.(本题满分15分)已知,直线椭圆分别为椭圆C的左、右焦点.(I)当直线过右焦点F2时,求直线的方程;(II)设直线与椭圆C交于A,B两点,,的重心分别为G,H.若原点O在以线段GH为直径的圆内,求实数m的取值范围.
22.(本题满分14分)已知是给定的实常数,设函数是的一个极大值点.(I)求的取值范围;(II)设是的3个极值点,问是否存在实数b,可找到,使得的某种排列(其中)依次成等差数列?若存在,示所有的及相应的若不存在,说明理由.参考答案
一、选择题
1.B
2.A
3.D
4.B
5.D
6.B
7.C
8.C
9.A
10.B
二、填空题
11.
12.
14413.
14.
15.
16.
17.264
三、解答题
18.本题主要考查三角交换、正弦定理、余弦定理等基础知识,同时考查运算求解能力.解(Ⅰ)因为,及所以(Ⅱ)当时,由正弦定理,得由及得由余弦定理,得解得.所以
19.本题主要考查随机事件的概率和随机变量的分布列、数学期望、二项分布等概念,同时考查抽象概括、运算求解能力和应用意识.解(Ⅰ)由题意得的分布列为50%70%P则(Ⅱ)由(Ⅰ)知,获得1等奖或2等奖的概率为由题意得则
20.本题主要考查空间点、线、面位置关系,二面角等基础知识,空间向中量的应用,同时考查空间想象能力和运算求解能力.解法一(Ⅰ)解取线段EF的中点H,连结因为及H是EF的中点,所以又因为平面平面BEF,及平面所以平面BEF.如图建立空间直角坐标系则故设为平面的一个法向量所以取又平面BEF的一个法向量故所以二面角的余弦值为(Ⅱ)设因为翻折后,C与A重合,所以CM=故,得经检验,此时点N在线段BG上.所以解法二(Ⅰ)取截段EF的中点H,AF的中点G,连结,NH,GH因为及H是EF的中点,所以H//EF又因为平面EF平面BEF,所以H`平面BEF,又平面BEF,故,又因为G,H是AF,EF的中点,易知GH//AB,所以GH,于是面GH所以为二面角—DF—C的平面角,在中,所以故二面角—DF—C的余弦值为(Ⅱ)设,因为翻折后,G与重合,所以,而,,得,经检验,此时点N在线段BC上,所以
21.本题主要考查椭圆的几何性质,直线与椭圆,点与圆的位置关系等基础知识,同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力满分15分解(Ⅰ)因为直线经过所以,又因为所以故直线的方程为(Ⅱ)设,由消去得,则由,知,且有由于,故O为F1F2的中点,由,可知.设M是GH的中点,则由题意可知,即即而所以即又因为所以所以的取值范围是(1,2)
22.本题主要考查函数极值的概念、导数运算法则、导数应用及等差数列基础知识,同时考查推理论证能力,分类讨论等综合解题能力和创新意识.解(Ⅰ)令则于是可设是的两实根,且.
(1)当时,则不是的极值点,此时不合题意
(2)当时,由于是的极大值点,故即即所以所以的取值范围是(-∞,).(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,假设存在及满足题意,则
(1)当时,则于是即此时,或
(2)当时,则.
①若于是即于是.此时
②若于是即于是此时综上所述,存在满足题意.当;当;当。