还剩7页未读,继续阅读
文本内容:
2010年高校招生全国统一考试理数(陕西卷)理科数学(必修+选修Ⅱ)
一、选择题在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的(本大题共10小题,每小题5分,共50分).
1.集合A=,B=,则=(D)A.B.C.D.
2.复数在复平面上对应的点位于(A)A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
3.对于函数fx=2sinxcosx,下列选项中正确的是(B)A.在上是递增的B.的图象关于原点对称C.的最小正周期为D.的最大值为
24.展开式中的系数为10,则实数等于(D)A.-1B.C.1D.
25.已知函数若,则实数等于(C)A.B.C.2D.
96.右图是求样本,,…,平均数的程序框图,图中空白框中应填入的内容为(A)A.B.C.D.
7.若某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是(C)A.B.C.1D.
28.已知抛物线的准线与圆相切,则p的值为(C)A.B.1C.2D.
49.对于数列,“”是“为递增数列”的(B)A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
10.某学校要召开学生代表大会,规定各班每10人推选一名代表,当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表,那么,各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y=[x][x]表示不大于x的最大整数可以表示为(B)A.B.C.D.
二、填空题把答案填在答题卡相应题号后的横线上(本大题共5小题,每小题5分,共25分).
11.已知向量a=(2,-1),b=(-1,m),c=(-12),若(a+b)∥c,则m=-
1.
12.观察下列等式,,,…,根据上述规律,第五个等式为.
13.从如图所示的长方形区域内任取一个点Mx,y,则点M取自阴影部分部分的概率为.
14.铁矿石A和B的含铁率a,冶炼每万吨铁矿石的的排放量b及每万吨铁矿石的价格c如下表aB万吨C(百万元)A50%13B70%
0.56某冶炼厂至少要生产
1.9(万吨)铁,若要求的排放量不超过2(万吨)则购买铁矿石的最少费用为15(万元).
15.(考生注意请在下列三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题评分)A.(不等式选做题)不等式的解集为.B.几何证明选做题如图,已知Rt△ABC的两条直角边ACBC的长分别为3cm4cm,以AC为直径的圆与AB交于点D,则.C.坐标系与参数方程选做题已知圆C的参数方程为(a为参数)以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为,则直线l与圆C的交点的直角坐标系为-
1111.
三、解答题解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤(本大题共6小题,共75分)
16.(本小题满分12分)已知是公差不为零的等差数列,且成等比数列
(1)求数列的通项公式
(2)求数列的前n项和解
(1)由题设知公差d≠0由且成等比数列得解得d=1d=0(舍去)故的通项
(2)由
(1)知,由等比数列前n项和公式得
17.(本小题满分12分)如图,A,B是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点,现位于A点北偏东45°,B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号,位于B点南偏西60°且与B点相距海里的C点的救援船立即即前往营救,其航行速度为30海里/小时,该救援船到达D点需要多长时间?解由题意知海里,在中,由正弦定理得=(海里),又海里,在中,由余弦定理得=30(海里),则需要的时间(小时)
18.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,AP=AB=2BC=EF分别是ADPC的中点(Ⅰ)证明PC⊥平面BEF;(Ⅱ)求平面BEF与平面BAP夹角的大小解法一(Ⅰ)如图,以A为坐标原点,ABADAP所在直线分别为xyz轴建立空间直角坐标系∵,四边形ABCD是矩形∴ABCDP的坐标为又EF分别是ADPC的中点,∴∴∴∴∴∴平面(Ⅱ)由(Ⅰ)知平面BEF的法向量平面BAP的法向量,∴=8设平面BEF与平面BAP的家教为θ,则,∴,∴平面BEF与平面BAP的夹角为解法二(Ⅰ)连接PEEC,在和中,PA=AB=CDAE=DE∴PE=CE即是等腰三角形,又F是PC的中点,∴EF⊥PC,又是PC的中点,∴又(Ⅱ)∵PA⊥平面ABCD∴PA⊥BC又ABCD是矩形,∴AB⊥BC∴BC⊥平面BAP,BC⊥PB又由(Ⅰ)知PC⊥平面BEF∴直线PC与BC的夹角即为平面BEF与平面BAP的夹角,在中,PB=BC所以平面BEF与平面BAP的夹角为
19.(本小题满分12分)为了解学生升高情况,某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行分层抽样调查,测得身高情况的统计图如下(Ⅰ)估计该校男生的人数;(Ⅱ)估计该校学生身高在170~185cm之间的概率;(Ⅲ)从样本中身高在165~180cm之间的女生中任选2人,求至少有1人身高在170~18cm之间的概率解(Ⅰ)样本中男生人数为40,由分层抽样比例为10%估计全校男生人数为400人(Ⅱ)由统计图知,样本中身高在170~185cm之间的学生有14+13+4+3+1=35人,样本容量为70,所以样本中学生身高在170~180cm之间的概率p=
0.5(Ⅲ)样本中女生身高在165~180cm之间的人数为10,身高在170~180cm之间的人数为4,设A表示事件“从样本中身高在165~180cm之间的女生中任取2人,至少有1人身高在170~180cm之间”,则(或)
20.(本小题满分13分)如图,椭圆的顶点为,焦点为,(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)设n是过原点的直线,是与n垂直相交于F点、与椭圆相交于AB亮点的直线,||=1,是否存在上述直线使成立?若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由解(Ⅰ)由知,
①由知a=2c,
②又,
③由
①②③解得,故椭圆C的方程为(Ⅱ)设A,B两点的坐标分别为,假设使成立的直线存在,(ⅰ)当不垂直于x轴时,设的方程为,由与垂直相交于P点且||=1得,即∵,||=1,∴==1+0+0-1=0即将代入椭圆方程,得由求根公式可得,
④⑤==将
④,
⑤代入上式并化简得
⑥将代入
⑥并化简得,矛盾即此时直线不存在(ⅱ)当垂直于x轴时,满足的直线的方程为x=1或x=-1,当X=1时,ABP的坐标分别为,∴,∴当x=-1时,同理可得,矛盾即此时直线也不存在综上可知,使成立的直线不存在
21.(本小题满分14分)已知函数(Ⅰ)若曲线与曲线相交,且在交点处有共同的切线,求a的值和该切线方程;(Ⅱ)设函数,当存在最小值时,求其最小值的解析式;(Ⅲ)对(Ⅱ)中的和任意的,证明.解(Ⅰ),由已知得解得,∴两条直线交点的坐标为,切线的斜率为,∴切线的方程为(Ⅱ)由条件知∴(ⅰ)当a0时,令,解得,∴当时,在上递减;当时,在上递增∴是在上的唯一极值点,从而也是的最小值点∴最小值(ⅱ)当时,在上递增,无最小值,故的最小值的解析式为(Ⅲ)由(Ⅱ)知对任意的
①②③故由
①②③得。