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2007年北京市数学高考试题分析
一、试题总体印象坚持重点内容重点考查,坚持考查基础知识、基本技能和基本方法;“新颖的格局”体现在重点内容常考常新,体现在与新课程标准的衔接,试题呈现方式不拘一格,能够有效区分考生的适应能力.试题注重深化能力立意,积极稳妥地推进改革创新,并兼顾了数学知识、方法、思维、应用和数学能力的考查,坚持“平稳过渡,稳中求新”,体现了命题组尊重学生的个性,关注学生的整体发展,强化素质教育正确导向的命题思想,使试题具有较高的区分度和适当的难度.概括起来,今年试题的特色为“立足基础、重点突出、立意新颖、甄别能力”.
二、试题主要特点
1、保持稳定,依纲靠本试题依据《2007年北京卷考试说明》的相关要求,继续探索具有首都特色的命题思路.试题注重对数学双基、数学能力的考查;对文科试题注意控制难度,在试卷的呈现方式等方面做了进一步的探索,这将对北京市的教育教学改革起到积极的指导作用.这份高考试题与前两年夏季试题相比,试题在命题思路上总体保持了稳定.基础与能力的考查并重,注重创新,兼顾对数学基础知识、基本方法、数学理性思维、数学应用和数学素养的考查.试题有利于引导中学数学教学要克服“题海战术”和“大运动量”重复训练的倾向,向全面提高学生的数学素质的方向发展.试卷中的一些题目来源于教材,如理科19题和现行高一教材第90页例1类似,选择、填空题中的很多题目在教材中也能找到“原型”.
2、覆盖全面,重点突出这份高考试题,对数学基础知识、基本技能、基本思想和方法进行了比较全面的考查,重要章节的知识内容几乎无一遗漏,且各章内容所占比例与教学课时比例大体相当.同时,对重点内容进行重点考查,力争体现数学学科特点(高度抽象、逻辑严密、应用广泛).试题双向细目表考试内容考点理科文科考试内容考点理科文科集合简易逻辑集合1215不等式性质与证明7简易逻辑37解不等式1215函数映射1414含绝对值不等式1215函数1920反函数22直线与圆直线1719单调性88线性规划66奇偶性88曲线与方程1719指数函数22圆1719对数函数8圆锥曲线椭圆194函数的应用1920双曲线1719数列数列10,1510,16抛物线820等差数列及前n项和1516立体几何空间直线和平面3,167,17等比数列及前n项和1516多面体1617球三角函数三角函数11排列组合排列组合55,18周期性3二项式二项式定理两角和与差2概率与统计概率1818二倍角公式1313随机变量18正、余弦定理1112统计18极限数学归纳法15y=Asinωx+φ的图象3极限导数导数199解斜三角形1112导数应用1920平面向量向量基本运算4复数复数的运算9向量坐标运算11创新题20平移
43、能力立意,面貌清新《考试说明》明确要求“能阅读、理解对问题进行陈述的材料”,“能选择有效的方法和手段对新颖的信息、情境和设问进行独立的思考与探究,使问题得到解决.”在北京卷的试题中,遵循“背景公平、控制难度”的要求,适当编制了有新意、特色的问题,着重考查以思维能力为核心的各种数学能力,有效地考查了学生分析和解决问题的能力,考查了学生的应变能力,对后期的复习和教学起到良好的导向作用.如理科试题
13、
18、
19、20题;文科试题
13、20等题目.同时试卷的呈现方式不拘一格,在遵循难度从低到高的原则上,解答题的排列顺序适当变化,显现新颖的“面貌”,同时对于考生适应新的情境提出较高要求.
4、适度综合,注重层次这份试题在对基础知识考查的同时,注重学科的内在联系和知识的综合对能力的考查强调探究性、综合性、应用性;在强调综合性的同时,注重试题的层次性,合理调控试题的综合难度.试题注意对综合性的要求,每个试题考查的知识点通常在2个以上,并坚持多角度、多层次的考查.此外,选择、填空、解答三种题型的试题,起点难度都较低,题目不偏不怪、平稳亲切,并且梯次渐进,符合北京卷特色.这样做不仅有利于学生水平的正常发挥,也有利于对各分数段考生的区分.
5、文理有别、实事求是根据北京市文理学生的实际,试题坚持文理有别并适当加大比例选择题中只有3个题文、理科完全相同,2个题目文科降低了难度,3个题目完全不同.填空题只有2个题文、理科完全相同,2个题目文科降低了难度,2个题目完全不同.解答题只有2个题文、理科完全相同,1个题目文科降低了难度,3个题目完全不同.文科试题在抽象思维、字母运算、空间想象、解决问题等能力方面,与理科相比都适当降低了难度.这样做有利于激发文科学生学习数学的兴趣,促进文科学生全面发展.
三、试题主要解法及分析1.选择题
(1)(文1理1)已知,那么角是A.第一或第二象限角B.第二或第三象限角C.第三或第四象限角D.第一或第四象限角命题意图考查三角函数的定义、象限角及其三角函数值的符号以及同角三角函数的关系.正确答案C解法1因为,所以,即是第三或第四象限角.解法2讨论:
①cos0且tan0,则是第三象限角,
②cos0且tan0,则是第四象限角.
(2)(文2理2)函数的反函数的定义域为A.B.C.D.命题意图考查函数与反函数的定义及其相互关系、指数函数单调性.正确答案B解法1的定义域和的值域相同在上单调递增..的定义域为.解法2反函数定义域等于原函数的值域,因为函数fx为增函数所以x0时fx1x=2时fx=9所以,.
(3)(理3文7)平面//平面的一个充分条件是A.存在一条直线,//,//B.存在一条直线,,//C.存在两条平行直线,,,//,//D.存在两条异面直线,,,//,//命题意图本题考查空间直线和平面的位置关系、两个平面平行的判定方法以及空间想象能力.正确答案D参考解法本题从题干和选择支对照,容易想到举出如图所示的反例依次排除答案A、B、C,从而选D.对答案的证明如下在直线b上任取一点A,经过点和直线a的平面与β相交于直线c∵a//β∴a∥c从而,c∥.∵a与b异面,∴b、c为平面β内的两条相交直线,又b∥且c∥.∴∥β.
(3)(文)函数的最小正周期是A.B.C.D.命题意图考查运用三角函数和角或差角公式进行三角变换以及周期的求法.正确答案B解法.
(4)(理)已知是所在平面内一点,D为BC边中点,且,那么A.B.C.D.命题意图考查平面向量的加法的平行四边形法则以及向量应用---定比分点.正确答案A解法1由答案容易猜测,O为的定比分点,因为D是BC的中点且,所以,,即.解法2如图,利用向量的加法的几何意义,可知D是OE的中点,所以有.
(4)(文)椭圆的焦点为,两条准线与轴的交点为,若,则该椭圆离心率的取值范围是A.B.C.D.命题意图考查椭圆的几何性质和解不等式的能力.正确答案D解法不等式可转化为,即,所以,又e1,因此
(5)(理)记者要为5名志愿者和他们帮助的2名老人拍照,要求排成一排,2位老人相邻但不排在两端,不同的排法有A.1440种B.960种C.720种D.480种命题意图考查两个计数原理和利用“捆绑法”求解有约束条件的排列问题.正确答案B解法先排5名志愿者,有种排法;2位老人相邻,用捆绑法,故2位老人的站法有种;2位老人插入5名志愿者中间,且不排在两端,故位置有个;运用乘法原理,总共的排法有种.
(5)(文)某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成,其中4个数字互不相同的牌照号码共有A.个B.个C.个D.个命题意图考查计数原理及排列组合知识正确答案A
(6)(理)若不等式组表示的平面区域是三角形,则的取值范围是A.B.C.D.或命题意图本题考查线性规划的有关知识和形数转化的数学思想方法.正确答案D解法在平面直角坐标系中作出表示的平面区域,平移直线,使分别经过和点,分别求出对应的.当时,方程组无解,无区域;当时,区域是点;当时,平面区域是三角形;当时,平面区域是四边形;当时,平面区域是三角形;故的取值范围是或.
(6)(文)若不等式组表示的平面区域是一个三角形,则的取值范围是A.B.C.D.或正确答案C
(7)(理)如果正数满足,那么A.,且等号成立时的取值唯一B.,且等号成立时的取值唯一C.,且等号成立时的取值不唯一D.,且等号成立时的取值不唯一命题意图考查均值不等式的应用及特殊与一般数学方法的应用.正确答案A解法∵正数满足,,等号当且仅当a=b=2,c=d=2时取到,且等号成立时的取值唯一.
(8)(理)对于函数
①,
②,
③,判断如下三个命题的真假命题甲是偶函数;命题乙在上是减函数,在上增函数;命题丙在上是增函数,能使命题甲、乙、丙均为真的所有函数的序号是A.
①③B.
①②C.
③D.
②命题意图考查基本初等函数(对数函数、二次函数和三角函数)的图像和性质、简易逻辑以及分析问题和解决问题的能力.正确答案D解法对于函数
①,设,故,故函数
①不能使命题丙为真.对于函数
③,,或-1故函数
③不能使命题甲为真.对于函数
②,容易证明使命题甲、乙、丙均为真.
(8)(文)对于函数
①,
②,
③,判断如下两个命题的真假命题甲是偶函数;命题乙在上是减函数,在上增函数;能使命题甲、乙均为真的所有函数的序号是A.
①②B.
①③C.
②D.
③正确答案C教学建议2007年北京高考数学试题选择题体现了以下几个方面的特点
①注重考查数学的基本概念与基本方法;
②注重对数学能力的考查;
③在考查知识与能力的同时渗透对数学思想方法、数学语言相互转化及数学应用能力的考查;
④选择题难度较低,使学生解答之后有成就感,有利于稳定考生紧张情绪,增强做好整份试卷的信心.2008年高三数学复习建议注意两个问题一是要继续注意对基础知识与基本方法的复习,不要去抠一些偏难和怪异的选择和填空试题;二是要培养学生的阅读理解能力、数形转化能力、逻辑分析能力,能对所给信息进行提取和加工,以适应解答创新性选择试题的要求.
(二)填空题
(9).命题意图本题考查了复数的四则运算,1+i2=2i所以原式等于,分子分母同乘i,可得正确答案.-i.
(10)若数列{an}的前n项和Sn=n2-10nn=123….,则此数列的通项公式为_;数列{nan}中数值最小的项是第_项.命题意图本小题考查了求数列的通项公式的常用方法,an=Sn-Sn-1n≥2用函数的观点理解数列nan=2n2-11n,视为一元二次函数求最值问题.正确答案
3.an=Sn-Sn-1=2n-11n≥2当n=1时a1=-9也符合通项;一元二次函数y=2x2-11x开口向上,对称轴为x=
2.75所以n=3时值最小.
(11)在ΔABC中,若tanA=C=
150.,BC=1,则AB=_.命题意图本题考查了三角形中同角三角函数关系、正弦定理等相关知识.正确答案.由tanA=知cosA=sinA=由正弦定理知AB=
(12)已知集合A={x│|x-a|≤1},B={x│x2-5x+4≥0}.若A∩B=,则实数a的取值法范围是_.命题意图本题考查了集合运算与不等式的基本知识.正确答案a
23.A={x│|x-a|≤1}={x│-1+a≤x≤1+a}B={x│x2-5x+4≥0}={x│x≤1或x≥4},若A∩B=,只需满足条件-1+a1且1+a4,可得a
23.
(13)2002年在北京召开的国际数学家大会,会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的.弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图),如果小正方形面积为1,大正方形的面积为25,直角三角形中较小的锐角为,那么的值等于_.命题意图本题考查了几何图形中边角之间的数量关系和三角函数基本问题.正确答案.设直角三角形两边分别为xyxy知x=3y=4cos=从而=14.已知函数,分别由下表给出123131123321则的值为;满足的的值是.命题意图本题考查了映射的基本概念、映射的三要素.正确答案1,
2.g1=3,f[g1]=f3=1f[g1]=1,g[f1]=3,f[g2]=3,g[f2]=1,f[g3]=1,g[f3]=3,故满足f[gx]g[fx]的x的值是
2.附文史类填空题
(9)______.命题意图本题考查了导数的基本运算.正确答案
3.,,
(11)已知向量,若向量,则实数的值是______.命题意图本题考查了向量的垂直关系和向量的坐标运算.正确答案.,所以,.考生的主要问题从答题情况看,理科的
(11)(文科的12)及
(13)题考生答得不好,甚至文科的
(12)题从难度系数来看已经成为难题这道题重点考查的是“正弦定理”,但在已知条件中,给出的是的正切值,而不是正弦值,这就需要考生要清楚将正切值转化为正弦值的基本思路和方法从答题情况看,多数考生没有掌握这一基本思路和方法教学建议填空题的练习要以基本知识、基本方法和基本技能为主,重视通性通法的落实
(三)解答题
(15)(理15,文16)(本小题共13分)数列中,,(是常数,),且成公比不为的等比数列.(I)求的值;(II)求的通项公式.命题意图考察三个数成等比数列的充要条件,等差数列的求和,由递推关系求数列的通项公式.正确答案解:Ⅰ因为成等比数列所以解得或当时不符合题意舍去故Ⅱ当时由于……所以又故当时上式也成立.所以其它解法Ⅰ的其它解法成的等比数列,.又,即解得(舍),.Ⅱ的其它解法由,有所以..又满足上式,故的通项公式为用归纳法猜出,证:当时命题成立.假设时命题成立.即则当时,即时命题也成立.综上对于任意,都有成立.考生的主要问题
1.计算能力差如由得出或或其它.
2.概念不清如由是常数,舍去的原因不正确.又如由得出数列是公差为的得等差数列.在迭加法后得出的求和应该是等差数列求和,不少学生做成了等比数列求和,导致结果错误.
3.严谨性差超过半数的学生没有验证满足.个别学生对未舍.教学建议由以上问题,可以看出转化的数学思想在数列问题中的应用.学生应当能够将非等差、等比数列的问题转化为等差、等比数列的问题,从而解决数列中的通项构造及其它问题.要重视对数列基本特征的认识和理解,这是求数列通项的前提,教师在讲解等差、等比数列时,要向学生提出数列中的后一项与前一项的差(商)不为常数,是一个与有关的代数式时,如何求出数列通项的问题.要将数列的递推公式合理地变形、转化为已知的特殊数列,运用恰当的方法(如迭加法、迭乘法等)求其通项.同时也要注意函数思想在解决数列问题中的应用从映射、函数的观点来看,数列可以看作是一个定义域为正整数集(或它的有限子集)的函数,数列的通项公式就是相应函数的解析式.如果认识到这个高度,学生就不会忘记验证是否满足.在教学中,要注意对典型方法、典型题型的归纳和梳理,从而有效地提高学生解决数学问题的能力,达到培养学生数学思维深刻性的目的.
(15)(文)记关于的不等式的解集为,不等式的解集为.(I)若,求;(II)若,求正数的取值范围.命题意图本题考查不等式基本解法、集合的运算和简单分类讨论思想.正确答案解(I)由,得.(II).由,得,又,所以,即的取值范围是.第一问典型错误[典型错误一](I)由得解得所以不等式解集[典型错误二](I)由得解得[典型错误三](I)由得解得[典型错误四](I)由得[典型错误五](I)由得还有在集合表示法上的一些错误和不规范记法,比如,,,等.第二问典型错误[典型错误一](II).由,得,又,所以(多一个等号)[典型错误二](II)由于,所以且,即解得点评此处用特殊值法道理表达不充分,实际上稍加说明不失为优秀解法,表达如下(II)作函数,由于,因此问题转化为函数在恒成立,求的取值范围.而,注意到时函数为增函数,因此只需即可即,从而解得教学建议应多重视基础知识和基本技能的培养,不要赶进度而忽略第一轮基本知识的复习,可以不要第二轮复习而直接进行综合训练,讲练结合,学生收获可能更好.
(16)(理)(本小题共14分)如图,在中,,斜边.可以通过以直线为轴旋转得到,且二面角是直二面角.动点的斜边上.(I)求证平面平面;(II)当为的中点时,求异面直线与所成角的大小;(III)求与平面所成角的最大值.命题意图正确答案解法一(I)由题意,,,∴是二面角的平面角.又∵二面角是直二面角,∴,又∵,∴平面,又平面,∴平面平面.(II)作,垂足为E,连结(如图),则,∴是异面直线与所成的角.∵,,∴.在中,.又,∴在中,,∴异面直线与所成角的大小为.(III)由
(1)知,平面,∴是与平面所成的角,且.当最小时,最大,这时,,垂足为,,,∴与平面所成角的最大值为.解法二(I)同解法一.(II)建立空间直角坐标系,如图,则∴,∴,∴异面直线与所成角的大小为.(III)同解法一.其它解法解法三(I)建立空间直角坐标系,如图(同上),则,∴∵,又∵∴平面∴平面,又平面,∴平面平面.(II)同解法二.(III)设动点D其中,则,由
(1)知,平面.∴是平面的法向量.设与平面所成角为,则,.当时,取得最大值.则与平面所成角的最大值为.解法四(I)同上(II)设异面直线与所成角为,∵在平面内的射影为,∴在中,,在中,,∴.∴异面直线与所成角的大小为.(III)由解法一可知,是与平面所成的角,且设BD,OD.其中在中,∴当时,取得最大值.∴与平面所成角的最大值为.文科题目如图,在中,,斜边.可以通过以直线为轴旋转得到,且二面角是直二面角.是的中点.(I)求证平面平面;(II)求异面直线与所成角的大小.参看理科试题前两问解法学生的主要问题
①概念混乱,知识体系不完善.第(I)问证明面面垂直,不少同学不证线面垂直,直接从线线垂直跳到面面垂直.第(II)问不少同学认为是异面直线成角,让人不知所云.
②思维模式化,灵活性较差.这次(I)(III)问中D点的不确定就给这部分考生带来了致命的灾难.
③书写不规范,符号运用不准确.如平面.教学建议上述问题的出现,基于不同的原因.基础知识薄弱的学生需要在知识体系上下足够的功夫,立体几何是目前高考中得分的重要部分,通过一定的训练这部分分数是能够保证的.此外做题不能模式化,不少学生只会用向量法解决一些程序化的题型,一旦题型发生变化便手足无措.这也给我们的教学过程提出了一些警示,不能只教学生一些固定的题型,要提高学生思考分析问题的能力.高考不可能完全符合我们的想法,在已有的基础上学会举一反
三、以不变应万变才能在高考中立于不败之地.
(17)(理17,文19)矩形的两条对角线相交于点,边所在直线的方程为,点在边所在直线上(I)求边所在直线的方程;(II)求矩形外接圆的方程;(III)若动圆过点,且与矩形的外接圆外切,求动圆的圆心的轨迹方程.命题意图本题考查了平面解析几何中的基本的方法及内容,如直线的方程、两条直线的位置关系、圆的方程、圆和圆的位置关系等,重点突出了用代数方法研究几何问题这一解析几何的基本思想方法.本题是一道中等难度的试题.正确答案(I)由已知,因为边所在直线的方程为,且,所以直线的斜率为.又因为点在直线上,所以边所在直线的方程是,即(II)解法一由解得点的坐标是,因为矩形的两条对角线相交于点,所以是矩形外接圆的的圆心.又,所以矩形外接圆的方程为解法二因为矩形的两条对角线相交于点,所以是矩形外接圆的的圆心.且点到直线的距离,点到直线的距离.则矩形外接圆的的半径为,所以矩形外接圆的方程为解法三由解得点的坐标是,因为矩形的两条对角线相交于点,所以是矩形外接圆的的圆心,线段是这个圆的直径.由是线段的中点可得点的坐标为,则以线段为直径的圆的方程为,即(III)解法一因为动圆过点,所以是该圆的半径,又因为动圆与圆外切,所以,即故点的轨迹是以、点为焦点,实轴长为的双曲线的左支.因为实半轴长,半焦距,所以需半轴长,从而动圆的圆心轨迹方程为(≤)解法二设动圆的圆心为,因为动圆过点,所以是该圆的半径,又因为动圆与圆外切,所以,所以即,化简得(≤),即为所求的圆心的轨迹方程考生的主要问题考生在答题过程中容易出现以下几种错误
①审题不认真如将(I)中所求直线看成直线,由已知条件直接用两点式求出错误的直线方程;错把(III)中所求轨迹看作是求圆的方程等.
②先入为主,主观臆断如文科答卷中出现最多的问题,大多数同学由图中观察出点在坐标轴上,从而求出点的坐标,而根本没有用到题目给出的条件;或是将(I)中的错认为是∥,从而得出直线的斜率为,求出错误的直线方程;还有将(II)中计算出的错认为是圆的直径,得出错误的圆的方程;另外将(III)中所求的轨迹武断的认为是圆、椭圆、抛物线等也是常见的错误,极易得出错误的结论.
③数学基本功及计算能力问题如将(I)中的直线的斜率错计算成或,得出错误的方程,进而导致后面的问题出现错误答案,此类错误极为常见;在(II)的计算过程中求错了点的坐标,导致后面的计算错误;由于记错了圆的标准方程形式,而将矩形外接圆的方程错写为或;由于对两圆外切这一几何性质认识不足而导致无法求出(III)中的轨迹方程;得到等式或时不能想到双曲线的定义形式;不能正确的判断出轨迹的形状是双曲线的左支,在方程中没有正确的表述出的取值范围等教学建议
①重视基本思想方法的渗透数学的基本思想方法是学生在解题时最常用的,但也是最容易被忽视的.本题的解题过程中只是用到了解析几何最基本的思想方法,但是由于学生将问题复杂化而产生的错误不在少数.如果能在日常教学中不断的渗透基本的数学思想方法,让学生面对数学问题时能够由浅入深、逐渐递进的选择合适的工具,这对培养良好的数学思维以及提高研究问题的能力都是大有帮助的.
②解析几何教学方面形→数如本题(I)中的求直线的过程中,将垂直关系转化为斜率的关系、将点在直线上转化为直线的点斜式方程,用代数的形式来研究几何问题时解析几何的核心思想,必须让学生熟练掌握各种不同曲线的方程的形式,这是进一步的研究各种曲线的性质的先决条件.数→形如本题(II)求圆的方程的过程中,可以通过图形的特点很容易的求出圆的圆心和半径,从而写出圆的方程;在(III)求轨迹方程的过程中,如果能够由图形特点判断出轨迹迹的形状(如解法一),则解题过程会大幅度简化,否则则会陷入繁琐的计算中(如解法二).利用曲线的几何性质解题也是解析几何的重要手段,往往会简化解题过程,更能揭示问题的本质.必须让学生熟悉各种曲线的几何性质,做到融会贯通,并进一步的学会用图形的方法解决其他数学问题.
(18)理某中学号召学生在今年春节期间至少参加一次社会公益活动(以下简称活动)该校合唱团共有100名学生,他们参加活动的次数统计如图所示(Ⅰ)求合唱团学生参加活动的人均次数;(Ⅱ)从合唱团中任选两名学生,求他们参加活动次数恰好相等的概率;(Ⅲ)从合唱团中任选两名学生,用表示这两人参加活动次数之差的绝对值,求随机变量的分布列及数学期望参加人数5040302010活动次数123命题意图本题是一个具有实际背景的应用题,主要考查的知识点有认识统计图表;平均数的求法;用排列组合的基本公式计算等可能性事件的概率;求离散型随机变量的分布列.求离散型随机变量的期望值.正确答案由图可知,参加活动1次,2次和3次的学生人数分别为10,50和
40.(Ⅰ)该合唱团学生参加活动的人均次数为(Ⅱ)从合唱团中任选两名学生,他们参加活动次数恰好相等的概率为(Ⅲ)从合唱团中任选两名学生,记“这两人中一人参加1次活动,另一人参加2次活动”为事件A,“这两人中一人参加2次活动,另一人参加3次活动”为事件B,“这两人中一人参加1次活动,另一人参加3次活动”为事件C.易知的分布列012P的数学期望=(Ⅰ)问解法二设参加活动的次数为,的取值为1,2,3,则的分布列如下123P考生的主要问题(Ⅰ)问中的问题有
①不能正确认识图表,把参加1次活动的人数为10人理解为第一次参加活动的人数为10人,从而得出人均参加一次的错误结论.
②不理解平均数的概念,认为次数一定要取整数,于是将
2.3取近似值
2.
③在解法2中混淆期望和方差的意义,用方差来求平均值.(Ⅱ)问中的问题有1错误的选择了概率模型,选取了n次独立重复试验中恰好发生k次的概率模型.2排列和组合数的计算混淆,计算不够准确.3用排列组合的基本公式计算等可能概型中事件的概率时,所选择事件不具等可能性,即分子分母是否有序不统一.(Ⅲ)问中的问题有1书写不规范;2求时在分子上多乘了,这样所表示的基本事件为选出两位同学并排好顺序,而分母表示的基本事件为选出两位同学不排序.这样分子分母所表示的基本事件不具等可能性,所以出现错误.也有同学分母表示的基本事件是有序的,而分子无序,出现同样的问题;3的取值忽略了0,或多出3;4期望的公式记忆错误,计算不够准确.教学建议1加强对统计图表的正确认识和理解方面的训练.统计学分描述统计学和推断统计学,在中学阶段,初步认识和了解描述统计学的知识是主要任务,理解和应用各种统计图表是其中的主要内容之一.2加强对各种概率模型的辨识能力的训练.比如分清抽样是放回抽样还是不放回抽样,在求等可能概型的事件的概率时,一定要注意两点等可能概型中事件的概率计算公式中的分子和分母必须在相同的模型下考虑,并且考虑的所有基本事件具有等可能性.3在计算随机变量的分布列和期望时,首先要明确的所有可能的取值,不能多也不能少.同时要强调求完分布列后一定要验证“取各个可能值的概率和为1”.在计算期望时要做到公式的准确无误及计算的准确性.
(18)(文)某条公共汽车线路沿线共有11个车站(包括起点站和终点站).在起点站开出的一辆公共汽车上有6位乘客假设每位乘客在起点站之外的各个车站下车是等可能的.求:Ⅰ这6位乘客在互不相同的车站下车的概率;Ⅱ这6位乘客中恰有3人在终点站下车的概率.命题意图主要考查等可能性事件概率,n次独立重复实验恰发生k次的概率(或条件概率)等知识,以概率为载体,同时考察记数方法的应用,考查了学生综合运用知识,分析问题,选用模型,解决问题的能力.正确答案Ⅰ设这6位乘客在互不相同的车站下车的概率为P解法一(等可能性事件概率)解法二(条件概率)Ⅱ设这6位乘客中恰有3人在终点站下车的概率P解法一(等可能性事件概率)解法二(n次独立重复实验恰发生k次的概率)依题意可知,每位乘客在终点站下车的概率均为所以,解法三(等可能性事件概率)说明解法三与解法一本质上是同一方法,只是在记数方法上选择了较复杂的计算方式.考生的主要问题
①审题不清,没有理解11个车站中包括起点站,盲目求解.如错解用或或或计算“这6位乘客在互不相同的车站下车的概率”错解用计算“这6位乘客中恰有3人在终点站下车的概率”
②弄不清楚基本事件,对基本事件的记数方法选择不当,同时,不能很好的理解和兼顾等可能性事件概率的计算方法中m与n的匹配性.如错解用或或或计算“这6位乘客在互不相同的车站下车的概率”错解用或或或计算“这6位乘客中恰有3人在终点站下车的概率”错解用或计算“这6位乘客中恰有3人在终点站下车的概率”错解用计算“这6位乘客中恰有3人在终点站下车的概率”
③对概率概念不清,如不少学生直接用或等计算结果作为概率[教学建议]1概率这一部分教学中,应利用大量的具体实例,让学生理解基本事件,等可能事件,m与n的匹配性;2对概率或记数问题的讲解中,应重在分析对题目的理解,对事件的不同角度的正确表述,以及对一些较复杂事件的基本拆分方法;3在记数问题的教学中,应让学生对一些基本模型掌握清楚,如有重复选取,不重复有顺序选取,不重复无顺序选取等等.
(19)(理)如图,有一块半椭圆形钢板,其半轴长为,短半轴长为,计划将此钢板切割成等腰梯形的形状,下底是半椭圆的短轴,上底的端点在椭圆上,记,梯形面积为.(I)求面积以为自变量的函数式,并写出其定义域;(II)求面积的最大值.命题意图本题表述简练,是一道解析几何、函数、导数的综合题,将考查的多个知识点有机地融合在一起.考查了考生对于相关知识的处理的基本方法、基本技能的掌握情况.同时,此题由于没有建立坐标系,自己设定变量x,也对考生在思维严谨、书写规范、数学能力等方面提出了较高要求.正确答案解(Ⅰ)依题意,以AB的中点O为坐标原点建立直角坐标系(如图)则点C的横坐标为x,点C的纵坐标y满足方程解得(0xr)S==其定义域为{x∣0xr}(Ⅱ)记fx=0xr则令其它解法方法一(Ⅰ)同上(Ⅱ)S=方法二(Ⅰ)同上(Ⅱ)方法三(Ⅰ)同上(Ⅱ)设则设方法四(Ⅰ)以AB所在直线为X轴,AB中点O为原点建立直角坐标系,设F为椭圆的焦点,梯形高为h,DC交y轴于M依题意,椭圆半长轴长为a=2r短半轴长b=r,半焦距c=离心率e=y=D点到准线距离为-h根据椭圆定义得所以又S==(0xr)(Ⅱ)同上考生的主要问题
①没有建立直角坐标系,或坐标系与方程不一致
②没有根据实际问题写出x0y或定义域写为{x∣0xr}
③Sx的导函数求错
④没有研究x在左右的导数的符号教学建议
①落实三基基本知识、基本方法、基本能力.
②注意细节如坐标系的建立,实际问题变量的取值范围.
③书写规范表述要清楚,如换元一定要换字母且前后不矛盾.
④普遍联系在知识的交汇点上做题,可一题多解,也可多题一解,主意题后的总结与反思.
⑤培养品质此题虽是倒数第二题,但并不是一道难题,一部分学生没有得到一般的分数,有时因为以上四点,还有的因为信心不足,没有勇气继续做下去.
(20)(理)命题意图本题是今年高考的压轴题,有助于高校选拔新生和中学实施素质教育.本题考查了集合的概念、表示及有关的术语、符号.并以集合为载体,结合排列、组合和映射的知识,重点考察对知识的理解和应用.特别是对知识的综合与灵活应用.较好地考察了学生理性思维的广度和深度及进一步学习的潜力.正确答案(I)解集合不具有性质P.集合具有性质P,其相应的集合S和T是S=,T=.(II)证明首先,由A中元素构成的有序数对共有个.因为从而,集合T中的元素个数最多为.(III)解
①可见,S中的元素个数不多于T中的元素个数,即
②可见,T中的元素个数不多于S中的元素个数,即由
①、
②可知,本题解法(II)解因为T=,集合A具有性质P,则所以对A=中任意一个元素都可与个元素构成形如的有序数对,即(III)解对任意,且若考生的主要问题
①由于本题综合性强,题目中各相关因素的关系复杂,对阅读理解能力及分析、解决问题的能力要求高,加上考试时间有限,不少考生放弃了本题.2部分考生对集合的概念、集合的语言运用不当,将集合S写成.或有考生思维欠严谨,丢掉集合中的一个元素.3第三问是一个开放型问题,关键要证明S的映射均为单射,即论述不能多对一,能完成的学生寥寥无几.事实上,也只有认真阅读、深入思考,且对题目中各相关因素的关系把握准确、理性思维水平较高的的情况下才会有好的建树.所以此题体现了能力立意,较好地考察了学生可持续发展的能力和进一步学习的潜力,从阅卷看,本题区分度较好.教学建议
①关注数学的学科特点、关注数学的实质,而不是题型和解题模式,要教学生用数学的概念思考、分析、解决问题.重视数学思维的训练,促进学生理性思维的发展.2关注高考命题方向,研究高考.重视对数学概念、定理、公式法则的理解和灵活应用;重视概念的形成过程及公式、定理推导过程的教学.
③给学生留出思考和体验的时间与空间,重视对解题后的反思,使解题思维理性化.
(20)(文)已知函数与的图像相交于不同两点.分别是的图像在两点的切线,分别是与轴的交点.(Ⅰ)求的取值范围;(Ⅱ)设为点的横坐标,当时,写出以为自变量的函数式,并求其定义域和值域;(Ⅲ)试比较与的大小,并说明理由(是坐标原点).命题意图本题以学生熟悉的一次函数、二次函数为载体,从图象的角度立意,自然的将函数的三要素及其性质、导数、方程、不等式、直线与曲线的位置关系等知识融为一体,考察数形结合、运动变化、分类讨论等数学思想.在题目的解答中通过图象直观地进行合情推理,寻求思路,再通过代数运算证明几何性质,充分考察了学生的逻辑推理及运算能力,这也正体现了解析几何的基本思想和方法.正确答案解(Ⅰ)由方程组,消得,
①依题意,该方程有两个正实根,故解得.(Ⅱ)由,求得切线的方程为.由,令,得.是方程
①的两实根,且,故,,是关于的减函数,所以的取值范围是().是关于的增函数,定义域为(),所以值域为.(Ⅲ)当时,由(Ⅱ)可知==类似可得.由
①可知,从而.当时,有相同的结果.所以.其它解法解法
二、(Ⅱ)设过A点的切线方程为,由得所以,.即以下同解法一解法
三、(Ⅲ)设,.由题意可得,即因为所以两式相加可得即解法
四、(Ⅱ)由,求得切线的方程为.由,令,得.当直线与的图象相切时,类似(Ⅰ)可得.因为函数与的图象相交于不同两点且,由图象可得.以下同解法一.考生的主要问题
①审题不仔细,考虑问题不全面.如中,忽略x为非负数这一条件,从而得出k的取值范围是;忽略“函数与的图象相交于不同两点”中的“不同”二字,得出.
②思考问题欠深入,缺乏理性.如=,直接凭感觉得出.
③对定理记忆不清,理解不够.如误用平均值不等式得到=.
④不等式性质不清楚.如因为,所以.所以.所以,即.
⑤基础不扎实,基本方法不熟,造成学生答题时间不够;
⑥缺乏自信心等.对教学的建议
①加强数学阅读,审题训练;
②注重通性、通法的提炼、总结,数学思想、方法的理解和运用;
③教学中要充分展示知识的形成过程,使学生在这个过程中形成分析问题、解决问题的能力;
④提高运算能力,代数推理能力,尤其是懂得算理;
⑤夯实基础,建立自信心.结束语由于时间有限,我们对试题的整理会有一些不足之处,欢迎大家指正.ABO。