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绝密★启用前解密时间2006年6月7日1700【考试时间6月7日15:00—17:00】2006年高等学校招生全国统一考试(重庆卷)5.考试结束后,将试题卷和答题卡一并交回参考公式如果事件A、B互斥,那么.如果事件A、B相互独立,那么.如果事件A在一次试验中发生的概率是P,那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率.
一、选择题本大题共10小题每小题5分共50分.在每小题给出的四个备选项中只有一项是符合题目要求的.
(1)已知集合U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,4,5,7},B={3,4,5},则(CUA)∪(CUB)=(A){1,6}(B){4,5}(C){2,3,4,5,7}(D){1,2,3,6,7}
(2)在等差数列{an}中,若a4+a6=12,Sn是数列{an}的前n项和,则S9的值为(A)48(B)54(C)60(D)66
(3)过坐标原点且与圆相切的直线的方程为(A)y=-3x或(B)y=3x或(C)y=-3x或(D)y=3x或
(4)对于任意的直线l与平面α,在平面α内必有直线m,使m与l(A)平行(B)相交(C)垂直(D)互为异面直线
(5)若的展开式中各项系数之和为64,则展开式的常数项为(A)-540(B)-162(C)162(D)540
(6)为了了解某地区高三学生的身体发育情况,抽查了该地区100名年龄为
17.5岁-18岁的男生体重(kg),得到频率分布直方图如下根据上图可得这100名学生中体重在[
56.
564.5]的学生人数是(A)20(B)30(C)40(D)50
(7)与向量的夹角相等且模为1的向量是(A)(B)或(C)(D)或
(8)将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习,每班至少1名,最多2名,则不同的分配方案有(A)30种(B)90种(C)180种(D)270种
(9)如图所示单位圆中弧AB的长为表示弧AB与弦AB所围成的弓形面积的2倍,则函数的图象是
(10)若abc0且则的最小值为(A)(B)(C)(D)
二、填空题本大题共6小题,每小题4分,共24分.把答案填写在答题卡相应位置上.
(11)复数的值是_______.
(12)_______.
(13)已知_______.
(14)在数列中若(n≥1)则该数列的通项_______.
(15)设函数有最大值则不等式的解集为_______.
(16)已知变量满足约束条件若目标函数(其中)仅在点
(31)处取得最大值,则a的取值范围为_______.
三、解答题本大题共6小题,共76分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(17)本小题满分13分设函数ωx+sinωxcosωx+a(其中ω0a∈R)且的图象在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为.(Ⅰ)求ω的值;(Ⅱ)如果在区间上的最小值为求a的值.
(18)本小题满分13分某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第
18、
19、20层可以停靠.若该电梯在底层载有5位乘客且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为用表示这5位乘客在第20层下电梯的人数求(Ⅰ)随机变量的分布列;(Ⅱ)随机变量的期望.
(19)本小题满分13分如图在四棱锥中底面ABCD为直角E、F分别为PC、CD的中点.(Ⅰ)试证平面BEF;(Ⅱ)设且二面角的平面角大于30°求k的取值范围.
(20)本小题满分13分已知函数其中为常数.(Ⅰ)若讨论函数的单调性;(Ⅱ)若且试证.
(21)本小题满分12分已知定义域为R的函数满足.(Ⅰ)若求;又若;(Ⅱ)设有且仅有一个实数使得求函数的解析表达式.
(22)本小题满分12分已知一列椭圆n=12…若椭圆Cn上有一点Pn使Pn到右准线ln的距离dn是|PnFn|与|PnGn|的等差中项其中Fn、Gn分别是Cn的左、右焦点.(Ⅰ)试证(n≥1);(Ⅱ)取并用Sn表示△PnFnGn的面积试证(n≥3).2006年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷)数学试题卷(理工农医类)答案
一、选择题每小题5分,满分50分.
(1)D
(2)B
(3)A
(4)C
(5)A
(6)C
(7)B
(8)B
(9)D
(10)D
二、填空题每小题4分,满分24分.
(11)
(12)
(13)
(14)
(15)(2,3)
(16)a1
三、解答题满分76分.
(17)(本小题13分)解(Ⅰ)依题意得解得(Ⅱ)由(Ⅰ)知,又当时,故,从而上取得最小值因此,由题设知.(18分)(本小题满分13分)解法一(Ⅰ)ξ的所有可能值为0,1,2,3,4,
5.由等可能性事件的概率公式得从而ξ的分布列为ξ012345P(Ⅱ)由(Ⅰ)得ξ的期望为解法二(Ⅰ)考察一位乘客是否在第20层下电梯为一次试验,这是5次独立重复试验.故即由此计算ξ的分布列如解法一.(Ⅱ)解法三(Ⅰ)同解法一或解法二(Ⅱ)由对称性与等可能性,在三层的任一层下电梯的人数同分布,故期望值相等.即从而
(19)(本小题13分)解法一(Ⅰ)证由已知且∠DAB为直角,故ABFD是矩形,从而CD⊥BF.又PA⊥底面ABCDCD⊥AD故由三垂线定理知CD⊥PD.在△PDC中E、F分别为PC、CD的中点,故EF//PD,从而CD⊥EF,由此得CD⊥面BEF.(Ⅱ)连接AC交BF于G,易知G为AC的中点,连接EG,则在△PAC中易知EG//PA,又因PA⊥底面ABCD,故EG⊥底面ABCD.在底面ABCD中,过G作GH⊥BD,垂足为H,连接EH,由三垂线定理知EH⊥BD.从而∠EHG为二面角E—BD—C的平面角.设AB=A,则在△PAC中,有以下计算GH,考虑底面的平面图(如答
(19)图2),连结GD,因故在△ABD中,因AB=a,AD=2a,得而,从而得因此由k0知∠EHG是锐角,故要使∠EHG30°,必须解之得,k的取值范围为解法二(Ⅰ)如图,以A为原点AB所在直线为x轴AD所在直线为y轴AP所在直线为z轴建立空间直角坐标系,设AB=a,则易知点A,B,C,D,F的坐标分别为A(0,0,0),B(a,0,0),C(2a,2a,0),D(0,2a,0),F(a,2a,0)从而,设PA=B,则P(0,0,b),而E为PC中点,故.从而由此得CD⊥面BEF.(Ⅱ)设E在xOy平面上的投影为G过G作为GH⊥BD垂足为H由三垂线定理知EH⊥BD.从而∠EHG为二面角E—BD—C的平面角.由.设,则,由,即
①又因,且的方向相同,故,即
②由
①②解得.从而.由k0知∠EHG是锐角,由∠EHG30°,得,即故k的取值范围为
(20)(本小题13分)解(Ⅰ)求导得因有两根;令;又令,故当是增函数;当是增函数;但当是减函数.(Ⅱ)易知,因此所以,由已知条件得因此解得.
(21)(本小题12分)解(Ⅰ)因为对任意,所以又由,得若(Ⅱ)因为对任意,又因为有且只有一个实数所以对任意,在上式中令又因为若,即但方程有两个不同实根,与题设条件矛盾,故若=1则有易验证该函数满足题设条件.综上,所求函数为
(22)(本小题12分)证(Ⅰ)由题设及椭圆的几何性质有.设,则右准线方程为因此,由题意d应满足即即从而对任意(Ⅱ)设点Pn的坐标为及椭圆方程易知因的面积为,从而令,由得两根从而易知函数内是增函数,而在内是减函数.现在由题设取是增数列,又易知,故由前已证,知S1S2,且.⌒⌒1+2i3+i3。