还剩13页未读,继续阅读
本资源只提供10页预览,全部文档请下载后查看!喜欢就下载吧,查找使用更方便
文本内容:
第104-106课时第十四章复数——复数的有关概念法及复数的运算法则,复数与实数的区别和联系三.教学过程
(一)主要知识
1.数的概念的发展,复数的有关概念(实数、虚数、纯虚数、复数相等、共轭复数、模);
2.复数的代数表示与向量表示;
3.复数的加法与减法,复数的乘法与除法,复数的三角形式,复数三角形式的乘法与乘方,复数三角形式的除法与开方;
4.复数集中解实系数方程(包括一元二次方程、二项方程)复数在过去几年里是代数的重要内容之一,涉及的知识面广,对能力要求较高,是高考热点之一但随着新教材对复数知识的淡化,高考试题比例下降,因此考生要把握好复习的尺度从近几年的高考试题上看复数部分考查的重点是基础知识题型和运算能力题型基础知识部分重点是复数的有关概念、复数的代数形式、三角形式、两复数相等的充要条件及其应用,复平面内复数的几何表示及复向量的运算主要考点为复数的模与辐角主值,共轭复数的概念和应用若只涉及到
一、二个知识点的试题大都集中在选择题和填空题;若涉及几个知识点的试题,往往是中、高档题目,解答此类问题一般要抓住相应的概念进行正确的变换,对有些题目,往往用数形结合可获得简捷的解法有关复数n次乘方、求辐角(主值)等问题,涉及到复数的三角形式,首先要将所给复数转化为三角形式后再进行变换复数的运算是高考中复数部分的热点问题主要考查复数的代数和三角形式的运算,复数模及辐角主值的求解及复向量运算等问题基于上述情况,我们在学习“复数”一章内容时,要注意以下几点
(1)复数的概念几乎都是解题的手段因此在学习复数时要在深入理解、熟练掌握复数概念上下功夫除去复数相等、模、辐角、共轭等外,还要注意一些重要而常不引起重视的概念如若有“34”就是说,而且很快联系到或,又∵是不可能的,∴复数的三角形式和代数式,提供了将“复数问题实数化”的手段复数的几何意义也是解题的一个重要手段
(2)对于涉及知识点多,与方程、三角、解析几何等知识综合运用的思想方法较多的题型,以及复数本身的综合题,一直成为学生的难点,应掌握规律及典型题型的技巧解法,并加以强化训练以突破此难点;3重视以下知识盲点
①不能正确理解复数的几何意义,常常搞错向量旋转的方向;
②忽视方程的虚根成对出现的条件是实系数;
③盲目地将实数范围内数与形的一些结论,不加怀疑地引用到复数范围中来;
④容易混淆复数的有关概念,如纯虚数与虚数的区别问题,实轴与虚轴的交集问题,复数辐角主值的范围问题等
(二)知识点详析1.知识体系表解2.复数的有关概念和性质1i称为虚数单位规定形如a+bi的数称为复数其中a,b∈R.2复数的分类下面的a,b均为实数3复数的相等设复数,那么的充要条件是.4复数的几何表示复数z=a+bi(a,b∈R)可用平面直角坐标系内点Za,b来表示.这时称此平面为复平面,x轴称为实轴,y轴除去原点称为虚轴.这样,全体复数集C与复平面上全体点集是一一对应的.复数z=a+bi.在复平面内还可以用以原点O为起点,以点Za,b向量所成的集合也是一一对应的例外的是复数0对应点O,看成零向量.7复数与实数不同处
①任意两个实数可以比较大小,而任意两个复数中至少有一个不是实数时就不能比较大小.
②实数对于四则运算是通行无阻的,但不是任何实数都可以开偶次方.而复数对四则运算和开方均通行无阻.3.有关计算⑴怎样计算?(先求n被4除所得的余数,)⑵是1的两个虚立方根,并且3复数集内的三角形不等式是,其中左边在复数z
1、z2对应的向量共线且反向(同向)时取等号,右边在复数z
1、z2对应的向量共线且同向(反向)时取等号4棣莫佛定理是5若非零复数,则z的n次方根有n个,即它们在复平面内对应的点在分布上有什么特殊关系?都位于圆心在原点,半径为的圆上,并且把这个圆n等分6若,复数z
1、z2对应的点分别是A、B,则△AOB(O为坐标原点)的面积是7=8复平面内复数z对应的点的几个基本轨迹
①轨迹为一条射线
②轨迹为一条射线
③轨迹是一个圆
④轨迹是一条直线
⑤轨迹有三种可能情形a当时,轨迹为椭圆;b当时,轨迹为一条线段;c当时,轨迹不存在
⑥轨迹有三种可能情形a当时,轨迹为双曲线;b当时,轨迹为两条射线;c当时,轨迹不存在4.学习目标1联系实数的性质与运算等内容,加强对复数概念的认识;2理顺复数的三种表示形式及相互转换z=rcosθ+isinθZabz=a+bi3正确区分复数的有关概念;4掌握复数几何意义注意复数与三角、解几等内容的综合;5正确掌握复数的运算复数代数形式的加、减、乘、除;三角形式的乘、除、乘方、开方及几何意义;虚数单位i及1的立方虚根ω的性质;模及共轭复数的性质;6掌握化归思想——将复数问题实数化(三角化、几何化);7掌握方程思想——利用复数及其相等的有关充要条件,建立相应的方程,转化复数问题
(三)例题分析Ⅰ.2004年高考数学题选
1.2004年四川卷理3设复数ω=-+i,则1+ω=A.–ω B.ω2 C. D.2.2004重庆卷2)设复数则()A.–3B.3C.-3iD.3i
3.(2004高考数学试题广东B卷14)已知复数z与z+22-8i均是纯虚数则z=.Ⅱ.范例分析
①实数?
②虚数?
③纯虚数?
①复数z是实数的充要条件是∴当m=2时复数z为实数.
②复数z是虚数的充要条件∴当m≠3且m≠2时复数z为虚数
③复数z是纯虚数的充要条件是∴当m=1时复数z为纯虚数.【说明】要注意复数z实部的定义域是m≠3,它是考虑复数z是实数,虚数纯虚数的必要条件.要特别注意复数z=a+bia,b∈R为纯虚数的充要条件是a=0且b≠0.[],所以,代入
①得,故选.解法3选择支中的复数的模均为,又,而方程右边为2+i,它的实部,虚部均为正数,因此复数z的实部,虚部也必须为正,故选择B.【说明】解法1利用复数相等的条件;解法2利用复数模的性质;解法3考虑选择题的特点.求z【分析】确定一个复数要且仅要两个实数a、b,而题目恰给了两个独立条件采用待定系数法可求出a、b确定z.运算简化.解设z=x+yix,y∈R将z=x+yi代入|z4|=|z4i|可得x=y,∴z=x+xi2当|z1|=13时,即有xx6=0则有x=3或x=2综上所述故z=0或z=3+3i或z=-22i【说明】注意熟练地运用共轭复数的性质.其性质有31+2i+3+…+1000【说明】计算时要注意提取公因式,要注意利用i的幂的周期性,要记住常用的数据,,
(2)原式3解法1原式=1+2i34i+5+6i78i+…+997+998i9991000i=25022i=500500i解法2设S=1+2i+3+…+1000,则iS=i+2+3+…+999+1000,∴1iS=1+i++…+1000【说明】充分利用i的幂的周期性进行组合,注意利用等比数列求和的方法.【例5】
(1)若,求
(2)已知,求的值解
(1)【例6】已知三边都不相等的三角形ABC的三内角A、B、C满足、的值.【解】得……3分上式化简为……6分……9分当……12分【例7】设z1=1-cosθ+isinθ,z2=a2+aia∈R,若z1z2≠0,z1z2+=0,问在(0,2π)内是否存在θ使z1-z22为实数?若存在,求出θ的值;若不存在,请说明理由.【分析】这是一道探索性问题.可根据复数的概念与纯虚数的性质及复数为实数的充要条件,直接进行解答.【解】假设满足条件的θ存在.因z1z2≠0,z1z2+=0,故z1z2为纯虚数.又z1z2=1-cosθ+isinθa2+ai=[a21-cosθ-asinθ]+[a1-cosθ+a2sinθ]i,于是,由
②知a≠0.因θ∈0,2π,故cosθ≠1.于是,由
①得a=.另一方面,因z1-z22∈R,故z1-z2为实数或为纯虚数.又z1-z2=1-cosθ-a2+sinθ-ai,于是sinθ-a=0,或1-cosθ-a2=0.若sinθ-a=0,则由方程组eq\b\lc\{\a\alsinθ-a=0,a=,得=sinθ,故cosθ=0,于是θ=或θ=.若1-cosθ-a2=0,则由方程组eq\b\lc\{\a\al1-cosθ-a2=0,a=,得2=1-cosθ.由于sin2θ=1-cos2θ=1+cosθ1-cosθ,故1+cosθ=1-cosθ2.解得cosθ=0,从而θ=或θ=.综上所知,在0,2π内,存在θ=或θ=,使z1-z22为实数.【说明】
①解题技巧解题中充分使用了复数的性质z≠0,z+=0z∈{纯虚数}以及z2∈Rz∈R或z∈{纯虚数}.(注Rez,Imz分别表示复数z的实部与虚部)
②解题规律对于“是否型存在题型”,一般处理方法是首先假设结论成立,再进行正确的推理,若无矛盾,则结论成立;否则结论不成立.【例8】设a为实数,在复数集C中解方程z2+2|z|=a.【分析】由于z2=a-2|z|为实数,故z为纯虚数或实数,因而需分情况进行讨论.【解】设|z|=r.若a<0,则z2=a-2|z|<0,于是z为纯虚数,从而r2=2r–a.解得 r=r=<0,不合,舍去.故 z=±i.若a≥0,对r作如下讨论
(1)若r≤a,则z2=a-2|z|≥0,于是z为实数.解方程r2=a-2r,得r=r=<0,不合,舍去.故 z=±.
(2)若r>a,则z2=a-2|z|<0,于是z为纯虚数.解方程r2=2r-a,得r=或r=a≤1.故 z=±ia≤1.综上所述,原方程的解的情况如下当a<0时,解为z=±i;当0≤a≤1时,解为z=±,z=±i;当a>1时,解为z=±.【说明】解题技巧本题还可以令z=x+yix、y∈R代入原方程后,由复数相等的条件将复数方程化归为关于x,y的实系数的二元方程组来求解.【例9】(2004年上海市普通高校春季高考数学试卷18)已知实数满足不等式,试判断方程有无实根,并给出证明.【解】由,解得,.方程的判别式.,,,由此得方程无实根.【例10】给定实数a,b,c.已知复数z
1、z
2、z3满足求|az1+bz2+cz3|的值.【分析】注意到条件1,不难想到用复数的三角形式;注意到条件
(2),可联想使用复数为实数的充要条件进行求解.【解】解法一由=1,可设=cosθ+isinθ,=cosφ+isinφ,则=eq\f1·=cosθ+φ-isinθ+φ.因=1,其虚部为0,故0=sinθ+sinφ-sinθ+φ=2sincos-2sincos=2sin(cos-cos)=4sinsinsin.故θ=2kπ或φ=2kπ或θ+φ=2kπ,k∈Z.因而z1=z2或z2=z3或z3=z1.若z1=z2,代入
(2)得=±i,此时|az1+bz2+cz3|=|z1|·|a+b±ci|=.类似地,如果z2=z3,则|az1+bz2+cz3|=;如果z3=z1,则|az1+bz2+cz3|=.解法二由
(2)知∈R,故=,即=.由
(1)得=k=1,2,3,代入上式,得=,即z12z3+z22z1+z32z2=z22z3+z32z1+z12z2,分解因式,得z1-z2z2-z3z3-z1=0,于是z1=z2或z2=z3或z3=z1.下同解法一.【说明】
①解题关键点是巧妙利用复数为实数的充要条件z∈Rz=,以及视,等为整体,从而简化了运算.
②解题易错点是拿到问题不加分析地就盲目动笔,而不注意充分观察题目的已知条件,结论特征等,从而使问题的求解或是变得异常的复杂,或干脆就无法解出最终的结果.
(四)巩固练习设复数z=3cosθ+2isinθ,求函数y=θ-argz0<θ<的最大值以及对应角θ的值.【分析】先将问题实数化,将y表示成θ的目标函数,后利用代数法(函数的单调性、基本不等式等)以及数形结合法进行求解.解法
一、由0<θ<,得tanθ>0,从而0<argz<.由z=3cosθ+2isinθ,得tanargz==tanθ>0.于是tany=tanθ-argz===≤=.当且仅当,即tanθ=时,取“=”.又因为正切函数在锐角的范围内为增函数,故当θ=arctan时,y取最大值为arctan.解法
二、因0<θ<,故cosθ>0,sinθ>0,0<argz<,且cosargz=,sinargz=.显然y∈-,,且siny为增函数.siny=sinθ-argz=sinθcosargz-cosθsinargz===≤=.当且仅当,即tanθ=,取“=”,此时ymax=arctan.解法
三、设Z1=2cosθ+isinθ,Z2=cosθ,则Z=Z1+Z2,而Z
1、Z
2、Z的辐角主值分别为θ、0,argz.如图所示,必有y=∠ZOZ1,且0<y<.在△ZOZ1中,由余弦定理得cosy===+≥.当且仅当4+5cos2θ=6,即cosθ=时,取“=”.又因为余弦函数在0<θ<为减函数,故当θ=arccos时,ymax=arccos.【说明】
①解题关键点将复数问题通过化归转化为实数问题,使问题能在我们非常熟悉的情景中求解.
②解题规律多角度思考,全方位探索,不仅使我们获得了许多优秀解法,而且还使我们对问题的本质认识更清楚,进而更有利于我们深化对复数概念的理解,灵活驾驭求解复数问题的能力.
③解题易错点因为解法的多样性,反三角函数表示角的不唯一性,因而最后的表述结果均不一样,不要认为是错误的.四.课后作业
1、下列说法正确的是[]A.0i是纯虚数B.原点是复平面内直角坐标系的实轴与虚轴的公共点C.实数的共轭复数一定是实数,虚数的共轭复数一定是虚数D.是虚数
2、下列命题中,假命题是[]A.两个复数不可以比较大小B.两个实数可以比较大小C.两个虚数不可以比较大小D.一虚数和一实数不可以比较大小
3、已知对于x的方程+(12i)x+3mi=0有实根,则实数m满足[]
4、复数1+i++…+等于[]A.iB.iC.2iD.2i
5、已知常数,又复数z满足,求复平面内z对应的点的轨迹
6、设复数,记
(1)求复数的三角形式;
(2)如果,求实数、的值
7、(2003年普通高等学校招生全国统一考试理17)已知复数的辐角为,且是和的等比中项,求
8、已知复数满足,且1求的值;2求证;3求证对于任意实数,恒有
9、(1992·三南试题)求同时满足下列两个条件的所有复数z1z+是实数,且1<z+≤6;2z的实部和虚部都是整数.参考答案
1、解0i=0∈R故A错;原点对应复数为0∈R故B错,i2=-1∈R,故D错,所以答案为C
2、解本题主要考察复数的基本性质,两个不全是实数的复数不能比较大小,故命题B,C,D均正确,故A命题是假的
3、解本题考察复数相等概念,由已知
4、解因为i的四个相邻幂的和为0,故原式=1+i+i2+0+0=i,答案A
5、解∴Z对应的点的轨迹是以对应的点为圆心,以为半径的圆,但应除去原点
6、答案
(1);
(2)
7、解设,则复数由题设
8、答案
(1);
(2)、
(3)省略
9、分析按一般思路,应设z=x+yi(x,y∈R),或z=r(cos∵1<t≤6∴Δ=t2-40<0,解方程得又∵z的实部和虚部都是整数,∴t=2或t=6故z=1±3i或z=3±i解法二∵z+∈R,从而z=或z=10.若z=,则z∈R,因1<z+≤6,故z>0,从而z+≥>6,此时无解;若z=10,则1<z+≤6.设z=x+yix、y∈Z,则1<2x≤6,且x2+y2=10,联立解得或或或故同时满足下列两个条件的所有复数z=1+3i,1-3i,3+i,3-i复数集纯虚数集虚数集实数集9图xθargzyoZ1Z2Z。