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绝密★启用前2010年全国普通高等学校招生统一考试江苏卷理科数学数学Ⅰ试题参考公式锥体的体积公式,其中为锥体底面面积,为锥体的高
一、填空题本大题共14小题,每小题5分,共计70分请把答案填写在答题卡相应位置上
1.设集合、,若,则实数的值是__________
2.若复数满足(为虚数单位),则的模为__________
3.盒子里共有大小相同的3只白球、1只黑球若从中随机摸出两只球,则它们颜色不同的概率是__________
4.某棉纺厂为了解一批棉花的质量,从中随机抽测了100根棉花纤维的长度(棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标)所得数据均在区间中,其频率分布直方图如图所示,则在抽测的100根中,有__________根棉花纤维的长度小于20mm
5.设函数是偶函数,其中,则实数的值为__________
6.在平面直角坐标系中,已知双曲线上一点的横坐标为3,则点到该双曲线的右焦点的距离为__________
7.如图是一个算法流程图,则输出的的值是__________
8.函数的图像在点处的切线与轴的交点的横坐标为,其中若,则的值是__________
9.在平面直角坐标系中,已知圆上有且只有四个点到直线的距离为1,则实数的取值范围是__________
10.设定义在区间上的函数的图像与的图像交于点,过点作轴的垂线,垂足为,直线与函数的图像交于点,则线段的长为__________
11.已知函数,则满足不等式的的解集是__________
12.设、为实数,满足,,则的最大值是__________
13.在锐角中,角、、的对边分别为、、若,则的值是__________
14.将边长为1m的正三角形薄铁皮沿一条平行于某边的直线剪成两块,其中一块是梯形,记,则的最小值是__________
二、解答题
15.(本小题满分14分)在平面直角坐标系中,已知点,,
(1)求以线段、为邻边的平行四边形的两条对角线的长
(2)设实数满足,求的值
16.(本小题满分14分)如图,在四棱锥中,平面,,,,
(1)求证
(2)求点到平面的距离
17.(本小题满分14分)某兴趣小组要测量电视塔的高度(单位)如示意图,垂直放置的标杆的高度,仰角,
(1)该小组已测得一组、的值,算出了,,请据此算出的值
(2)该小组分析若干测得的数据后,认为适当调整标杆到电视塔的距离(单位),使与之差较大,可以提高测量精度若电视塔的实际高度为,试问为多少时,最大?
18.(本小题满分16分)在平面直角坐标系中,如图,已知椭圆的左、右顶点为、,右焦点为设过点的直线、与该椭圆分别交于点、,其中,,
(1)设动点满足,求点的轨迹
(2)设,,求点的坐标
(3)设,求证直线必过轴上的一定点(其坐标与无关)
19.(本小题满分16分)设各项均为正数的数列的前项和为已知,数列是公差为的等差数列
(1)求数列的通项公式(用,表示)
(2)设为实数,对满足且的任意正整数、、,不等式都成立求证的最大值为
20.(本小题满分16分)设是定义在区间上的函数,其导函数为如果存在实数和函数,其中对任意的都有,使得,则称函数具有性质
(1)设函数,其中为实数求证函数具有性质求函数的单调区间
(2)已知函数具有性质给定,,,设为实数,,,且,,若,求的取值范围数学Ⅱ试题(附加题)
21.【选做题】本题包括A、B、C、D四小题,请选定其中两题,并在相应的答题区域内作答若多做,则按作答的前两题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤A.选修4-1几何证明选讲(本小题满分10分)如图,是圆的直径,为圆上一点过点作圆的切线交延长线于点若,求证B.选修4-2矩阵与变换(本小题满分10分)在平面直角坐标系中,已知点,,设为非零实数,矩阵,点、、在矩阵MN对应的变换下得到的点分别为、、,的面积是的面积的2倍求实数的值C.选修4-4坐标系与参数方程(本小题满分10分)在极坐标系中,已知圆与直线相切求实数的值D.选修4-5不等式选讲(本小题满分10分)设、是非负实数,求证【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤
22.(本小题满分10分)某工厂生产甲、乙两种产品甲产品的一等品率为,二等品率为;乙产品的一等品率为,二等品率为生产1件甲产品,若是一等品则获得利润4万元,若是二等品则亏损1万元;生产1件乙产品,若是一等品则获得利润6万元,若是二等品则亏损2万元设生产各件产品相对独立
(1)记(单位万元)为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润求的分布列
(2)求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率
23.(本小题满分10分)已知的三边长都是有理数
(1)求证是有理数
(2)求证对任意正整数,是有理数数学Ⅰ参考答案
一、填空题本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法每小题5分,共计70分
1.
12.
23.
4.
305.
6.
47.
638.
219.
10.
11.
12.
2713.
414.数学Ⅱ参考答案
二、解答题
15.本小题主要考查平面向量的几何意义、线性运算、数量积,考查运算求解能力满分14分解
(1)由题设知,,则,所以,故所求的两条对角线长分别为,
(2)由题设知,由,得,从而,所以
16.本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系,考查几何体的体积,考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力满分14分解
(1)因为平面,平面,所以由,得又,平面,平面,所以平面因为平面,所以
(2)连结设点到平面的距离为因为,,所以从而由,,得的面积由平面及,的三棱锥的体积因为平面,平面,所以又,所以由,,得的面积由,得因此,点到平面的距离为
17.本小题主要考查解三角形、基本不等式、导数等基础知识,考查数学建模能力、抽象概括能力和解决实际问题的能力满分14分解
(1)由,,及,得,解得因此,算出的电视塔的高度是
(2)由题设知,得由,得,所以,当且仅当,即时,上式取等号所以当时,最大因为,则,所以当时,最大故所求的是
18.本小题主要考查求简单曲线的方程,考查直线与椭圆的方程等基础知识,考查运算求解能力和探究问题的能力满分16分解由题设得,,
(1)设点,则,由,得,化简得故所求点的轨迹为直线
(2)由,及,得,则点,从而直线的方程为;由,及,得,则点,从而直线的方程为由,解得所以点的坐标为
(3)由题设知,直线的方程为,直线的方程为点满足,得,因为,则,解得,从而得点满足,解得,若,则由及,得,此时直线的方程为,过点若,则,直线的斜率,直线的斜率,得,所以直线过点因此,直线必过轴上的点
19.本小题主要考查等差数列的通项、求和以及基本不等式等有关知识,考查探索、分析及论证的能力满分16分解
(1)由题设知,,则当时,由,得,解得故当时,又,所以数列的通项公式为
(2)由及,得,于是,对满足题设的,,,,有所以的最大值另一方面,任取实数设为偶数,令,,则,,符合条件,且于是,只要,即当时,就有所以满足条件的,从而因此的最大值为
20.本小题主要考查函数的概念、性质、图像及导数等基础知识,考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力满分16分解
(1)由,得因为时,,所以函数具有性质当时,由得,所以,从而函数在区间上单调递增当时,解方程得,因为,,所以当时,;当时,;当时,从而函数在区间上单调递减,在区间上单调递增综上所述,当时,函数的单调增区间为;当时,函数的单调减区间为,单调增区间为
(2)由题设知,的导函数,其中函数对于任意的都成立所以,当时,,从而在区间上单调递增当时,有,,得,同理可得,所以由的单调性知、,从而有,符合题设当时,,,于是由,及的单调性知,所以,与题设不符当时,同理可得,,进而得,与题设不符因此,综合、、得所求的的取值范围为
21.【选做题】A.选修4-1几何证明选讲本题主要考查三角形、圆的有关知识,考查推理论证能力满分10分证明连结、因为是圆的直径,所以,因为是圆的切线,所以又因为,所以,于是,从而,即,得故B.选修4-2矩阵与变换本题主要考查图形在矩阵对应的变换下的变化特点,考查运算求解能力满分10分解由题设得由,,,可知,,计算得的面积是1,的面积是,则由题设知所以的值为或C.选修4-4坐标系与参数方程本题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识,考查转化问题的能力满分10分解将极坐标方程化为直角坐标方程,得圆的方程为,即,直线的方程为由题设知,圆心到直线的距离为1,即有,解得或故的值为或D.选修4-5不等式选讲本题主要考查证明不等式的基本方法,考查推理论证的能力满分10分证明由、是非负实数,作差得当时,,从而,得;当时,,从而,得所以
22.本题主要考查概率的有关知识,考查运算求解的能力满分10分解
(1)由题设知,的可能取值为、、、,且,,,由此得的分布列为
25100.
020.
080.
180.72
(2)设生产的4件甲产品中一等品有件,则二等品有件由题设知,解得,又,得或所以故所求概率为
0.
819223.本题主要考查余弦定理、数学归纳法等基础知识,考查推理论证的能力与分析问题、解决问题的能力满分10分证明
(1)由、、为有理数及余弦定理知是有理数
(2)用数学归纳法证明和都是有理数当时,由
(1)知是有理数,从而有也是有理数假设当时,和都是有理数当时,由,,及和归纳假设,知与都是有理数即当时,结论成立综合、可知,对任意正整数,是有理数。