2010年中考数学专题复习-等腰三角形与直角三角形

等腰三角形与直角三角形◆课前热身

1.如图，等边△ABC的边长为3，P为BC上一点，且BP＝1，D为AC上一点，若∠APD＝60°，则CD的长为（）[来源:Zxxk.Com]A．B．C．D．

2.如图，已知△ABC中，AB＝17，AC＝10，BC边上的高AD＝8，则边BC的长为（）A．21B．15C．6D．以上答案都不对

3.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30º，腰长为4cm，则其腰上的高为cm．

4.如图，在边长为1的等边△ABC中，中线AD与中线BE相交于点O，则OA长度为．【参考答案】

1.B

2.A

3.

4.◆考点聚焦等腰三角线1．等腰三角形的判定与性质．2．等边三角形的判定与性质．[来源:Z+xx+k.Com]3．运用等腰三角形、等边三角形的判定与性质解决有关计算与证明问题．直角三角形1．运用勾股定理计算线段的长，证明线段的数量关系，解决与面积有关的问题以及简单的实际问题．2．运用勾股定理及其逆定理从数的角度来研究直角三角形．3．折叠问题．4．将直角三角形，平面直角坐标系，函数，开放性问题，探索性问题结合在一起综合运用．◆备考兵法等腰三角线1．运用三角形不等关系，结合等腰三角形的判定与性质解决等腰三角形中高、边、角的计算问题，并要注意分类讨论．2．要正确辨析等腰三角形的判定与性质．3．能熟练运用等腰三角形、方程（组）、函数等知识综合解决实际问题．直角三角形1．正确区分勾股定理与其逆定理，掌握常用的勾股数．2．在解决直角三角形的有关问题时，应注意以勾股定理为桥梁建立方程（组）来解决问题，实现几何问题代数化．3．在解决直角三角形的相关问题时，要注意题中是否含有特殊角（30°，45°，60°）．若有，则应运用一些相关的特殊性质解题．4．在解决许多非直角三角形的计算与证明问题时，常常通过作高转化为直角三角形来解决．5．折叠问题是新中考热点之一，在处理折叠问题时，动手操作，认真观察，充分发挥空间想象力，注意折叠过程中，线段，角发生的变化，寻找破题思路．◆考点链接一．等腰三角形的性质与判定

1.等腰三角形的两底角__________；

2.等腰三角形底边上的______，底边上的________，顶角的_______，三线合一；

3.有两个角相等的三角形是_________．二．等边三角形的性质与判定

1.等边三角形每个角都等于_______，同样具有“三线合一”的性质；

2.三个角相等的三角形是________，三边相等的三角形是_______，一个角等于60°的_______三角形是等边三角形．三．直角三角形的性质与判定

1.直角三角形两锐角________．

2.直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的________．[来源:Zxxk.Com]

3.直角三角形中，斜边的中线等于斜边的______．；

4.勾股定理_________________________________________．

5.勾股定理的逆定理_________________________________________________．◆典例精析例1（2009年湖北襄樊）在中，为的中点，动点从点出发，以每秒1的速度沿的方向运动．设运动时间为，那么当秒时，过、两点的直线将的周长分成两个部分，使其中一部分是另一部分的2倍．【答案】7或17【解析】本题考查等腰三角形中的动点问题，两种情况，

①当点P在BA上时，BP＝t，AP＝12-t，2（t+3）＝12-t+12+3，解得t＝7；

②当点P在AC上时，PC＝24-t，t+3＝2（24-t+3），解得t＝17，故填7或

17.例2（2009年山东滨州）某楼梯的侧面视图如图所示，其中米，，，因某种活动要求铺设红色地毯，则在AB段楼梯所铺地毯的长度应为．【答案】（2+2）米．【解析】掌握30°所对的直角边等于斜边的一半，即可求解.例3（2008年四川乐山）如图，AD⊥CD，AB=13，BC=12，CD=3，AD=4，则sinB等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由AD⊥DC，知△ADC为直角三角形．由勾股定理得AC2=AD2+DC2=32+42=5，AC=5，在△ACB中，∵AB2=169，BC2+AC2=52+122=169，∴AB2=BC2+AC2．由勾股定理的逆定理知△ABC是直角三角形．∴sinB==．例4（2008年安徽）已知点O到△ABC的两边AB，AC所在直线的距离相等，且OB=OC．

（1）如图1，若点O在BC上，求证AB=AC；

（2）如图2，若点O在△ABC的内部，求证AB=AC；

（3）若点O在△ABC的外部，AB=AC成立吗？请画图表示．图1图2解析

（1）过点O作OE⊥AB，OF⊥AC，E，F分别是垂尺，由题意知，OE=OF，又OB=OC．∴Rt△OEB≌Rt△OFC．∴∠B=∠C．∴AC=AB．

（2）过点O作OE⊥AB，OF⊥AC，E，F分别是垂足．由题意知，OE=OF．在Rt△OEB和Rt△OFC中，OE=OF，OB=OC．[来源:Z|xx|k.Com]∴Rt△OEB≌Rt△OFE．∴∠OBE=∠OCF．又OB=OC．∴∠OBC=∠OCB．∴∠ABC=∠ACB．∴AC=AB．

（3）不一定成立．当∠A的平分线所在直线与边BC的垂直平分线重合时，有AB=AC，否则AB≠AC，如示例图．成立不成立【点拨】本例从O点的特殊位置（BC边的中点）探究图形的性质，再运用变化的观点探究一般位置（点O在△ABC内，点O在三角形外）下图形的性质有何变化，培养同学们从不同的角度分析，解决问题的能力，拓展思维，提高综合解题能力．◆迎考精练

一、选择题

1.2009年四川达州如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的边长分别是

3、

5、

2、3，则最大正方形E的面积是（）A．13B．26C．47D．

942.（2009年甘肃白银）如图，⊙O的弦AB＝6，M是AB上任意一点，且OM最小值为4，则⊙O的半径为（　　）A．5B．4C．3D．

23.（2009年山东济宁）“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形．如图，是一“赵爽弦图”飞镖板，其直角三角形的两条直角边的长分别是2和4．小明同学距飞镖板一定距离向飞镖板投掷飞镖（假设投掷的飞镖均扎在飞镖板上）则投掷一次飞镖扎在中间小正方形区域（含边线）的概率是（）A．B．C．D．

4.（2009年浙江嘉兴）如图，等腰△ABC中，底边，A＝36°，ABC的平分线交AC于D，BCD的平分线交BD于E，设，则DE＝（　　）A．B．C．D．

5.（2009年湖北恩施）如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点离点的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短距离是（　　）A．B．25C．D．

6.（2009年浙江宁波）等腰直角三角形的一个底角的度数是（）A．30°B．45°C．60°D．90°

7.（2009年山东威海）如图，AB＝ACBD＝BC，若∠A＝40°，则∠ABD的度数是（　　）A．B．C．D．

8.（2009年湖北襄樊）如图，已知直线且则等于（）A．　　B．　　C．D．

二、填空题

1.（2009年四川泸州）如图，已知Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，过直角顶点C作CA1⊥AB，垂足为A1，再过A1作A1C1⊥BC，垂足为C1，过C1作C1A2⊥AB，垂足为A2，再过A2作A2C2⊥BC，垂足为C2，…，这样一直做下去，得到了一组线段CA1，A1C1，，…，则CA1＝，

2.2009年四川内江已知Rt△ABC的周长是，斜边上的中线长是2，则S△ABC＝___.

3.（2009年四川宜宾）已知如图，以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB＝3则图中阴影部分的面积为．[来源:Zxxk.Com]

4.（2009年湖南长沙）如图，等腰中，，是底边上的高，若，则cm．

三、解答题

1.（2009年河南）如图所示，∠BAC＝∠ABDAC＝BD，点O是AD、BC的交点，点E是AB的中点．试判断OE和AB的位置关系并给出证明．

2.（2009年浙江绍兴）如图，在中，，分别以为边作两个等腰直角三角形和，使．[来源:学科网ZXXK]

（1）求的度数；

（2）求证．[来源:学科网][来源:学科网]

3.（2009年湖北恩施）恩施州自然风光无限，特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世．著名的恩施大峡谷和世界级自然保护区星斗山位于笔直的沪渝高速公路同侧，、到直线的距离分别为和，要在沪渝高速公路旁修建一服务区，向、两景区运送游客．小民设计了两种方案，图

（1）是方案一的示意图（与直线垂直，垂足为），到、的距离之和，图

（2）是方案二的示意图（点关于直线的对称点是，连接交直线于点），到、的距离之和．

（1）求、，并比较它们的大小；

（2）请你说明的值为最小；

（3）拟建的恩施到张家界高速公路与沪渝高速公路垂直，建立如图

（3）所示的直角坐标系，到直线的距离为，请你在旁和旁各修建一服务区、，使、、、组成的四边形的周长最小．并求出这个最小值．

4.（2009年广东中山）如图所示，是等边三角形，点是的中点，延长到，使，

（1）用尺规作图的方法，过点作，垂足是（不写作法，保留作图痕迹）；

（2）求证．【参考答案】选择题

1.C

2.A

3.C

4.A

5.B

6.B[来源:Z*xx*k.Com]

7.B

8.B【解析】本题考查平行线的性质、等腰三角形的性质等知识，∵所以，∴，∵∴，∴，故选B填空题

1.，

2.

83.

4.4解答题

1.OE⊥AB．　　证明在△BAC和△ABD中，∴△BAC≌△ABD．　　　∴∠OBA=∠OAB∴OA=OB．　　　　　　　　　又∵AE=BE∴OE⊥AB．

2.解

（1）ΔABD是等腰直角三角形，，∴∠ABD＝45°AB＝AC∴∠ABC＝70°∴∠CBD＝70°+45°＝115°．证明2AB＝ACAD＝AE∴ΔBAD≌ΔCAE∴BD＝CE．

3.解:⑴图

（1）中过B作BC⊥AP垂足为C则PC＝40又AP＝10∴AC＝30在Rt△ABC中，AB＝50AC＝30∴BC＝40∴BP＝S1＝⑵图10

（2）中，过B作BC⊥AA′垂足为C，则A′C＝50，[来源:学*科*网]又BC＝40∴BA＝由轴对称知PA＝PA∴S2＝BA＝∴﹥2如图10

（2），在公路上任找一点M连接MAMBMA，由轴对称知MA＝MA∴MB+MA＝MB+MA﹥AB∴S2＝BA为最小

（3）过A作关于X轴的对称点A过B作关于Y轴的对称点B，连接AB交X轴于点P交Y轴于点Q则PQ即为所求过A、B分别作X轴、Y轴的平行线交于点GAB＝∴所求四边形的周长为[来源:Zxxk.Com]

4.解

（1）作图见下图，[来源:学科网]

（2）是等边三角形，是的中点，平分（三线合一），．，．又，．又，，，．又，．ADCPB第1题图60°ACDB第2题图BCA30°ADCEB第4题图5201510CABBADCAFBCDEACDBBAPX图

（1）YXBAQPO图

（3）BAPX图

（2）ACBDEM。