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2011年普通高等学校招生全国统一考试数学(理)(北京卷)本试卷共5页,150分考试时间长120分钟考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回第一部分(选择题共40分)
一、选择题共8小题,每小题5分,共40分在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项1.已知集合P={x︱x2≤1}M={a}.若P∪M=P则a的取值范围是A.-∞-1]B.[1+∞)C.[-1,1]D.(-∞,-1]∪[1,+∞)2.复数A.iB.-iC.D.3.在极坐标系中,圆ρ=-2sinθ的圆心的极坐标系是A.B.C.10D.1,4.执行如图所示的程序框图,输出的s值为A.-3B.-C.D.25.如图,AD,AE,BC分别与圆O切于点D,E,F,延长AF与圆O交于另一点G给出下列三个结论
①AD+AE=AB+BC+CA;
②AF·AG=AD·AE
③△AFB~△ADG其中正确结论的序号是A.
①②B.
②③C.
①③D.
①②③6.根据统计,一名工作组装第x件某产品所用的时间(单位分钟)为(A,C为常数)已知工人组装第4件产品用时30分钟,组装第A件产品用时15分钟,那么C和A的值分别是A.75,25B.75,16C.60,25D.60,167.某四面体的三视图如图所示,该四面体四个面的面积中,最大的是A.8B.C.10D.8.设,.记为平行四边形ABCD内部(不含边界)的整点的个数,其中整点是指横、纵坐标都是整数的点,则函数的值域为A.B.C.D.第二部分(非选择题共110分)
二、填空题共6小题,每小题5分,共30分9.在中若b=5,,tanA=2,则sinA=____________;a=_______________10.已知向量a=(,1),b=(0,-1),c=(k,)若a-2b与c共线,则k=___________________11.在等比数列{an}中,a1=,a4=-4,则公比q=______________;____________12.用数字23组成四位数,且数字23至少都出现一次,这样的四位数共有__________个(用数字作答)13.已知函数若关于x的方程fx=k有两个不同的实根,则数k的取值范围是_______14.曲线C是平面内与两个定点F1(-1,0)和F¬2(1,0)的距离的积等于常数的点的轨迹.给出下列三个结论
①曲线C过坐标原点;
②曲线C关于坐标原点对称;
③若点P在曲线C上,则△FPF的面积大于a其中,所有正确结论的序号是
三、解答题共6小题,共80分,解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程15.(本小题共13分)已知函数(Ⅰ)求的最小正周期(Ⅱ)求在区间上的最大值和最小值16.(本小题共14分)如图,在四棱锥中,平面,底面是菱形,.Ⅰ求证平面(Ⅱ)若求与所成角的余弦值;(Ⅲ)当平面与平面垂直时,求的长.17.本小题共13分以下茎叶图记录了甲、乙两组个四名同学的植树棵树乙组记录中有一个数据模糊,无法确认,在图中以X表示(Ⅰ)如果X=8求乙组同学植树棵树的平均数和方差;(Ⅱ)如果X=9,分别从甲、乙两组中随机选取一名同学,求这两名同学的植树总棵树Y的分布列和数学期望(注方差,其中为,,……的平均数)18.(本小题共13分)已知函数(Ⅰ)求的单调区间;(Ⅱ)若对于任意的,都有≤,求的取值范围19.(本小题共14分)已知椭圆.过点(m0)作圆的切线I交椭圆G于A,B两点.(I)求椭圆G的焦点坐标和离心率;(II)将表示为m的函数,并求的最大值.20.(本小题共13分)若数列满足,数列为数列,记=.(Ⅰ)写出一个满足,且〉0的数列;(Ⅱ)若,n=2000,证明E数列是递增数列的充要条件是=2011;(Ⅲ)对任意给定的整数n(n≥2),是否存在首项为0的E数列,使得=0?如果存在,写出一个满足条件的E数列;如果不存在,说明理由参考答案
一、选择题(共8小题,每小题5分,共40分)
(1)C
(2)A
(3)B
(4)D
(5)A
(6)D
(7)C
(8)C
二、填空题(共6小题,每小题5分,共30分)
(9)
(10)1
(11)—2
(12)14
(13)(0,1)
(14)
②③
三、解答题(共6小题,共80分)
(15)(共13分)解(Ⅰ)因为所以的最小正周期为(Ⅱ)因为于是,当时,取得最大值2;当取得最小值—
1.
(16)(共14分)证明(Ⅰ)因为四边形ABCD是菱形,所以AC⊥BD.又因为PA⊥平面ABCD.所以PA⊥BD.所以BD⊥平面PAC.(Ⅱ)设AC∩BD=O.因为∠BAD=60°,PA=PB=2所以BO=1,AO=CO=.如图,以O为坐标原点,建立空间直角坐标系O—xyz,则P(0,—,2),A(0,—,0),B(1,0,0),C(0,,0).所以设PB与AC所成角为,则.(Ⅲ)由(Ⅱ)知设P(0,-,t)(t0),则设平面PBC的法向量则所以令则所以同理,平面PDC的法向量因为平面PCB⊥平面PDC所以=0,即解得所以PA=
(17)(共13分)解
(1)当X=8时,由茎叶图可知,乙组同学的植树棵数是8,8,9,10,所以平均数为方差为(Ⅱ)当X=9时,由茎叶图可知,甲组同学的植树棵树是9,9,11,11;乙组同学的植树棵数是9,8,9,10分别从甲、乙两组中随机选取一名同学,共有4×4=16种可能的结果,这两名同学植树总棵数Y的可能取值为17,18,19,20,21事件“Y=17”等价于“甲组选出的同学植树9棵,乙组选出的同学植树8棵”所以该事件有2种可能的结果,因此P(Y=17)=同理可得所以随机变量Y的分布列为Y1718192021PEY=17×P(Y=17)+18×P(Y=18)+19×P(Y=19)+20×P(Y=20)+21×P(Y=21)=17×+18×+19×+20×+21×=19
(18)(共13分)解(Ⅰ)令,得.当k0时,的情况如下xkk+0—0+↗↘0↗所以,的单调递减区间是()和;单高层区间是当k0时,的情况如下xkk—0+0—↘0↗↘所以,的单调递减区间是()和;单高层区间是(Ⅱ)当k0时,因为,所以不会有当k0时,由(Ⅰ)知在(0,+)上的最大值是所以等价于解得.故当时,k的取值范围是
(19)(共14分)解(Ⅰ)由已知得所以所以椭圆G的焦点坐标为离心率为(Ⅱ)由题意知,.当时,切线l的方程,点A、B的坐标分别为此时当m=-1时,同理可得当时,设切线l的方程为由设A、B两点的坐标分别为,则又由l与圆所以由于当时,所以.因为且当时,|AB|=2,所以|AB|的最大值为
2.
(20)(共13分)解(Ⅰ)0,1,2,1,0是一具满足条件的E数列A5(答案不唯一,0,1,0,1,0也是一个满足条件的E的数列A5)(Ⅱ)必要性因为E数列A5是递增数列,所以.所以A5是首项为12,公差为1的等差数列.所以a2000=12+(2000—1)×1=
2011.充分性,由于a2000—a1000≤1,a2000—a1000≤1……a2—a1≤1所以a2000—a≤19999,即a2000≤a1+
1999.又因为a1=12,a2000=2011所以a2000=a1+
1999.故是递增数列.综上,结论得证(Ⅲ)令因为……所以因为所以为偶数所以要使为偶数即4整除.当时,有当的项满足,当不能被4整除,此时不存在E数列An,使得。