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2011年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)数学(理工农医类)本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分,共6页,时量120分钟,满分150分参考公式
(1),其中为两个事件,且,
(2)柱体体积公式,其中为底面面积,为高
(3)球的体积公式,其中为求的半径一选择题本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的
1.若,为虚数单位,且,则()A.B.C.D.答案D解析因,根据复数相等的条件可知
2.设,,则“”是“”则()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件答案A解析因“”,即,满足“”,反之“”,则,或,不一定有“”
3.设图一是某几何体的三视图,则该几何体的体积为()A.B.C.D.答案B解析有三视图可知该几何体是一个长方体和球构成的组合体,其体积
4.通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动,得到如下的列联表男女总计爱好402060不爱好203050总计6050110由算得附表
0.
0500.
0100.
0013.
8416.
63510.828参照附表,得到的正确结论是()A.在犯错误的概率不超过的前提下,认为“爱好该项运动与性别有关”B.在犯错误的概率不超过的前提下,认为“爱好该项运动与性别无关”C.有以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D.有以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”答案C解析由,而,故由独立性检验的意义可知选C.
5.设双曲线的渐近线方程为,则的值为()A.4B.3C.2D.1答案C解析由双曲线方程可知渐近线方程为,故可知
6.由直线与曲线所围成的封闭图形的面积为()A.B.1C.D.答案D解析由定积分知识可得,故选D
7.设,在约束条件下,目标函数的最大值小于2,则的取值范围为()A.B.C.D.答案A解析画出可行域,可知在点取最大值,由解得
8.设直线与函数的图像分别交于点,则当达到最小时的值为()A.1B.C.D.答案D解析由题,不妨令,则,令解得,因时,,当时,,所以当时,达到最小即二填空题本大题共8小题,考生作答7小题,每小题5分,共35分,把答案填在答题卡中对应题号的横线上
一、选做题(请考生在第
9、
10、11三题中任选两题作答,如果全做,则按前两题记分)
9.在直角坐标系中,曲线C1的参数方程为(为参数)在极坐标系(与直角坐标系取相同的长度单位,且以原点O为极点,以轴正半轴为极轴)中,曲线的方程为,则与的交点个数为答案2解析曲线,,由圆心到直线的距离,故与的交点个数为
2.
10.设则的最小值为答案9解析由柯西不等式可知
11.如图2,是半圆周上的两个三等分点,直径,垂足为D与相交与点F,则的长为答案解析由题可知,,得,又,所以.
二、必做题(12~16题)
12、设是等差数列的前项和,且,则答案25解析由可得,所以
13、若执行如图3所示的框图,输入,则输出的数等于答案解析由框图的算法功能可知,输出的数为三个数的方差,则
14、在边长为1的正三角形中,设,则答案解析由题,,所以
15、如图4,是以为圆心,半径为1的圆的内接正方形,将一颗豆子随机地扔到该圆内,用A表示事件“豆子落在正方形内”,B表示事件“豆子落在扇形(阴影部分)内”,则
(1);
(2)答案
(1);
(2)解析
(1)由几何概型概率计算公式可得;
(2)由条件概率的计算公式可得
16、对于,将表示为,当时,,当时,为0或
1.记为上述表示中为0的个数,(例如,故)则
(1)
(2)答案
(1)2;
(2)解析
(1)因,故;
(2)在2进制的位数中,没有0的有1个,有1个0的有个,有2个0的有个,……有个0的有个,……有个0的有个故对所有2进制为位数的数,在所求式中的的和为又恰为2进制的最大7位数,所以三.解答题本大题共6小题,共75分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17.(本小题满分12分)在中,角所对的边分别为,且满足.(I)求角的大小;(II)求的最大值,并求取得最大值时角的大小.解析(I)由正弦定理得因为所以(II)由(I)知于是取最大值2.综上所述,的最大值为2,此时
18.某商店试销某种商品20天,获得如下数据日销售量(件)0123频数1595试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变),设某天开始营业时有该商品3件,当天营业结束后检查存货,若发现存货少于2件,则当天进货补充至3件,否则不进货,将频率视为概率Ⅰ)求当天商品不进货的概率;(Ⅱ)记X为第二天开始营业时该商品的件数,求X的分布列和数学期望解析(I)P(“当天商店不进货”)=P(“当天商品销售量为0件”)+P(“当天商品销售量1件”)=(II)由题意知,的可能取值为2,
3.;故的分布列为23的数学期望为
19.(本题满分12分)如图5,在圆锥中,已知的直径的中点.(I)证明(II)求二面角的余弦值.解(I)连接,因为为的中点,所以.又因为内的两条相交直线,所以而,所以(II)在平面中,过作于,由(I)知,所以又所以.在平面中,过作连接则有,从而,所以是二面角的平面角.在在在在所以故二面角的余弦值为
20.如图6,长方形物体E在雨中沿面P(面积为S)的垂直方向作匀速移动,速度为,雨速沿E移动方向的分速度为E移动时单位时间内的淋雨量包括两部分
(1)P或P的平行面(只有一个面淋雨)的淋雨量,假设其值与×S成正比,比例系数为;
(2)其它面的淋雨量之和,其值为,记为E移动过程中的总淋雨量,当移动距离d=100,面积S=时(Ⅰ)写出的表达式(Ⅱ)设0<v≤100<c≤5,试根据c的不同取值范围,确定移动速度,使总淋雨量最少解析(I)由题意知,E移动时单位时间内的淋雨量为,故.(II)由I知,当时,当时,故1当时,是关于的减函数.故当时,2当时,在上,是关于的减函数;在上,是关于的增函数;故当时,A.本小题满分13分)如图7,椭圆的离心率为,轴被曲线截得的线段长等于的长半轴长(Ⅰ)求,的方程;(Ⅱ)设与轴的交点为M,过坐标原点O的直线与相交于点AB直线MAMB分别与相交与DE.(i)证明;ii记△MAB△MDE的面积分别是.问是否存在直线使得=请说明理由解析(I)由题意知,从而,又,解得故,的方程分别为(II)(i)由题意知,直线的斜率存在,设为,则直线的方程为.由得,设,则是上述方程的两个实根,于是又点的坐标为,所以故,即(ii)设直线的斜率为,则直线的方程为,由解得或,则点的坐标为又直线的斜率为,同理可得点B的坐标为.于是由得,解得或,则点的坐标为;又直线的斜率为,同理可得点的坐标于是因此由题意知,解得或又由点的坐标可知,,所以故满足条件的直线存在,且有两条,其方程分别为和
22.(本小题满分13分)已知函数=,g=+(Ⅰ)求函数h=-g的零点个数,并说明理由;(Ⅱ)设数列满足,,证明存在常数M使得对于任意的,都有≤ .解析(I)由知,,而,且,则为的一个零点,且在内有零点,因此至少有两个零点解法1,记,则当时,,因此在上单调递增,则在内至多只有一个零点又因为,则在内有零点,所以在内有且只有一个零点记此零点为,则当时,;当时,;所以,当时,单调递减,而,则在内无零点;当时,单调递增,则在内至多只有一个零点;从而在内至多只有一个零点综上所述,有且只有两个零点解法2,记,则当时,,因此在上单调递增,则在内至多只有一个零点因此在内也至多只有一个零点,综上所述,有且只有两个零点(II)记的正零点为,即
(1)当时,由,即.而,因此,由此猜测下面用数学归纳法证明
①当时,显然成立;
②假设当时,有成立,则当时,由知,,因此,当时,成立故对任意的,成立
(2)当时,由
(1)知,在上单调递增则,即从而,即,由此猜测下面用数学归纳法证明
①当时,显然成立;
②假设当时,有成立,则当时,由知,,因此,当时,成立故对任意的,成立综上所述,存在常数,使得对于任意的,都有.332正视图侧视图俯视图图1。