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二次函数选择题1(江西2011中考B卷).已知二次函数y=x2+bx-2的图象与x轴的一个交点为
(10),则它与x轴的另一个交点坐标是().6.CA.(1,0)B.(2,0)C.(-2,0)D.(-1,0)22011湖北黄冈.已知函数,则使y=k成立的x值恰好有三个,则k的值为
15.DA.0B.1C.2D.33(2011广东广州)下列函数中,当x0时,y值随x值增大而减小的是()
5、DA.B.C.D.4(2011年安徽芜湖市)二次函数的图象如图所示,则反比例函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象是D填空题1(湖南株洲2011).某广场有一喷水池,水从地面喷出,如图,以水平地面为轴,出水点为原点,建立平面直角坐标系,水在空中划出的曲线是抛物线(单位米)的一部分,则水喷出的最大高度是AA.米B.米C.米D.米2(广东茂名)、给出下列命题命题1.点(1,1)是双曲线与抛物线的一个交点.命题2.点(1,2)是双曲线与抛物线的一个交点.命题3.点(1,3)是双曲线与抛物线的一个交点.……请你观察上面的命题猜想出命题是正整数:3点1,n是双曲线与抛物线的一个交点.(广东茂名)
14、如图,已知△ABC是等边三角形,点B、C、D、E在同一直线上,且CG=CD,DF=DE,则∠E=度.
14、15大题12011福建泉州25.(12分)在直角坐标系xoy中,已知点P是反比例函数图象上一个动点,以P为圆心的圆始终与y轴相切,设切点为A.
(1)如图1,⊙P运动到与x轴相切,设切点为K,试判断四边形OKPA的形状,并说明理由.
(2)如图2,⊙P运动到与x轴相交,设交点为B,C.当四边形ABCP是菱形时
①求出点A,B,C的坐标.
②在过A,B,C三点的抛物线上是否存在点M,使△MBP的面积是菱形ABCP面积的.若存在,试求出所有满足条件的M点的坐标,若不存在,试说明理由.
25.(本小题12分)解
(1)∵⊙P分别与两坐标轴相切,∴PA⊥OA,PK⊥OK.∴∠PAO=∠OKP=90°.又∵∠AOK=90°,∴∠PAO=∠OKP=∠AOK=90°.∴四边形OKPA是矩形.又∵OA=OK,∴四边形OKPA是正方形.……………………2分
(2)
①连接PB,设点P的横坐标为x,则其纵坐标为.过点P作PG⊥BC于G.∵四边形ABCP为菱形,∴BC=PA=PB=PC.∴△PBC为等边三角形.在Rt△PBG中,∠PBG=60°,PB=PA=x,PG=.sin∠PBG=,即.解之得x=±2(负值舍去).∴PG=,PA=BC=2.……………………4分易知四边形OGPA是矩形,PA=OG=2,BG=CG=1,∴OB=OG-BG=1,OC=OG+GC=3.∴A(0,),B(1,0)C(3,0).……………………6分设二次函数解析式为y=ax2+bx+c.据题意得解之得a=,b=,c=.∴二次函数关系式为.……………………9分
②解法一设直线BP的解析式为y=ux+v,据题意得解之得u=,v=.∴直线BP的解析式为.过点A作直线AM∥PB,则可得直线AM的解析式为.解方程组得;.过点C作直线CM∥PB,则可设直线CM的解析式为.∴0=.∴.∴直线CM的解析式为.解方程组得;.综上可知,满足条件的M的坐标有四个,分别为(0,),(3,0),(4,),(7,).…………………12分解法二∵,∴A(0,),C(3,0)显然满足条件.延长AP交抛物线于点M,由抛物线与圆的轴对称性可知,PM=PA.又∵AM∥BC,∴.∴点M的纵坐标为.又点M的横坐标为AM=PA+PM=2+2=4.∴点M(4,)符合要求.点(7,)的求法同解法一.综上可知,满足条件的M的坐标有四个,分别为(0,),(3,0),(4,),(7,).…………………12分解法三延长AP交抛物线于点M,由抛物线与圆的轴对称性可知,PM=PA.又∵AM∥BC,∴.∴点M的纵坐标为.即.解得(舍),.∴点M的坐标为(4,).点(7,)的求法同解法一.综上可知,满足条件的M的坐标有四个,分别为(0,),(3,0),(4,),(7,).…………………12分(福建福州2011,
22.)满分14分已知如图11二次函数图象的顶点为与轴交于、两点在点右侧点、关于直线:对称.1求、两点坐标并证明点在直线上;2求二次函数解析式;3过点作直线∥交直线于点、分别为直线和直线上的两个动点连接、、求和的最小值.
22.满分14分解:1依题意得解得∵点在点右侧∴点坐标为点坐标为∵直线:当时∴点在直线上2∵点、关于过点的直线:对称∴过顶点作交于点则∴顶点代入二次函数解析式解得∴二次函数解析式为3直线的解析式为直线的解析式为由解得即则∵点、关于直线对称∴的最小值是过点作直线的对称点连接交直线于则∴的最小值是即的长是的最小值∵∥∴由勾股定理得∴的最小值为(不同解法参照给分)(2011广东广州)
24.(14分)已知关于x的二次函数y=ax2+bx+ca0的图象经过点C01,且与x轴交于不同的两点A、B,点A的坐标是(1,0)
(1)求c的值;
(2)求a的取值范围;
(3)该二次函数的图象与直线y=1交于C、D两点,设A、B、C、D四点构成的四边形的对角线相交于点P,记△PCD的面积为S1,△PAB的面积为S2,当0a1时,求证S1-S2为常数,并求出该常数
24、解1将点C(0,1)代入得
(2)由1知,将点A(1,0)代入得,∴∴二次函数为∵二次函数为的图像与x轴交于不同的两点∴,而∴的取值范围是且3证明∵∴对称轴为∴把代入得,解得∴∴===1∴为常数,这个常数为1(2011广东)17.已知二次函数的图象如图所示,它与x轴的一个交点坐标为(-1,0),与y轴的交点坐标为(0,3)
(1)求出b,c的值,并写出此二次函数的解析式;
(2)根据图象,写出函数值y为正数时,自变量x的取值范围
17、
(1)
(2)(广东茂名)
25、(本题满分8分)如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线经过点A0,4,B1,0,C(5,0),抛物线对称轴与轴相交于点M.
(1)求抛物线的解析式和对称轴;(3分)
(2)设点P为抛物线()上的一点,若以A、O、M、P为顶点的四边形四条边的长度为四个连续的正整数,请你直接写出点P的坐标;(2分)
(3)连接AC.探索在直线AC下方的抛物线上是否存在一点N,使△NAC的面积最大?若存在,请你求出点N的坐标;若不存在,请你说明理由.(3分)解
25、解
(1)根据已知条件可设抛物线的解析式为,············1分 把点A(0,4)代入上式得, ∴,···········2分 ∴抛物线的对称轴是.······································3分
(2)由已知,可求得P(6,4).···································5分提示由题意可知以A、O、M、P为顶点的四边形有两条边AO=
4、OM=3,又知点P的坐标中,所以,MP2AP2;因此以
1、
2、
3、4为边或以
2、
3、
4、5为边都不符合题意,所以四条边的长只能是
3、
4、
5、6的一种情况,在Rt△AOM中,,因为抛物线对称轴过点M,所以在抛物线的图象上有关于点A的对称点与M的距离为5,即PM=5,此时点P横坐标为6,即AP=6;故以A、O、M、P为顶点的四边形的四条边长度分别是四个连续的正整数
3、
4、
5、6成立,即P(6,4).···································5分(注如果考生直接写出答案P(6,4),给满分2分,但考生答案错误,解答过程分析合理可酌情给1分)⑶法一在直线AC的下方的抛物线上存在点N,使△NAC面积最大.设N点的横坐标为,此时点N(,过点N作NG∥轴交AC于G;由点A(0,4)和点C(5,0)可求出直线AC的解析式为;把代入得,则G,此时NG=-(),=.······································7分∴∴当时,△CAN面积的最大值为,由,得,∴N(,-3).········8分法二提示过点N作轴的平行线交轴于点E,作CF⊥EN于点F,则(再设出点N的坐标,同样可求余下过程略)2011广东15.已知抛物线与x轴没有交点.
(1)求c的取值范围;
(2)试确定直线经过的象限,并说明理由.
15、
(1)c>
(2)顺次经过
三、
二、一象限因为k>0,b=1>02011广东22.如图,抛物线与y轴交于A点,过点A的直线与抛物线交于另一点B,过点B作BC⊥x轴,垂足为点C3,
0.
(1)求直线AB的函数关系式;
(2)动点P在线段OC上从原点出发以每秒一个单位的速度向C移动,过点P作PN⊥x轴,交直线AB于点M,交抛物线于点N.设点P移动的时间为t秒,MN的长度为s个单位,求s与t的函数关系式,并写出t的取值范围;
(3)设在
(2)的条件下(不考虑点P与点O,点C重合的情况),连接CM,BN,当t为何值时,四边形BCMN为平行四边形?问对于所求的t值,平行四边形BCMN是否菱形?请说明理由.
22、略解
(1)易知A01,B
32.5,可得直线AB的解析式为y=
(2)
(3)若四边形BCMN为平行四边形,则有MN=BC,此时,有,解得,所以当t=1或2时,四边形BCMN为平行四边形.
①当t=1时,,,故又在Rt△MPC中,,故MN=MC,此时四边形BCMN为菱形
②当t=2时,,,故又在Rt△MPC中,,故MN≠MC,此时四边形BCMN不是菱形.2011年湖南邵阳24.如图
(十一)所示,在平面直角坐标系Oxy中,已知点A-,0,点C0,3,点B是x轴上一点位于点A的右侧,以AB为直径的圆恰好经过点C.
(1)求∠ACB的度数;
(2)已知抛物线y=ax2+bx+3经过A、B两点,求抛物线的解析式;
(3)线段BC上是否存在点D,使△BOD为等腰三角形.若存在,则求出所有符合条件的点D的坐标;若不存在,请说明理由.解1∵以AB为直径的圆恰好经过点C∴∠ACB=2∵△AOC∽△ABC∴∵A-,0,点C0,3,∴∴∴∴B40把A、B、C三点坐标代入得31)OD=OBD在OB的中垂线上,过D作DH⊥OB垂足是H则H是OB中点DH=∴D2BD=BO过D作DG⊥OB垂足是G∴OG:OB=CD:CBDG:OC=1:5∴OG:4=1:5DG:3=1:5∴OG=DG=∴D .
25.(武汉12分)如图1,抛物线y=ax2+bx+3经过A(-3,0),B(-1,0)两点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)设抛物线的顶点为M,直线y=-2x+9与y轴交于点C,与直线OM交于点D.现将抛物线平移,保持顶点在直线OD上.若平移的抛物线与射线CD(含端点C)只有一个公共点,求它的顶点横坐标的值或取值范围;
(3)如图2,将抛物线平移,当顶点至原点时,过Q(0,3)作不平行于x轴的直线交抛物线于E,F两点.问在y轴的负半轴上是否存在点P,使△PEF的内心在y轴上.若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由. 解.
(1)抛物线y=ax2+bx+3经过A(-30),B(-10)两点 ∴9a-3b+3=0且a-b+3=0 解得a=1 b=4∴抛物线的解析式为y=x2+4x+3
(2)由
(1)配方得y=x+22-1∴抛物线的顶点M(-2,1)∴直线OD的解析式为y=x 于是设平移的抛物线的顶点坐标为(h,h),∴平移的抛物线解析式为y=(x-h)2+h.
①当抛物线经过点C时,∵C(0,9),∴h2+h=9, 解得h=. ∴ 当 ≤h 时,平移的抛物线与射线CD只有一个公共点.
②当抛物线与直线CD只有一个公共点时, 由方程组y=(x-h)2+hy=-2x+
9. 得 x2+(-2h+2)x+h2+h-9=0,∴△=(-2h+2)2-4(h2+h-9)=0, 解得h=
4. 此时抛物线y=(x-4)2+2与射线CD唯一的公共点为(3,3),符合题意. 综上平移的抛物线与射线CD只有一个公共点时,顶点横坐标的值或取值范围是 h=4或 ≤h.
3.得x2-kx-3=
0. ∴xE+xF=kxE·xF=-
3.∴2k(-3)=(t-3)k∵k≠0∴t=-
3.∴y轴的负半轴上存在点P(0,-3),使△PEF的内心在y轴上.方法2 设EF的解析式为y=kx+3(k≠0)点E,F的坐标分别为(mm2)(nn2)由方法1知mn=-
3.作点E关于y轴的对称点R(-mm2)作直线FR交y轴于点P,由对称性知∠EPQ=∠FPQ,∴点P就是所求的点.由FR的坐标,可得直线FR的解析式为y=(n-m)x+mn.当x=0,y=mn=-3∴P(0,-3).∴y轴的负半轴上存在点P(0-3),使△PEF的内心在y轴上.(2011江西南昌)
25.如图所示,抛物线m y=ax2+b(a<0,b>0)与x轴于点A、B(点A在点B的左侧),与y轴交于点C.将抛物线m绕点B旋转180°,得到新的抛物线n,它的顶点为C1,与x轴的另一个交点为A
1.1当a=-1b=1时,求抛物线n的解析式;2四边形AC1A1C是什么特殊四边形,请写出结果并说明理由;3若四边形AC1A1C为矩形,请求出ab应满足的关系式.25.解
(1)当时,抛物线的解析式为.令,得.∴C
(01).令,得.∴A(-10),B
(10)∵C与C1关于点B中心对称,∴抛物线的解析式为………4分
(2)四边形AC1A1C是平行四边形.………5分理由∵C与C
1、A与A1都关于点B中心对称,∴∴四边形AC1A1C是平行四边形.………8分
(3)令,得.∴C
(0).令,得∴∴………9分∴.要使平行四边形AC1A1C是矩形,必须满足∴,∴,∴.∴应满足关系式.………10分(江西2011中考B卷)
24.已知抛物线的顶点为A,与x轴的交点为B,C(点B在点C的左侧).1直接写出抛物线对称轴方程;
(2)若抛物线经过原点,且△ABC为直角三角形,求a,b的值;
(3)若D为抛物线对称轴上一点,则以A,B,C,D为顶点的四边形能否为正方形?若能,请写出a,b满足的关系式;若不能,说明理由.24.解
(1)抛物线对称轴方程.………2分
(2)设直线与轴交于点E则E
(20).∵抛物线经过原点,∴B00C
40.………3分∵△ABC为直角三角形,根据抛物线的对称性可知∴∴A2-2或
22.当抛物线的顶点为A2-2时,,把00代入,得,此时,.………5分当抛物线的顶点为A22时,,把00代入,得,此时,.∴,或,.………7分
(3)依题意,B、C关于点E中心对称,当AD也关于点E对称,且时,四边形ABDC是正方形.∵,∴,∴,把代入,得,∵,∴.………10分2011江西省
24.将抛物线c1y=沿x轴翻折,得抛物线c2,如图所示.
(1)请直接写出抛物线c2的表达式.
(2)现将抛物线c1向左平移m个单位长度,平移后得到的新抛物线的顶点为M,与x轴的交点从左到右依次为A,B;将抛物线c2向右也平移m个单位长度,平移后得到的新抛物线的顶点为N,与x轴交点从左到右依次为D,E.
①当B,D是线段AE的三等分点时,求m的值;
②在平移过程中,是否存在以点A,N,E,M为顶点的四边形是矩形的情形?若存在,请求出此时m的值;若不存在,请说明理由.24.解
(1).………………2分
(2)
①令,得,则抛物线c1与轴的两个交点坐标为(-10),
(10).∴A(-1-m,0),B(1-m,0).同理可得D(-1+m,0),E(1+m,0).当时,如图
①,,∴.………………4分当时,如图
②,,∴.………………6分∴当或2时,B,D是线段AE的三等分点.
②存在.………………7分方法一理由连接AN、NE、EM、MA.依题意可得.即M,N关于原点O对称,∴.∵,∴A,E关于原点O对称,∴,∴四边形ANEM为平行四边形.………………8分要使平行四边形ANEM为矩形,必需满足即,∴.∴当时,以点A,N,E,M为顶点的四边形是矩形.…………10分方法二理由连接AN、NE、EM、MA.依题意可得.即M,N关于原点O对称,∴.∵,∴A,E关于原点O对称,∴,∴四边形ANEM为平行四边形.………………8分∵,,,若,则,∴.此时△AME是直角三角形,且∠AME=90°.∴当时,以点A,N,E,M为顶点的四边形是矩形.…………10分2011湖北黄冈
23.(12分)我市某镇的一种特产由于运输原因,长期只能在当地销售.当地政府对该特产的销售投资收益为每投入x万元,可获得利润(万元).当地政府拟在“十二•五”规划中加快开发该特产的销售,其规划方案为在规划前后对该项目每年最多可投入100万元的销售投资,在实施规划5年的前两年中,每年都从100万元中拨出50万元用于修建一条公路,两年修成,通车前该特产只能在当地销售;公路通车后的3年中,该特产既在本地销售,也在外地销售.在外地销售的投资收益为每投入x万元,可获利润(万元)⑴若不进行开发,求5年所获利润的最大值是多少?⑵若按规划实施,求5年所获利润(扣除修路后)的最大值是多少?⑶根据⑴、⑵,该方案是否具有实施价值?
23.解⑴当x=60时,P最大且为41,故五年获利最大值是41×5=205万元.⑵前两年0≤x≤50,此时因为P随x增大而增大,所以x=50时,P值最大且为40万元,所以这两年获利最大为40×2=80万元.后三年设每年获利为y,设当地投资额为x则外地投资额为100-x,所以y=P+Q=+==表明x=30时,y最大且为1065,那么三年获利最大为1065×3=3495万元,故五年获利最大值为80+3495-50×2=3475万元.⑶有极大的实施价值.2011湖北黄冈
24.(14分)如图所示,过点F(0,1)的直线y=kx+b与抛物线交于M(x1,y1)和N(x2,y2)两点(其中x1<0,x2<0).⑴求b的值.⑵求x1•x2的值⑶分别过M、N作直线l y=-1的垂线,垂足分别是M
1、N1,判断△M1FN1的形状,并证明你的结论.⑷对于过点F的任意直线MN,是否存在一条定直线m,使m与以MN为直径的圆相切.如果有,请法度出这条直线m的解析式;如果没有,请说明理由.
24.解⑴b=1⑵显然和是方程组的两组解,解方程组消元得,依据“根与系数关系”得.⑶△M1FN1是直角三角形是直角三角形,理由如下由题知M1的横坐标为x1,N1的横坐标为x2,设M1N1交y轴于F1,则F1M1•F1N1=-x1•x2=4,而FF1=2,所以F1M1•F1N1=F1F2,另有∠M1F1F=∠FF1N1=90°,易证Rt△M1FF1∽Rt△N1FF1,得∠M1FF1=∠FN1F1,故∠M1FN1=∠M1FF1+∠F1FN1=∠FN1F1+∠F1FN1=90°,所以△M1FN1是直角三角形.⑷存在,该直线为y=-
1.理由如下直线y=-1即为直线M1N
1.如图,设N点横坐标为m,则N点纵坐标为计算知NN1=,NF=,得NN1=NF同理MM1=MF.那么MN=MM1+NN1,作梯形MM1N1N的中位线PQ,由中位线性质知PQ=(MM1+NN1)=MN,即圆心到直线y=-1的距离等于圆的半径,所以y=-1总与该圆相切.(2011安徽)
23.如图,正方形ABCD的四个顶点分别在四条平行线l
1、l
2、l
3、l4上,这四条直线中相邻两条之间的距离依次为h
1、h
2、h3(h1>0,h2>0,h3>0).1求证h1=h3;2设正方形ABCD的面积为S.求证S=(h2+h3)2+h12;3若当h1变化时,说明正方形ABCD的面积为S随h1的变化情况.【解】
23.
(1)过A点作AF⊥l3分别交l
2、l3于点E、F,过C点作CH⊥l2分别交l
2、l3于点H、G,证△ABE≌△CDG即可.
(2)易证△ABE≌△BCH≌△CDG≌△DAF且两直角边长分别为h
1、h1+h2四边形EFGH是边长为h2的正方形,所以.3由题意,得所以又解得0<h1<∴当0<h1<时,S随h1的增大而减小;当h1=时,S取得最小值;当<h1<时,S随h1的增大而增大.(2011年安徽芜湖市)24.本小题满分14分平面直角坐标系中,平行四边形ABOC如图放置,点A、C的坐标分别为0,
3、,0,将此平行四边形绕点0顺时针旋转90°,得到平行四边形1若抛物线过点C,A,,求此抛物线的解析式;2求平行四边形ABOC和平行四边形重叠部分△的周长;3点M是第一象限内抛物线上的一动点,间点M在何处时△的面积最大最大面积是多少并求出此时点M的坐标24.本小题满分l4分解1∵由ABOC旋转得到,且点A的坐标为0,3,点的坐标为3,0所以抛物线过点C-1,0,A0,3,3,0设抛物线的解析式为,可得解得∴过点C,A,的抛物线的解析式为2因为AB∥CO,所以∠OAB=∠AOC=90°∴又.∴又∴又△ABO的周长为∴的周长为
(3)连接OM,设M点的坐标为,∵点M在抛物线上,∴∴==因为,所以当时,△AMA’的面积有最大值所以当点M的坐标为时,△AMA’的面积有最大值,且最大值为第8题图x米y米第14题图APxyKO第25题图1图1APxyKOOAPxyBC图2GM图11备用图第17题图O3-1xy第25题图OxAMNBPC题22图图11CBAC1A1xyOOxyABCExOADBEMN图
②yxOADBEMN图
①FMNN1M1F1Oyxl 第22题图FMNN1M1F1Oyxl 第22题解答用图PQ第23题图。