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2010年中考数学试题分类汇编综合型问题
20、(2010年浙江省东阳县)如图,BD为⊙O的直径,点A是弧BC的中点,AD交BC于E点,AE=2,ED=
4.
(1)求证:~;2求的值;
(3)延长BC至F,连接FD,使的面积等于,求的度数.【关键词】圆、相似三角形、三角形函数问题【答案】(1)∵点A是弧BC的中点 ∴∠ABC=∠ADB又∵∠BAE=∠BAE ∴△ABE∽△ABD(2)∵△ABE∽△ABD ∴AB2=2×6=12 ∴AB=2在Rt△ADB中,tan∠ADB=(3)连接CD,可得BF=8,BE=4,则EF=4,△DEF是正三角形,∠EDF=60°20.(2010年山东省青岛市)某学校组织八年级学生参加社会实践活动,若单独租用35座客车若干辆,则刚好坐满;若单独租用55座客车,则可以少租一辆,且余45个空座位.
(1)求该校八年级学生参加社会实践活动的人数;
(2)已知35座客车的租金为每辆320元,55座客车的租金为每辆400元.根据租车资金不超过1500元的预算,学校决定同时租用这两种客车共4辆(可以坐不满).请你计算本次社会实践活动所需车辆的租金.【关键词】不等式与方程问题【答案】解
(1)设单独租用35座客车需x辆,由题意得解得.∴(人).答该校八年级参加社会实践活动的人数为175人.3分
(2)设租35座客车y辆,则租55座客车()辆,由题意得,6分解这个不等式组,得.∵y取正整数,∴y=
2.∴4-y=4-2=
2.∴320×2+400×2=1440(元).所以本次社会实践活动所需车辆的租金为1440元.2010年安徽省B卷
23.(本小题满分12分)如图,内接于,的平分线与交于点,与交于点,延长,与的延长线交于点,连接是的中点,连结.
(1)判断与的位置关系,写出你的结论并证明;
(2)求证;
(3)若,求的面积.【关键词】圆等腰三角形三角形全等三角形相似勾股定理【答案】
(1)猜想.证明如图,连结OC、OD.∵,G是CD的中点,∴由等腰三角形的性质,有.
(2)证明∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°.而∠CAE=∠CBF(同弧所对的圆周角相等).在Rt△ACE和Rt△BCF中,∵∠ACE=∠BCF=90°,AC=BC,∠CAE=∠CBF,∴Rt△ACE≌Rt△BCF(ASA)∴.
(3)解如图,过点O作BD的垂线,垂足为H.则H为BD的中点.∴OH=AD,即AD=2OH.又∠CAD=∠BADCD=BD,∴OH=OG.在Rt△BDE和Rt△ADB中,∵∠DBE=∠DAC=∠BAD,∴Rt△BDE∽Rt△ADB∴,即∴又,∴.∴…
①设,则,AB=.∵AD是∠BAC的平分线,∴.在Rt△ABD和Rt△AFD中,∵∠ADB=∠ADF=90°,AD=AD,∠FAD=∠BAD,∴Rt△ABD≌Rt△AFD(ASA).∴AF=AB=,BD=FD.∴CF=AF-AC=在Rt△BCF中,由勾股定理,得…
②由
①、
②,得.∴.解得或(舍去).∴∴⊙O的半径长为.∴2010年安徽省B卷
24.(本小题满分12分)已知抛物线的对称轴为与轴交于两点,与轴交于点其中、
(1)求这条抛物线的函数表达式.
(2)已知在对称轴上存在一点P,使得的周长最小.请求出点P的坐标.
(3)若点是线段上的一个动点(不与点O、点C重合).过点D作交轴于点连接、.设的长为,的面积为.求与之间的函数关系式.试说明是否存在最大值,若存在,请求出最大值;若不存在,请说明理由.【关键词】二次函数解析式对称点相似三角形三角形面积【答案】
(1)由题意得解得http://www.czsx.com.cn∴此抛物线的解析式为
(2)连结、.因为的长度一定,所以周长最小,就是使最小.点关于对称轴的对称点是点,与对称轴的交点即为所求的点.设直线的表达式为则解得∴此直线的表达式为把代入得∴点的坐标为
(3)存在最大值理由∵即∴∴即∴连结==∵∴当时,(2010年福建省晋江市)已知如图,把矩形放置于直角坐标系中,,,取的中点,连结,把沿轴的负方向平移的长度后得到.1试直接写出点的坐标;2已知点与点在经过原点的抛物线上,点在第一象限内的该抛物线上移动,过点作轴于点,连结.
①若以、、为顶点的三角形与相似,试求出点的坐标;
②试问在抛物线的对称轴上是否存在一点,使得的值最大.【关键词】二次函数、相似三角形、最值问题答案解1依题意得;2
①∵,,∴.∵抛物线经过原点,∴设抛物线的解析式为又抛物线经过点与点∴解得∴抛物线的解析式为.∵点在抛物线上,∴设点.1若∽,则,,解得舍去或,∴点.2若∽,则,http://www.czsx.com.cn,解得舍去或,∴点.
②存在点,使得的值最大.抛物线的对称轴为直线,设抛物线与轴的另一个交点为,则点.∵点、点关于直线对称,∴要使得的值最大,即是使得的值最大,根据三角形两边之差小于第三边可知,当、、三点在同一直线上时,的值最大.设过、两点的直线解析式为,∴解得∴直线的解析式为.当时,.∴存在一点使得最大.
2.(2010年福建省晋江市)如图,在等边中,线段为边上的中线.动点在直线上时,以为一边且在的下方作等边,连结.1填空度;2当点在线段上点不运动到点时,试求出的值;3若,以点为圆心,以5为半径作⊙与直线相交于点、两点,在点运动的过程中点与点重合除外,试求的长.【关键词】三角形全等、等边三角形、垂径定理答案160;2∵与都是等边三角形∴,,∴∴∴≌∴,∴.3
①当点在线段上(不与点重合)时,由2可知≌,则,作于点,则,连结,则.在中,,,则.在中,由勾股定理得,则.
②当点在线段的延长线上时,∵与都是等边三角形∴,,∴∴∴≌∴,同理可得.
③当点在线段的延长线上时,∵与都是等边三角形∴,,∴∴∴≌∴∵∴∴.同理可得.综上,的长是
6.
1.(2010年浙江省东阳市)如图,P为正方形ABCD的对称中心,A(0,3),B(1,0),直线OP交AB于N,DC于M,点H从原点O出发沿x轴的正半轴方向以1个单位每秒速度运动,同时,点R从O出发沿OM方向以个单位每秒速度运动,运动时间为t求
(1)C的坐标为▲;
(2)当t为何值时,△ANO与△DMR相似?
(3)△HCR面积S与t的函数关系式;并求以A、B、C、R为顶点的四边形是梯形时t的值及S的最大值关键词相似三角形、动态问题、二次函数答案
(1)C(4,1)
(2)当∠MDR=450时,t=2点H(2,0)当∠DRM=450时,t=3点H(3,0)(3)S=-t2+2t(0<t≤4);S=t2-2t(t>4)当CR∥AB时,t=,S=当AR∥BC时,t=,S=当BR∥AC时,t=,S=
1、(2010年宁波市)如图,已知⊙P的半径为2,圆心P在抛物线上运动,当⊙P与轴相切时,圆心P的坐标为___________【关键词】直线与圆的位置关系,二次函数【答案】(,2)或(,2)(对珍一个得2分)
2、(2010年宁波市)如图
1、在平面直角坐标系中,O是坐标原点,□ABCD的顶点A的坐标为(-2,0),点D的坐标为(0,),点B在轴的正半轴上,点E为线段AD的中点,过点E的直线与轴交于点F,与射线DC交于点G
(1)求的度数;
(2)连结OE,以OE所在直线为对称轴,△OEF经轴对称变换后得到△,记直线与射线DC的交点为H
①如图2,当点G在点H的左侧时,求证△DEG∽△DHE;
②若△EHG的面积为,请直接写出点F的坐标【关键词】平行四边形,相似【答案】解
(1)
(2)(2,)
(3)
①略
②过点E作EM⊥直线CD于点M∵CD∥AB∴∴∵∴∵△DHE∽△DEG∴即当点H在点G的右侧时,设,∴解∴点F的坐标为(,0)当点H在点G的左侧时,设,∴解,(舍)∵△DEG≌△AEF∴∵∴点F的坐标为(,0)综上可知,点F的坐标有两个,分别是(,0),(,0)(2010辽宁省丹东市).如图,已知在⊙O中,AB=4,AC是⊙O的直径,AC⊥BD于F,∠A=30°.
(1)求图中阴影部分的面积;
(2)若用阴影扇形OBD围成一个圆锥侧面,请求出这个圆锥的底面圆的半径.【关键词】圆锥侧面积【答案】解
(1)法一过O作OE⊥AB于E,则AE=AB=2.1分在RtAEO中,∠BAC=30°,cos30°=.∴OA===4.…………………………3分又∵OA=OB,∴∠ABO=30°.∴∠BOC=60°.∵AC⊥BD,∴.∴∠COD=∠BOC=60°.∴∠BOD=120°.5分∴S阴影==.6分法二连结AD.1分∵AC⊥BD,AC是直径,∴AC垂直平分BD.……………………2分∴AB=AD,BF=FD,.∴∠BAD=2∠BAC=60°,∴∠BOD=120°.……………………3分∵BF=AB=2,sin60°=,AF=AB·sin60°=4×=6.∴OB2=BF2+OF2.即.∴OB=4.5分∴S阴影=S圆=.6分法三连结BC.………………………………………………………………………………1分∵AC为⊙O的直径,∴∠ABC=90°.∵AB=4,∴.……………………3分∵∠A=30°,AC⊥BD,∴∠BOC=60°,∴∠BOD=120°.∴S阴影=π·OA2=×42·π=.……………………6分以下同法一.
(2)设圆锥的底面圆的半径为r,则周长为2πr,∴.∴.(2010辽宁省丹东市).如图,平面直角坐标系中有一直角梯形OMNH,点H的坐标为(-8,0),点N的坐标为(-6,-4).
(1)画出直角梯形OMNH绕点O旋转180°的图形OABC,并写出顶点A,B,C的坐标(点M的对应点为A,点N的对应点为B,点H的对应点为C);
(2)求出过A,B,C三点的抛物线的表达式;
(3)截取CE=OF=AG=m,且E,F,G分别在线段CO,OA,AB上,求四边形BEFG的面积S与m之间的函数关系式,并写出自变量m的取值范围;面积S是否存在最小值若存在,请求出这个最小值;若不存在,请说明理由;
(4)在
(3)的情况下,四边形BEFG是否存在邻边相等的情况,若存在,请直接写出此时m的值,并指出相等的邻边;若不存在,说明理由.【关键词】旋转抛物线的表达式;存在性问题【答案】
(1)利用中心对称性质,画出梯形OABC.1分∵A,B,C三点与M,N,H分别关于点O中心对称,∴A(0,4),B(6,4),C(8,0)3分(写错一个点的坐标扣1分)
(2)设过A,B,C三点的抛物线关系式为,∵抛物线过点A(0,4),∴.则抛物线关系式为.4分将B(6,4),C(8,0)两点坐标代入关系式,得5分解得6分所求抛物线关系式为.7分
(3)∵OA=4,OC=8,∴AF=4-m,OE=8-m.8分∴OA(AB+OC)AF·AGOE·OFCE·OA(0<<4)10分∵.∴当时,S的取最小值.又∵0<m<4,∴不存在m值,使S的取得最小值.12分
(4)当时,GB=GF,当时,BE=BG.14分(2010江苏宿迁)(本题满分12分)已知抛物线交x轴于A
10、B30两点,交y轴于点C,其顶点为D.
(1)求b、c的值并写出抛物线的对称轴;
(2)连接BC,过点O作直线OE⊥BC交抛物线的对称轴于点E.求证四边形ODBE是等腰梯形;
(3)抛物线上是否存在点Q,使得△OBQ的面积等于四边形ODBE的面积的?若存在,求点Q的坐标;若不存在,请说明理由.【关键词】抛物线关系式及图形的存在性问题【答案】
(1)求出,,抛物线的对称轴为x=2………………3分2抛物线的解析式为,易得C点坐标为(0,3),D点坐标为(2,-1)设抛物线的对称轴DE交x轴于点F,易得F点坐标为(2,0),连接OD,DB,BE∵OBC是等腰直角三角形,DFB也是等腰直角三角形,E点坐标为(2,2),∴∠BOE=∠OBD=∴OE∥BD∴四边形ODBE是梯形………………5分在和中,OD=,BE=∴OD=BE∴四边形ODBE是等腰梯形………………7分3存在,………………8分由题意得………………9分设点Q坐标为(x,y),由题意得=∴当y=1时,即,∴,,∴Q点坐标为(2+,1)或2-,1………………11分当y=-1时,即,∴x=2,∴Q点坐标为(2,-1)综上所述,抛物线上存在三点Q(2+,1),Q2-,1,Q(2,-1)使得=.………………12分2010年浙江省绍兴市如图设抛物线C1:C2:C1与C2的交点为AB点A的坐标是点B的横坐标是-
2.
(1)求的值及点B的坐标;
(2)点D在线段AB上过D作x轴的垂线垂足为点H在DH的右侧作正三角形DHG.记过C2顶点M的直线为且与x轴交于点N.
①若过△DHG的顶点G点D的坐标为12,求点N的横坐标;
②若与△DHG的边DG相交求点N的横坐标的取值范围.【答案】解
(1)∵点A在抛物线C1上,∴把点A坐标代入得=
1.∴抛物线C1的解析式为设B-2b,∴b=-4∴B-2-
4.
(2)
①如图1,∵M15,D12且DH⊥x轴,∴点M在DH上,MH=
5.过点G作GE⊥DH垂足为E由△DHG是正三角形可得EG=EH=1,∴ME=
4.设Nx0则NH=x-1由△MEG∽△MHN得∴∴∴点N的横坐标为.
②当点D移到与点A重合时如图2,直线与DG交于点G此时点N的横坐标最大.过点GM作x轴的垂线垂足分别为点QF设N(x,0),∵A24∴G2∴NQ=,NF=GQ=2MF=
5.∵△NGQ∽△NMF,∴∴∴.当点D移到与点B重合时如图3,直线与DG交于点D即点B此时点N的横坐标最小.∵B-2-4∴H-20D-2-4设N(x,0),∵△BHN∽△MFN,∴,∴∴.∴点N横坐标的范围为≤x≤.(2010年宁德市)(本题满分13分)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,BC=6,AD=3,∠DCB=30°.点E、F同时从B点出发,沿射线BC向右匀速移动.已知F点移动速度是E点移动速度的2倍,以EF为一边在CB的上方作等边△EFG.设E点移动距离为x(x>0).⑴△EFG的边长是____(用含有x的代数式表示),当x=2时,点G的位置在_______;⑵若△EFG与梯形ABCD重叠部分面积是y,求
①当0<x≤2时,y与x之间的函数关系式;
②当2<x≤6时,y与x之间的函数关系式;⑶探求⑵中得到的函数y在x取含何值时,存在最大值,并求出最大值.【答案】解⑴x,D点;⑵
①当0<x≤2时,△EFG在梯形ABCD内部,所以y=x2;
②分两种情况Ⅰ.当2<x<3时,如图1,点E、点F在线段BC上,△EFG与梯形ABCD重叠部分为四边形EFNM,∵∠FNC=∠FCN=30°∴FN=FC=6-2x.∴GN=3x-
6.由于在Rt△NMG中,∠G=60°,所以,此时y=x2-(3x-6)2=.Ⅱ.当3≤x≤6时,如图2,点E在线段BC上,点F在射线CH上,△EFG与梯形ABCD重叠部分为△ECP,∵EC=6-x∴y=(6-x)2=.⑶当0<x≤2时,∵y=x2在x>0时,y随x增大而增大,∴x=2时,y最大=;当2<x<3时,∵y=在x=时,y最大=;当3≤x≤6时,∵y=在x<6时,y随x增大而减小,∴x=3时,y最大=.综上所述当x=时,y最大=.24.(2010浙江省喜嘉兴市)如图,已知抛物线y=-x2+x+4交x轴的正半轴于点A,交y轴于点B.
(1)求A、B两点的坐标,并求直线AB的解析式;
(2)设P(x,y)(x>0)是直线y=x上的一点,Q是OP的中点(O是原点),以PQ为对角线作正方形PEQF,若正方形PEQF与直线AB有公共点,求x的取值范围;
(3)在
(2)的条件下,记正方形PEQF与△OAB公共部分的面积为S,求S关于x的函数解析式,并探究S的最大值.【关键词】一元二次方程、一次函数、二次函数、【答案】
(1)令,得,即,解得,,所以.令,得,所以.设直线AB的解析式为,则,解得,所以直线AB的解析式为.…5分
(2)当点在直线AB上时,,解得,当点在直线AB上时,,解得.所以,若正方形PEQF与直线AB有公共点,则.…4分
(3)当点在直线AB上时,(此时点F也在直线AB上),解得.
①当时,直线AB分别与PE、PF有交点,设交点分别为C、D,此时,,又,所以,从而,.因为,所以当时,.
②当时,直线AB分别与QE、QF有交点,设交点分别为M、N,此时,,又,所以,即.其中当时,.综合
①②得,当时,.…5分232010年浙江省金华.本题10分)已知点P的坐标为(m,0),在x轴上存在点Q(不与P点重合),以PQ为边作正方形PQMN,使点M落在反比例函数y=的图像上.小明对上述问题进行了探究,发现不论m取何值,符合上述条件的正方形只有两个,且一个正方形的顶点M在第四象限,另一个正方形的顶点M1在第二象限.
(1)如图所示,若反比例函数解析式为y=,P点坐标为(1,0),图中已画出一符合条件的一个正方形PQMN,请你在图中画出符合条件的另一个正方形PQ1M1N1,并写出点M1的坐标;(温馨提示作图时,别忘了用黑色字迹的钢笔或签字笔描黑喔!)M1的坐标是▲
(2)请你通过改变P点坐标,对直线M1M的解析式y﹦kx+b进行探究可得k﹦▲,若点P的坐标为(m,0)时,则b﹦▲;
(3)依据2的规律,如果点P的坐标为(6,0),请你求出点M1和点M的坐标.【关键词】反比例函数、坐标、一次函数【答案】解
(1)如图;M1的坐标为(-1,2)
(2),
(3)由
(2)知,直线M1M的解析式为则,满足解得,∴,∴M1,M的坐标分别为(,),(,).24.(2010年浙江台州市)如图,Rt△ABC中,∠C=90°,BC=6,AC=8.点P,Q都是斜边AB上的动点,点P从B向A运动(不与点B重合),点Q从A向B运动,BP=AQ.点D,E分别是点A,B以Q,P为对称中心的对称点,HQ⊥AB于Q,交AC于点H.当点E到达顶点A时,P,Q同时停止运动.设BP的长为x,△HDE的面积为y.
(1)求证△DHQ∽△ABC;
(2)求y关于x的函数解析式并求y的最大值;
(3)当x为何值时,△HDE为等腰三角形?【关键词】相似三角形、二次函数、等腰三角形【答案】
(1)∵A、D关于点Q成中心对称,HQ⊥AB,∴=90°,HD=HA,∴,∴△DHQ∽△ABC.
(2)
①如图1,当时,ED=,QH=,此时.当时,最大值.
②如图2,当时,ED=,QH=,此时.当时,最大值.∴y与x之间的函数解析式为HYPERLINKhttp://www.czsx.com.cnEMBEDEquation.3y的最大值是.
(3)
①如图1,当时,若DE=DH,∵DH=AH=,DE=,∴=,.显然ED=EH,HD=HE不可能;若DE=DH,=,;若HD=HE,此时点D,E分别与点B,A重合,;若ED=EH,则△EDH∽△HDA,∴,,.∴当x的值为时,△HDE是等腰三角形.(其他解法相应给分)
20.(2010年益阳市)如图9,在平面直角坐标系中,已知A、B、C三点的坐标分别为A(-2,0),B(6,0),C(0,3).1求经过A、B、C三点的抛物线的解析式;2过C点作CD平行于轴交抛物线于点D,写出D点的坐标,并求AD、BC的交点E的坐标;3若抛物线的顶点为P,连结PC、PD,判断四边形CEDP的形状,并说明理由.【关键词】二次函数、一次函数、菱形的判定【答案】⑴由于抛物线经过点,可设抛物线的解析式为,则, 解得∴抛物线的解析式为 ⑵的坐标为直线的解析式为直线的解析式为 由HYPERLINKhttp://www.czsx.com.cnEMBEDEquation.3 求得交点的坐标为 ⑶ 连结交于,的坐标为又∵, ∴,且 ∴四边形是菱形 FDGEBCAOFDGEBCAOHACxyBOOACxyBEPDAOxBCMyAOxDBCMyEPTQABC备用图1ABC备用图2COABDNMPxyCOABDNMPxyRHxOPyyxCDAOBEGF(图1)xCDAOBEGHFy(图2)xCDAOBEy(图3)xCDAOBEy(图3)MF第22题图FEFFOMNHACEFDB↑→-8-6,-4xyEFQ1Q3Q2第24题图第24题图1第24题图2第24题图3图4BE→F→CADGBECFADGPH图2BEFCADGNM图1(第24题)(第24题备用)yPQMNOx12-1-2-3-3-2-1123第23题图M1PQMNOy123-1-2-3-3-2-1123Q1N1(第24题)H(图1)(图2)。