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2010年高校招生全国统一考试理数(陕西卷)理科数学(必修+选修Ⅱ)
一、选择题在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的(本大题共10小题,每小题5分,共50分)
1.集合A=,B=,则=【D】(A)(B)(C)(D)解析本题考查集合的基本运算
2.复数在复平面上对应的点位于【A】A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析本题考查复数的运算及几何意义,所以点(位于第一象限
3.对于函数fx=2sinxcosx,下列选项中正确的是【B】A.fx在(,)上是递增的B.fx的图象关于原点对称C.fx的最小正周期为D.fx的最大值为2解析本题考查三角函数的性质fx=2sinxcosx=sin2x,周期为π的奇函数
4.展开式中的系数为10,则实数a等于【D】A.-1B.C.1D.2解析本题考查二项展开式的通项公式
5.已知函数fx=若f(f
(0))=4a,则实数a等于【C】A.B.C.2D.9解析f
(0)=2,f(f
(0))=f2=4+2a=4a,所以a=
26.右图是求样本,,…,平均数的程序框图,图中空白框中应填入的内容为【A】A.S=S+B.S=S+C.S=S+nD.S=S+
7.若某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是【C】A.B.C.1D.2解析本题考查立体图形三视图及体积公式如图,该立体图形为直三棱柱所以其体积为
8.已知抛物线的准线与圆相切,则p的值为【C】A.B.1C.2D.4解析本题考查抛物线的相关几何性质及直线与圆的位置关系法一抛物线y2=2px(p0)的准线方程为,因为抛物线y2=2px(p0)的准线与圆(x-3)2+y2=16相切,所以法二作图可知,抛物线y2=2px(p0)的准线与圆(x-3)2+y2=16相切与点(-10)所以
9.对于数列,“”是“为递增数列”的【B】A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析由知所有项均为正项,且,即为递增数列反之,为递增数列,不一定有,如-2,-1012,….
10.某学校要召开学生代表大会,规定各班每10人推选一名代表,当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表,那么,各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y=[x][x]表示不大于x的最大整数可以表示为【B】A.B.C.D.解析法一特殊取值法,若x=56,y=5排除C、D,若x=57,y=6,排除A,所以选B法二设,,所以选B
二、填空题把答案填在答题卡相应题号后的横线上(本大题共5小题,每小题5分,共25分).
11.已知向量a=(2,-1),b=(-1,m),c=(-12),若(a+b)∥c,则m=-1解析,所以m=-
112.观察下列等式,,,…,根据上述规律,第五个等式为解析第i个等式左边为1到i+1的立方和,右边为1+2+...+(i+1)的平方所以第五个等式为
13.从如图所示的长方形区域内任取一个点Mx,y,则点M取自阴影部分部分的概率为解析长方形区域的面积为3,阴影部分部分的面积为,所以点M取自阴影部分部分的概率为
14.铁矿石A和B的含铁率a,冶炼每万吨铁矿石的的排放量b及每万吨铁矿石的价格c如下表aB万吨C(百万元)A50%13B70%
0.56某冶炼厂至少要生产
1.9(万吨)铁,若要求的排放量不超过2(万吨)则购买铁矿石的最少费用为15(万元)解析设购买铁矿石A和B各x,y万吨,则购买铁矿石的费用xy满足约束条件表示平面区域为则当直线过点B
(12)时,购买铁矿石的最少费用z=
1515.(考生注意请在下列三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题评分)A.(不等式选做题)不等式的解集为解析法一分段讨论综上,原不等式解集为法二利用绝对值的几何意义放在数轴上研究法三借助函数的图像研究B.几何证明选做题如图,已知Rt△ABC的两条直角边ACBC的长分别为3cm4cm,以AC为直径的圆与AB交于点D,则解析由直角三角形射影定理可得C.坐标系与参数方程选做题已知圆C的参数方程为(a为参数)以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为,则直线l与圆C的交点的直角坐标系为__-
11.11_____解析直线l的极坐标方程为化为普通方程为y=1,所以直线l与圆的交点坐标为-
11.11
三、解答题解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤(本大题共6小题,共75分)
16.(本小题满分12分)已知是公差不为零的等差数列,且成等比数列
(1)求数列的通项公式
(2)求数列的前n项和解
(1)由题设知公差d≠0由且成等比数列得解得d=1d=0(舍去)故的通项
(2)由
(1)知,由等比数列前n项和公式得
17.(本小题满分12分如图,A,B是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点,现位于A点北偏东45°,B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号,位于B点南偏西60°且与B点相距海里的C点的救援船立即即前往营救,其航行速度为30海里/小时,该救援船到达D点需要多长时间?解由题意知海里,在中,由正弦定理得=(海里),又海里,在中,由余弦定理得=30(海里),则需要的时间(小时)答救援船到达D点需要1小时注如果认定为直角三角形,根据勾股定理正确求得CD,同样给分
18.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,AP=AB=2BC=EF分别是ADPC的中点(Ⅰ)证明PC⊥平面BEF;(Ⅱ)求平面BEF与平面BAP夹角的大小解法一(Ⅰ)如图,以A为坐标原点,ABADAP所在直线分别为xyz轴建立空间直角坐标系∵,四边形ABCD是矩形∴ABCDP的坐标为又EF分别是ADPC的中点,∴∴∴∴∴∴平面(Ⅱ)由(Ⅰ)知平面BEF的法向量平面BAP的法向量,∴=8设平面BEF与平面BAP的家教为θ,则,∴,∴平面BEF与平面BAP的夹角为解法二(Ⅰ)连接PEEC,在和中,PA=AB=CDAE=DE∴PE=CE即是等腰三角形,又F是PC的中点,∴EF⊥PC,又是PC的中点,∴又(Ⅱ)∵PA⊥平面ABCD∴PA⊥BC又ABCD是矩形,∴AB⊥BC∴BC⊥平面BAP,BC⊥PB又由(Ⅰ)知PC⊥平面BEF∴直线PC与BC的夹角即为平面BEF与平面BAP的夹角,在中,PB=BC所以平面BEF与平面BAP的夹角为
19.(本小题满分12分)为了解学生升高情况,某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行分层抽样调查,测得身高情况的统计图如下(Ⅰ)估计该校男生的人数;(Ⅱ)估计该校学生身高在170~185cm之间的概率;(Ⅲ)从样本中身高在165~180cm之间的女生中任选2人,求至少有1人身高在170~18cm之间的概率解(Ⅰ)样本中男生人数为40,由分层抽样比例为10%估计全校男生人数为400人(Ⅱ)由统计图知,样本中身高在170~185cm之间的学生有14+13+4+3+1=35人,样本容量为70,所以样本中学生身高在170~180cm之间的概率p=
0.5(Ⅲ)样本中女生身高在165~180cm之间的人数为10,身高在170~180cm之间的人数为4,设A表示事件“从样本中身高在165~180cm之间的女生中任取2人,至少有1人身高在170~180cm之间”,则(或)
20.(本小题满分13分)如图,椭圆的顶点为,焦点为,(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)设n是过原点的直线,是与n垂直相交于F点、与椭圆相交于AB亮点的直线,||=1,是否存在上述直线使成立?若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由解(Ⅰ)由知,
①由知a=2c,
②又,
③由
①②③解得,故椭圆C的方程为(Ⅱ)设A,B两点的坐标分别为,假设使成立的直线存在,(ⅰ)当不垂直于x轴时,设的方程为,由与垂直相交于P点且||=1得,即∵,||=1,∴==1+0+0-1=0即将代入椭圆方程,得由求根公式可得,
④⑤==将
④,
⑤代入上式并化简得
⑥将代入
⑥并化简得,矛盾即此时直线不存在(ⅱ)当垂直于x轴时,满足的直线的方程为x=1或x=-1,当X=1时,ABP的坐标分别为,∴,∴当x=-1时,同理可得,矛盾即此时直线也不存在综上可知,使成立的直线不存在
21.(本小题满分14分)已知函数(Ⅰ)若曲线与曲线相交,且在交点处有共同的切线,求a的值和该切线方程;(Ⅱ)设函数,当存在最小值时,求其最小值的解析式;(Ⅲ)对(Ⅱ)中的和任意的,证明解(Ⅰ),由已知得解得,∴两条直线交点的坐标为,切线的斜率为,∴切线的方程为(Ⅱ)由条件知∴(ⅰ)当a0时,令,解得,∴当时,在上递减;当时,在上递增∴是在上的唯一极值点,从而也是的最小值点∴最小值(ⅱ)当时,在上递增,无最小值,故的最小值的解析式为(Ⅲ)由(Ⅱ)知对任意的
①②③故由
①②③得高考试题来源。