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文本内容:
十、数列
一、选择题1.(天津理4)已知为等差数列,其公差为-2,且是与的等比中项,为的前项和,,则的值为A.-110 B.-90 C.90 D.110【答案】D2.(四川理8)数列的首项为,为等差数列且.若则,,则A.0B.3C.8D.11【答案】B【解析】由已知知由叠加法3.(四川理11)已知定义在上的函数满足,当时,.设在上的最大值为,且的前项和为,则A.3B.C.2D.【答案】D【解析】由题意在上,4.(上海理18)设是各项为正数的无穷数列,是边长为的矩形面积(),则为等比数列的充要条件为A.是等比数列B.或是等比数列C.和均是等比数列D.和均是等比数列,且公比相同【答案】D5.(全国大纲理4)设为等差数列的前项和,若,公差,,则A.8B.7C.6D.5【答案】D6.(江西理5)已知数列{}的前n项和满足,且=1.那么=A.1B.9C.10D.55【答案】A7.(福建理10)已知函数f(x)=e+x,对于曲线y=f(x)上横坐标成等差数列的三个点ABC,给出以下判断
①△ABC一定是钝角三角形
②△ABC可能是直角三角形
③△ABC可能是等腰三角形
④△ABC不可能是等腰三角形其中,正确的判断是A.
①③B.
①④C.
②③D.
②④【答案】B
二、填空题8.(湖南理12)设是等差数列,的前项和,且,则=.【答案】259.(重庆理11)在等差数列中,,则__________【答案】7410.(北京理11)在等比数列{an}中,a1=,a4=-4,则公比q=______________;____________—2【答案】11.(安徽理14)已知的一个内角为120o,并且三边长构成公差为4的等差数列,则的面积为_______________.【答案】12.(湖北理13)《九章算术》“竹九节”问题现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面4节的容积共为3升,下面3节的容积共4升,则第5节的容积为升【答案】13.(广东理11)等差数列前9项的和等于前4项的和.若,则k=____________.【答案】1014.(江苏13)设,其中成公比为q的等比数列,成公差为1的等差数列,则q的最小值是________【答案】
三、解答题15.(江苏20)设M部分为正整数组成的集合,数列,前n项和为,已知对任意整数kM,当整数都成立
(1)设的值;
(2)设的通项公式本小题考查数列的通项与前项和的关系、等差数列的基本性质等基础知识,考查考生分析探究及逻辑推理的能力,满分16分解
(1)由题设知,当,即,从而所以的值为8
(2)由题设知,当,两式相减得所以当成等差数列,且也成等差数列从而当时,(*)且,即成等差数列,从而,故由(*)式知当时,设当,从而由(*)式知故从而,于是因此,对任意都成立,又由可知,解得因此,数列为等差数列,由所以数列的通项公式为16.(安徽理18)在数1和100之间插入个实数,使得这个数构成递增的等比数列,将这个数的乘积记作,再令.(Ⅰ)求数列的通项公式;(Ⅱ)设求数列的前项和.本题考查等比和等差数列,指数和对数的运算,两角差的正切公式等基本知识,考查灵活运用知识解决问题的能力,综合运算能力和创新思维能力.解(I)设构成等比数列,其中则
①②①×
②并利用(II)由题意和(I)中计算结果,知另一方面,利用得所以17.(北京理20)若数列满足,数列为数列,记=.(Ⅰ)写出一个满足,且〉0的数列;(Ⅱ)若,n=2000,证明E数列是递增数列的充要条件是=2011;(Ⅲ)对任意给定的整数n(n≥2),是否存在首项为0的E数列,使得=0?如果存在,写出一个满足条件的E数列;如果不存在,说明理由解(Ⅰ)0,1,2,1,0是一具满足条件的E数列A5(答案不唯一,0,1,0,1,0也是一个满足条件的E的数列A5)(Ⅱ)必要性因为E数列A5是递增数列,所以.所以A5是首项为12,公差为1的等差数列.所以a2000=12+(2000—1)×1=
2011.充分性,由于a2000—a1000≤1,a2000—a1000≤1……a2—a1≤1所以a2000—a≤19999,即a2000≤a1+
1999.又因为a1=12,a2000=2011所以a2000=a1+
1999.故是递增数列.综上,结论得证(Ⅲ)令因为……所以因为所以为偶数所以要使为偶数即4整除.当时,有当的项满足,当不能被4整除,此时不存在E数列An,使得18.(福建理16)已知等比数列{an}的公比q=3,前3项和S3=(I)求数列{an}的通项公式;(II)若函数在处取得最大值,且最大值为a3,求函数f(x)的解析式本小题主要考查等比数列、三角函数等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,满分13分解(I)由解得所以(II)由(I)可知因为函数的最大值为3,所以A=3因为当时取得最大值,所以又所以函数的解析式为19.(广东理20)设b0数列满足a1=b,.
(1)求数列的通项公式;
(2)证明对于一切正整数n,解
(1)由令,当
①当时,
②当
(2)当时,(欲证),当综上所述20.(湖北理19)已知数列的前项和为,且满足,N*,.(Ⅰ)求数列的通项公式;(Ⅱ)若存在N*,使得,,成等差数列,是判断对于任意的N*,且,,,是否成等差数列,并证明你的结论.本小题主要考查等差数列、等比数列等基础知识,同时考查推理论证能力,以及特殊与一般的思想(满分13分)解(I)由已知可得,两式相减可得即又所以r=0时,数列为a,0,…,0,…;当时,由已知(),于是由可得,成等比数列,,综上,数列的通项公式为(II)对于任意的,且成等差数列,证明如下当r=0时,由(I)知,对于任意的,且成等差数列,当,时,若存在,使得成等差数列,则,由(I)知,的公比,于是对于任意的,且成等差数列,综上,对于任意的,且成等差数列21.(辽宁理17)已知等差数列{an}满足a2=0,a6+a8=-10(I)求数列{an}的通项公式;(II)求数列的前n项和.解(I)设等差数列的公差为d,由已知条件可得解得故数列的通项公式为………………5分(II)设数列,即,所以,当时,所以综上,数列………………12分22.(全国大纲理20)设数列满足且(Ⅰ)求的通项公式;(Ⅱ)设解(I)由题设即是公差为1的等差数列又所以(II)由(I)得,…………8分…………12分23.(全国新课标理17)已知等比数列的各项均为正数,且.(I)求数列的通项公式.(II)设,求数列的前n项和.解(Ⅰ)设数列{an}的公比为q,由得所以.由条件可知c0,故.由得,所以.故数列{an}的通项式为an=.(Ⅱ )故所以数列的前n项和为24.(山东理20)等比数列中,分别是下表第
一、
二、三行中的某一个数,且中的任何两个数不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818(Ⅰ)求数列的通项公式;(Ⅱ)若数列满足,求数列的前n项和.解(I)当时,不合题意;当时,当且仅当时,符合题意;当时,不合题意因此所以公式q=3,故(II)因为所以所以当n为偶数时,当n为奇数时,综上所述,25.(上海理22)已知数列和的通项公式分别为,(),将集合中的元素从小到大依次排列,构成数列
(1)求;
(2)求证在数列中.但不在数列中的项恰为;
(3)求数列的通项公式解⑴;⑵
①任意,设,则,即
②假设(矛盾),∴∴在数列中.但不在数列中的项恰为⑶,,,∵∴当时,依次有,……∴26.(四川理20)设为非零实数,
(1)写出并判断是否为等比数列若是,给出证明;若不是,说明理由;(II)设,求数列的前n项和.解析
(1)因为为常数,所以是以为首项,为公比的等比数列
(2)
(2)
(1)27.(天津理20)已知数列与满足,,且.(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)设,证明是等比数列;(III)设证明.本小题主要考查等比数列的定义、数列求和等基础知识,考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法.满分14分.(I)解由可得又(II)证明对任意
①②③②—
③,得
④将
④代入
①,可得即又因此是等比数列.(III)证明由(II)可得,于是,对任意,有将以上各式相加,得即,此式当k=1时也成立.由
④式得从而所以,对任意,对于n=1,不等式显然成立.所以,对任意28.(浙江理19)已知公差不为0的等差数列的首项为a()设数列的前n项和为,且,,成等比数列
(1)求数列的通项公式及
(2)记,,当时,试比较与的大小.本题主要考查等差数列、等比数列、求和公式、不等式等基础知识,同时考查分类讨论思想满分14分(I)解设等差数列的公差为d,由得因为,所以所以(II)解因为,所以因为,所以当,即所以,当当29.(重庆理21)设实数数列的前n项和,满足(I)若成等比数列,求和;(II)求证对(I)解由题意,由S2是等比中项知由解得(II)证法一由题设条件有故从而对有
①因,由
①得要证,由
①只要证即证此式明显成立.因此最后证若不然又因矛盾.因此证法二由题设知,故方程(可能相同).因此判别式又由因此,解得因此由,得因此。