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2011年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷)数学(文科) 本试卷第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分,第I卷1至3页,第II卷4至6页满分150分注意事项
1.答题前,考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名,考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号,姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致
2.第I卷每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,第II卷用
0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答,在试题卷上作答,答案无效
3.考试结束,考生必须将试题卷和答题卡一并交回参考公式样本数据的标准差.其中为样本平均数.柱体体积公式其中为底面面积,为高锥体公式,其中为底面面积,为高球的表面积、体积公式,,其中为球的半径. 第I卷
一、选择题本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一个项是符合题目要求的1.若集合,,则等于( ).A.B.C.D. 【解】.故选A. 2.是虚数单位等于( ). A.B.C.D. 【解】.故选D. 3.若,则“”是“”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件 【解】当时,有.所以“”是“”的充分条件, 反之,当时,,所以“”不是“”的必要条件.故选A. 4.某校选修乒乓球课程的学生中,高一年级有名,高二年级有名现用分层抽样的方法在这名学生中抽取一个样本,已知在高一年级的学生中抽取了名,则在高二年级的学生中应抽取的人数为( ) A. B. C. D. 【解】.故选B. 5.阅读右图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的结果是( ). A. B. C. D.【解】运行相应的程序是第一步,第二步,输出.故选B6.若关于的方程有两个不相等的实数根,则实数的取值范围是( ). A.B.C.D. 【解】因为关于的方程有两个不相等的实数根,则 ,解得或.故选C. 7.(同理4)如图,矩形中,点为边的中点,若在矩形内部随机取一个点,则点取自内部的概率等于( ).A.B. C.D.【解】因为,则点取自内部的概率.故选C. 8.已知函数,,则实数的值等于( ). A.B.C.D. 【解】因为,则由得, 于是,.故选A. 9.若,且,则的值等于( ). A. B. C. D.【解】由得,所以,即,,因为,所以,于是,,所以.故选D. 10.若,且函数在处有极值,则的最大值等于( ). A.B. C.D.【解】,因为在处有极值,则,于是,因为,,当且仅当时,等号成立.此时,因此是一个极值点.所以的最大值等于.故选D. 11.(同理7)设圆锥曲线的两个焦点分别为,若曲线上存在点满足,则曲线的离心率等于( ).A.或B.或C.或D.或【解】因为,所以设,,.若为椭圆,则 所以.若为双曲线,则 所以.故选A.
12.在整数集中,被除所得余数为的所有整数组成一个“类”,记为,即,.给出如下四个结论
① ;
②
③ ;
④ 整数属于同一“类”的充要条件是“”.其中,正确结论的个数为( ). A.B. C.D.【解】,所以
①正确;,所以
②不正确;,
③正确;若整数属于同一“类”,则,,,则,所以
④正确.由以上,
①,
③,
④正确,故选C.第II卷(非选择题共90分)注意事项用
0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答,在试题卷上作答,答案无效.
二、填空题本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中横线上
13.若向量,,则等于_____________. 【解】. . 14.若的面积为,,,则边的长度等于___________.【解】.,所以,又,,所以是等边三角形,于是. 15.如图,正方体中,,点为的中点,点在上,若,则线段的长度等于_____________.【解】.因为,,且平面与平面的交线为,所以,又点为的中点,所以为的中位线,所以,因为,为正方形,所以,所以.
16.商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格,及根据商品的最低销售限价,最高销售限价()以及常数()确定实际销售价格,这里,被称为乐观系数.经验表明,最佳乐观系数恰好使得是和的等比中项,据此可得,最佳乐观系数的值等于___________.【解】.由得,设,,.则.由题设,,则,,即,,于是,,因为,所以.
三、解答题本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明,证明过程或验算步骤.
17.(本小题满分12分)已知等差数列中,,.(Ⅰ)求数列的通项公式;(Ⅱ)若数列的前项和,求的值.【解】(Ⅰ)设等差数列的公差,则,由题设,,所以..(Ⅱ)因为,所以,解得或.因为,所以.
18.(本小题满分12分)如图,直线与抛物线相切于点. (Ⅰ)求实数的值; (Ⅱ)求以点为圆心,且与抛物线的准线相切的圆的方程. 【解】(Ⅰ)解法1.由得, 因为直线与抛物线相切,所以,解得.解法2.设切点,由得, 所以切线在点处的斜率为,因为切线的斜率为,则,,又在抛物线上,所以,于是的坐标为,因为在直线上,所以,.(Ⅱ)由(Ⅰ),,则由解得,于是的坐标为,设以点为圆心的圆的方程为,抛物线的准线为,而圆与抛物线的准线相切.则,所以圆的方程为.
19.(本小题满分12分)某日用品按行业质量标准分成五个等级,等级系数依次为.现从一批该日用品中随机抽取件,对其等级系数进行统计分析,得到频率分布表如下 (Ⅰ)若所抽取的件日用品中,等级系数为的恰有件,等级系数为的恰有件,求的值; (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,将等级系数为的件日用品记为,等级系数为的2件日用品记为,现从这件日用品中任取两件(假定每件日用品被取出的可能性相同),写出所有可能的结果,并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率.【解】(Ⅰ)由频率分布表得 ,即.因为所抽取的件日用品中,等级系数为的恰有件,所以,又因为所抽取的件日用品中,等级系数为的恰有件,所以,于是.所以,,.(Ⅱ)从件日用品中任取两件,所有可能的结果为 , .所以所有可能的结果共个设事件表示“从这件日用品中任取两件,等级系数恰好相等”则包含的事件为,共个,所以所求的概率为.
20.(本小题满分12分)如图,四棱锥中,,,点在线段上,且. (Ⅰ)求证; (Ⅱ)若,,,,求四棱锥的体积.【解】因为,,所以.因为,,所以.又,所以.(Ⅱ)由(Ⅰ),,在中,,,又因为,则,又,,所以四边形为矩形.四边形为梯形.因为,所以,,.于是四棱锥的体积为. 21.(本小题满分12分)设函数,其中角的顶点与坐标原点重合,始边与轴非负半轴重合,终边经过点,且. (Ⅰ)若点的坐标为,求的值; (Ⅱ)若点为平面区域上的一个动点,试确定角的取值范围,并求函数的最小值和最大值.【解】(Ⅰ)因为的坐标为,则.(Ⅱ)作出平面区域,则为图中的的区域,其中,,.因为,所以.,则,所以,.所以当,即时,取得最大值,且最大值为;当,即时,取得最小值,且最小值为.
22.(本小题满分14分)已知为常数,且,函数,(是自然对数的底数). (Ⅰ)求实数的值; (Ⅱ)求函数的单调区间; (Ⅲ)当时,是否同时存在实数和(),使得对每一个,直线与曲线都有公共点?若存在,求出最小的实数和最大的实数;若不存在,说明理由.【解】由,得;(Ⅱ)由(Ⅰ),.定义域为.从而,因为,所以1当时,由得,由得;2当时,由得,由得;因而, 当时,的单调增区间为,单调减区间为,当时,的单调增区间为,单调减区间为.(Ⅲ)当时,..令,则.当在区间内变化时,,的变化情况如下表单调递减极小值单调递增因为,所以在区间内值域为.由此可得,若,则对每一个,直线与曲线都有公共点,并且对每一个,直线与曲线都没有公共点.综合以上,当时,存在实数和,使得对每一个,直线与曲线都有公共点.。