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2011年普通高等学校招生全国统一考试
一、选择题本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合M={0,1,2,3,4},N={1,3,5},P=M,则P的子集共有A.2个B.4个C.6个D.8个2.复数A.B.C.D.3.下列函数中,既是偶函数又在单调递增的函数是A.B.C.D.4.椭圆的离心率为A.B.C.D.5.执行右面的程序框图,如果输入的N是6,那么输出的p是A.120B.720C.1440D.50406.有3个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个小组,每位同学参加各个小组的可能性相同,则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为A.B.C.D.7.已知角的顶点与原点重合,始边与x轴的正半轴重合,终边在直线上,则=A.B.C.D.8.在一个几何体的三视图中,正视图与俯视图如右图所示,则相应的侧视图可以为9.已知直线l过抛物线C的焦点,且与C的对称轴垂直,l与C交于A,B两点,,P为C的准线上一点,则的面积为A.18B.24C.36D.4810.在下列区间中,函数的零点所在的区间为A.B.C.D.11.设函数,则A.在单调递增,其图象关于直线对称B.在单调递增,其图象关于直线对称C.在单调递减,其图象关于直线对称D.在单调递减,其图象关于直线对称12.已知函数的周期为2,当时,那么函数的图象与函数的图象的交点共有A.10个B.9个C.8个D.1个
二、填空题本大题共4小题,每小题5分.13.已知a与b为两个不共线的单位向量,k为实数,若向量a+b与向量ka-b垂直,则k=_____________.14.若变量x,y满足约束条件,则的最小值是_________.15.中,,则的面积为_________.16.已知两个圆锥有公共底面,且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上.若圆锥底面面积是这个球面面积的,则这两个圆锥中,体积较小者的高与体积较大者的高的比值为______________.
三、解答题解答应写文字说明,证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)已知等比数列中,,公比.(I)为的前n项和,证明(II)设,求数列的通项公式.18.(本小题满分12分)如图,四棱锥中,底面ABCD为平行四边形,,,底面ABCD.(I)证明;(II)设PD=AD=1,求棱锥D-PBC的高.19.(本小题满分12分)某种产品的质量以其质量指标值衡量,质量指标越大表明质量越好,且质量指标值大于或等于102的产品为优质品.现用两种新配方(分别称为A配方和B配方)做试验,各生产了100件这种产品,并测量了每产品的质量指标值,得到时下面试验结果A配方的频数分布表指标值分组[90,94)[94,98)[98,102)[102,106)[106,110]频数82042228B配方的频数分布表指标值分组[90,94)[94,98)[98,102)[102,106)[106,110]频数412423210(I)分别估计用A配方,B配方生产的产品的优质品率;(II)已知用B配方生产的一种产品利润y(单位元)与其质量指标值t的关系式为估计用B配方生产的一件产品的利润大于0的概率,并求用B配方生产的上述100件产品平均一件的利润.20.(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中,曲线与坐标轴的交点都在圆C上.(I)求圆C的方程;(II)若圆C与直线交于A,B两点,且求a的值.21.(本小题满分12分)已知函数,曲线在点处的切线方程为.(I)求a,b的值;(II)证明当x0,且时,.请考生在第
22、
23、24三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分.做答是用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑.22.(本小题满分10分)选修4-1几何证明选讲如图,D,E分别为的边AB,AC上的点,且不与的顶点重合.已知AE的长为m,AC的长为n,AD,AB的长是关于x的方程的两个根.(I)证明C,B,D,E四点共圆;(II)若,且求C,B,D,E所在圆的半径.23.(本小题满分10分)选修4-4坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中,曲线的参数方程为为参数),M为上的动点,P点满足,点P的轨迹为曲线.(I)求的方程;(II)在以O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线与的异于极点的交点为A,与的异于极点的交点为B,求|AB|.24.(本小题满分10分)选修4-5不等式选讲设函数,其中.(I)当a=1时,求不等式的解集.(II)若不等式的解集为{x|,求a的值.参考答案
一、选择题
(1)B
(2)C
(3)B
(4)D
(5)B
(6)A
(7)B
(8)D
(9)C
(10)C
(11)D
(12)A
二、填空题
(13)1
(14)-6
(15)
(16)
三、解答题
(17)解(Ⅰ)因为所以(Ⅱ)所以的通项公式为18解(Ⅰ)因为,由余弦定理得从而BD2+AD2=AB2,故BDAD又PD底面ABCD,可得BDPD所以BD平面PAD.故PABD(Ⅱ)如图,作DEPB,垂足为E已知PD底面ABCD,则PDBC由(Ⅰ)知BDAD,又BC//AD,所以BCBD故BC平面PBD,BCDE则DE平面PBC由题设知,PD=1,则BD=,PB=2,根据BE·PB=PD·BD,得DE=,即棱锥D—PBC的高为
(19)解(Ⅰ)由试验结果知,用A配方生产的产品中优质的频率为,所以用A配方生产的产品的优质品率的估计值为
0.3由试验结果知,用B配方生产的产品中优质品的频率为,所以用B配方生产的产品的优质品率的估计值为
0.42(Ⅱ)由条件知用B配方生产的一件产品的利润大于0当且仅当其质量指标值t≥94,由试验结果知,质量指标值t≥94的频率为
0.96,所以用B配方生产的一件产品的利润大于0的概率估计值为
0.
96.用B配方生产的产品平均一件的利润为(元)20)解(Ⅰ)曲线与y轴的交点为(0,1),与x轴的交点为(故可设C的圆心为(3,t),则有解得t=
1.则圆C的半径为所以圆C的方程为(Ⅱ)设A(),B(),其坐标满足方程组消去y,得到方程由已知可得,判别式因此,从而
①由于OA⊥OB,可得又所以
②由
①,
②得,满足故
(21)解(Ⅰ)由于直线的斜率为,且过点,故即解得,(Ⅱ)由(Ⅰ)知,所以考虑函数,则所以当时,故当时,当时,从而当
(22)解(I)连接DE,根据题意在△ADE和△ACB中,AD×AB=mn=AE×AC,即.又∠DAE=∠CAB,从而△ADE∽△ACB因此∠ADE=∠ACB所以C,B,D,E四点共圆(Ⅱ)m=4,n=6时,方程x2-14x+mn=0的两根为x1=2,x2=
12.故AD=2,AB=
12.取CE的中点G,DB的中点F,分别过G,F作AC,AB的垂线,两垂线相交于H点,连接DH.因为C,B,D,E四点共圆,所以C,B,D,E四点所在圆的圆心为H,半径为DH.由于∠A=900,故GH∥AB,HF∥AC.HF=AG=5,DF=12-2=
5.故C,B,D,E四点所在圆的半径为5
(23)解(I)设Px,y,则由条件知M.由于M点在C1上,所以即从而的参数方程为(为参数)(Ⅱ)曲线的极坐标方程为,曲线的极坐标方程为射线与的交点的极径为,射线与的交点的极径为所以.
(24)解(Ⅰ)当时,可化为由此可得或故不等式的解集为或Ⅱ由得此不等式化为不等式组或即或因为,所以不等式组的解集为由题设可得=,故。