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数学(理科)试题第Ⅰ卷(选择题共50分)
一、选择题本大题共10小题,每小题5分,共50分在每小题给出的四个选题中,只有一项是符合题目要求的.
(1)设i是虚数单位,复数为纯虚数,则实数a为A2B-2CD
(2)双曲线的实轴长是A2BC4D
(3)设是定义在R上的奇函数,当时,则A-3B-1C1D3
(4)设变量xy满足|x|+|y|≤1,则x+2y的最大值和最小值分别为A1-1B2-2C1-2D2-1
(5)在极坐标系中,点到圆的圆心的距离为A2BCD
(6)一个空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为A48BCD80
(7)命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是A所有不能被2整除的整数都是偶数B所有不能被2整除的整数都不是偶数C存在一个不能被2整除的整数是偶数D存在一个能被2整除的整数不是偶数
(8)设集合A={123456}B={45678},则满足且的集合S的个数是A57B56C49D8
(9)已知函数,其中为实数,若对恒成立,且,则的单调递增区间是ABCD
(10)函数在区间
[01]上的图像如图所示,则mn的值可能是Am=1n=1Bm=1n=2Cm=2n=1Dm=3n=1第Ⅱ卷(非选择题共100分)
二、填空题本大题共5小题,每小题5分,共25分把答案填在答题卡的相应位置
(11)如图所示,程序框图(算法流程图)的输出结果是.
(12)设,则.
(13)已知向量ab满足a+2b·a-b=-6,且|a|=1|b|=2,则a与b的夹角为.
(14)已知⊿ABC的一个内角为120°,并且三边长构成公差为4的等差数列,则⊿ABC的面积为.
(15)在平面直角坐标系中,如果x与y都是整数,就称点xy为整点下列命题中正确的是.(写出所有正确的编号)
①存在这样的直线,既不与坐标轴平行又不经过任何整点
②如果k与b都是无理数,则直线y=kx+b不经过任何整点
③直线l经过无穷多个整点,当且仅当l经过两个不同的整点
④直线y=kx+b经过无穷多个整点的充分必要条件是k与b都是有理数
⑤存在恰经过一个整点的直线
三、解答题本大题共6小题,共75分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答写在答题卡的指定区域内
(16)(本小题满分12分)设,其中a为正实数.(Ⅰ)当时,求的极值点;(Ⅱ)若为R上的单调函数,求a的取值范围
(17)(本小题满分12分)如图,ABEDFC为多面体,平面ABED与平面ACFD垂直,点O在线段AD上,OA=1,OD=2,⊿OAB⊿OAC⊿ODE⊿ODF都是正三角形.(Ⅰ)证明直线BC∥EF;(Ⅱ)求棱锥F-OBED的体积.
(18)(本小题满分13分)在数1和100之间插入n个实数,使得这n+2个数构成递增的等比数列,将这n+2个数的乘积记作,再令,n≥
1.(Ⅰ)求数列的通项公式;(Ⅱ)设,求数列的前n项和.
(19)(本小题满分12分)(Ⅰ)设x≥1y≥1,证明;(Ⅱ)设1a≤b≤c,证明.
(20)(本小题满分13分)工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务,每次只派一个人进去,且每个人只派一次,工作时间不超过10分钟如果前一个人10分钟内不能完成任务则撤出,再派下一个人,现在一共只有甲、乙、丙三个人可派,他们各自能完成任务的概率分别为,假设互不相等,且假定各人能否完成任务的事件相互独立(Ⅰ)如果按甲最先、乙次之、丙最后的顺序派人,求任务能被完成的概率若改变三个人被派出的先后顺序,任务能被完成的概率是否发生变化?(Ⅱ)若按某指定顺序派人,这三个人各自能完成任务的概率依次为,其中是的一个排列,求所需派出人员数目X的分布列和均值(数学期望)EX;(Ⅲ)假定,试分析以怎样的先后顺序派出人员,可使所需派出的人员数目的均值(数学期望)达到最小
(21)(本小题满分13分)设,点A的坐标为
(11),点B在抛物线上运动,点Q满足,经过点Q与x轴垂直的直线交抛物线于点M,点P满足,求点P的轨迹方程数学(理科)试题参考答案
一、选择题本题考查基本知识和基本运算.每小题5分,满分50分.
(1)A
(2)C
(3)A
(4)B
(5)D
(6)C
(7)D
(8)B
(9)C
(10)B
二、填空题本题考查基本知识和基本运算.每小题5分,满分25分.
(11)15
(12)0
(13)
(14)
(15)
①③⑤
三、解答题本大题共6小题,共75分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
(16)本题考查导数的运算,极值点的判断,导数符号与函数单调性之间的关系求解一元二次不等式等基本知识,考查运算求解能力,综合分析和解决问题的能力解对求导得
①(Ⅰ)当时,若,则,解得结合
①,可知x+0_0+↗极大值↘极小值↗所以,是极小值点,是极大值点(Ⅱ)若为R上的单调函数,则在R上不变号,结合
①与条件a0,知在R上恒成立,因此,由此并结合a0,知.
(17)本题考查空间直线与直线,直线与平面、平面与平面的位置关系,空间直线平行的证明,多面体体积的计算等基本知识,考查空间想象能力,推理论证能力和运算求解能力(Ⅰ)(综合法)证明设G是线段DA与线段EB延长线的交点,由于△OAB与△ODE都是正三角形,所以OB∥OB=OG=OD=2同理,设G′是线段DA与线段FC延长线的交点,有OG′=OD=2,又由于G和G′都在线段DA的延长线上,所以G与G′重合在△GED和△GFD中,由OB∥OB=和OC∥OC=可知BC分别是GE和GF的中点,所以BC是△GEF的中位线,故BC∥EF.(向量法)过点F作FQ⊥AD交AD于点Q,连QE,由平面ABED⊥平面ADFC,知FQ⊥平面ABED以Q为坐标原点,为x轴正向,为y轴正向,为z轴正向,建立如图所示空间直角坐标系由条件知E,00,F(00,),B(,-,0),C(0,-,)则有,,所以,即得BC∥EF.(Ⅱ)解由OB=1,OE=2,∠EOB=60°,知SEOB=而△OED是边长为2的正三角形,故SOED=所以SOBED=SEOB+SOED=过点F作FQ⊥AD,交AD于点Q,由平面ABED⊥平面ACFD知,FQ就是四棱锥F-OBED的高,且FQ=,所以VF-OBED=FQ·SOBED=
(18)本题考查等比和等差数列,对数和指数的运算,两角差的正切公式等基本知识,考查灵活运用基本知识解决问题的能力,创新思维能力和运算求解能力解(Ⅰ)设构成等比数列,其中,则
①②①×
②并利用,得(Ⅱ)由题意和(Ⅰ)中计算结果,知另一方面,利用得所以
(19)本题考查不等式的性质,对数函数的性质和对数换底公式等基本知识,考查代数式的恒等变形和推理论证能力证明(Ⅰ)由于x≥1y≥1,所以将上式中的右式减左式,得既然x≥1y≥1,所以,从而所要证明的不等式成立(Ⅱ)设,由对数的换底公式得于是,所要证明的不等式即为其中故由(Ⅰ)立知所要证明的不等式成立
(20)本题考查相互独立事件的概率计算,考查离散型随机变量及其分布列、均值等基本知识,考查在复杂情境下处理问题的能力以及抽象概括能力、合情推理与演绎推理,分类讨论思想,应用意识与创新意识解(Ⅰ)无论以怎样的顺序派出人员,任务不能被完成的概率都是,所以任务能被完成的概率与三个人被派出的先后顺序无关,并等于(Ⅱ)当依次派出的三个人各自完成任务的概率分别为时,随机变量X的分布列为X123P所需派出的人员数目的均值(数学期望)EX是EX=++=(Ⅲ)(方法一)由(Ⅱ)的结论知,当甲最先、乙次之、丙最后的顺序派人时,EX=根据常理,优先派出完成任务概率大的人,可减少所需派出的人员数目的均值下面证明对于的任意排列,都有(*)事实上,即(*)成立(方法二)(ⅰ)可将(Ⅱ)中所求的EX改写为,若交换前两人的派出顺序,则变为由此可见,当时,交换前两人的派出顺序可减少均值(ⅱ)也可将(Ⅱ)中所求的EX改写为,若交换后两人的派出顺序,则变为由此可见,若保持第一个派出的人选不变,当时,交换后两人的派出顺序也可减少均值综合(ⅰ)(ⅱ)可知,当=时,EX达到最小即完成任务概率大的人优先派出,可减少所需派出人员数目的均值,这一结论是合乎常理的
(21)本题考查直线和抛物线的方程,平面向量的概念,性质与运算,动点的轨迹方程等基本知识,考查灵活运用知识探究问题和解决问题的能力,全面考核综合数学素养解由知QMP三点在同一条垂直于x轴的直线上,故可设PxyQxy0Mxx2则即
①再设,由,即,解得
②将
①式代入
②式,消去,得
③又点B在抛物线上,所以,再将
③式代入,得整理得因,两边同除以,得故所求点P的轨迹方程为。