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2011高考数学一轮复习(例题解析)
15.4直线与圆、圆与圆的位置关系A组1.2009年高考天津卷若圆x2+y2=4与圆x2+y2+2ay-6=0a0的公共弦的长为2,则a=________.解析两圆方程作差易知弦所在直线方程为y=,如图,由已知|AC|=,|OA|=2,有|OC|==1,∴a=
1.答案12.2009年高考全国卷Ⅱ已知圆O x2+y2=5和点A12,则过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于________.解析依题意,过A12作圆x2+y2=5的切线方程为x+2y=5,在x轴上的截距为5,在y轴上的截距为,切线与坐标轴围成的三角形面积S=××5=.答案3.2009年高考湖北卷过原点O作圆x2+y2-6x-8y+20=0的两条切线,设切点分别为P、Q,则线段PQ的长为________.解析∵圆的标准方程为x-32+y-42=5,可知圆心为34,半径为.如图可知,|CO|=5,∴OP==
2.∴tan∠POC==.在Rt△POC中,OC·PM=OP·PC,∴PM==
2.∴PQ=2PM=
4.答案44.若直线3x+4y+m=0与圆x2+y2-2x+4y+4=0没有公共点,则实数m的取值范围是________.解析将圆x2+y2-2x+4y+4=0化为标准方程,得x-12+y+22=1,圆心为1,-2,半径为
1.若直线与圆无公共点,即圆心到直线的距离大于半径,即d==1,∴m0或m
10.答案-∞,0∪10,+∞5.原创题已知直线x-y+2m=0与圆x2+y2=n2相切,其中m,n∈N*,且n-m5,则满足条件的有序实数对m,n共有________个.解析由题意可得,圆心到直线的距离等于圆的半径,即2m-1=n,所以2m-1-m5,因为m,n∈N*,所以,,,,故有序实数对m,n共有4个.答案4个6.2010年南京调研已知以点Ct,t∈R,t≠0为圆心的圆与x轴交于点O、A,与y轴交于点O、B,其中O为原点.1求证△OAB的面积为定值;2设直线y=-2x+4与圆C交于点M,N,若OM=ON,求圆C的方程.解1证明∵圆C过原点O,∴OC2=t2+.设圆C的方程是x-t2+y-2=t2+,令x=0,得y1=0,y2=;令y=0,得x1=0,x2=2t.∴S△OAB=OA·OB=×||×|2t|=4,即△OAB的面积为定值.2∵OM=ON,CM=CN,∴OC垂直平分线段MN.∵kMN=-2,∴kOC=,∴直线OC的方程是y=x.∴=t,解得t=2或t=-
2.当t=2时,圆心C的坐标为21,OC=,此时圆心C到直线y=-2x+4的距离d=,圆C与直线y=-2x+4相交于两点.当t=-2时,圆心C的坐标为-2,-1,OC=,此时圆心C到直线y=-2x+4的距离d=,圆C与直线y=-2x+4不相交,∴t=-2不符合题意舍去.∴圆C的方程为x-22+y-12=
5.B组1.直线ax+by+b-a=0与圆x2+y2-x-3=0的位置关系是________.解析直线方程化为ax-1+by+1=0,过定点1,-1,代入圆的方程,左侧小于0,则定点在圆内,所以直线与圆总相交.答案相交2.2010年秦州质检已知直线y=-x与圆x2+y2=2相交于A、B两点,P是优弧AB上任意一点,则∠APB=____________.解析弦心距长为,半径为,所以弦AB所对的圆心角为,又因为同弦所对的圆周角是圆心角的一半,所以∠APB=.答案3.已知向量a=cosα,sinα,b=cosβ,sinβ,a与b的夹角为60°,直线xcosα+ysinα=0与圆x+cosβ2+y+sinβ2=的位置关系是________.解析cos60°=cosα·cosβ+sinα·sinβ=cosα-β,d==|cosα-β|==r.答案相离4.过点A112作圆x2+y2+2x-4y-164=0的弦,其中弦长为整数的共有__条.解析方程化为x+12+y-22=132,圆心为-12,到点A112的距离为12,最短弦长为10,最长弦长为26,所以所求直线条数为2+2×25-10=32条.答案325.若集合A={x,y|y=1+},B={x,y|y=kx-2+4}.当集合A∩B有4个子集时,实数k的取值范围是________________.解析A∩B有4个子集,即A∩B有2个元素,∴半圆x2+y-12=4y≥1与过P24点,斜率为k的直线有两个交点,如图A-21,kPA=,过P与半圆相切时,k=,∴k≤.答案<k≤6.2009年高考全国卷Ⅱ已知AC、BD为圆O x2+y2=4的两条相互垂直的弦,垂足为M1,,则四边形ABCD的面积的最大值为________.解析设圆心O到AC、BD的距离分别为d
1、d2,则d12+d22=OM2=
3.四边形ABCD的面积S=|AB|·|CD|=2≤8-d12+d22=
5.7.2010年宁波调研已知圆C x2+y2+bx+ay-3=0a、b为正实数上任意一点关于直线l x+y+2=0的对称点都在圆C上,则+的最小值为________.解析由题意,知圆心在直线上,所以-+-+2=0,∴+=1,则++=1++≥1+2=1+.8.设圆O x2+y2=,直线l x+3y-8=0,点A∈l,使得圆O上存在点B,且∠OAB=30°O为坐标原点,则点A的横坐标的取值范围是________.解析依题意点A∈l,设Ax0,.过点A作圆O的切线,切点为M,则∠OAM≥∠OAB=30°.从而sin∠OAM≥sin30°=,即≥sin30°=,就是|OA|2≤4|OM|2=,x02+2≤,5x02-8x0≤0,解得x0∈[0,].答案[0,]9.2009年高考江西卷设直线系M xcosθ+y-2sinθ=10≤θ≤2π,对于下列四个命题A.存在一个圆与所有直线相交B.存在一个圆与所有直线不相交C.存在一个圆与所有直线相切D.M中的直线所能围成的正三角形面积都相等其中真命题的代号是________写出所有真命题的代号.解析xcosθ+ysinθ-2sinθ-1=
0.则点02到其直线的距离为d==
1.∴说明此直线是圆心为02,半径为1的圆的切线.圆心为02,半径大于等于1的圆与所有直线相交,A对;圆心为02,半径小于1的圆与所有直线不相交,B对;圆心为02,半径等于1的圆与所有直线都相切,C对;因为M中的直线与以02为圆心,半径为1的圆相切,所以M中的直线所能围成的正三角形面积不都相等.如图△ABC与△ADE均为等边三角形而面积不等.答案A、B、C10.已知圆C1x2+y2+2x+2y-8=0与圆C2x2+y2-2x+10y-24=0相交于A、B两点,1求公共弦AB所在的直线方程;2求圆心在直线y=-x上,且经过A、B两点的圆的方程.解1⇒x-2y+4=
0.2由1得x=2y-4,代入x2+y2+2x+2y-8=0中得y2-2y=
0.∴或,即A-40,B02,又圆心在直线y=-x上,设圆心为Mx,-x,则|MA|=|MB|,解得M-33,∴⊙M x+32+y-32=
10.11.2010年江苏徐州调研已知圆C的方程为x2+y2=1,直线l1过定点A30,且与圆C相切.1求直线l1的方程;2设圆C与x轴交于P、Q两点,M是圆C上异于P、Q的任意一点,过点A且与x轴垂直的直线为l2,直线PM交直线l2于点P′,直线QM交直线l2于点Q′.求证以P′Q′为直径的圆C′总过定点,并求出定点坐标.解1∵直线l1过点A30,且与圆C x2+y2=1相切,设直线l1的方程为y=kx-3,即kx-y-3k=0,则圆心O00到直线l1的距离为d==1,解得k=±,∴直线l1的方程为y=±x-3.2对于圆C x2+y2=1,令y=0,则x=±1,即P-10,Q10.又直线l2过点A且与x轴垂直,∴直线l2方程为x=
3.设Ms,t,则直线PM的方程为y=x+1.解方程组得P′3,.同理可得Q′3,.∴以P′Q′为直径的圆C′的方程为x-3x-3+y-y-=0,又s2+t2=1,∴整理得x2+y2-6x+1+y=0,若圆C′经过定点,只需令y=0,从而有x2-6x+1=0,解得x=3±2,∴圆C′总经过定点,定点坐标为3±2,0.12.2009年高考江苏卷如图在平面直角坐标系xOy中,已知圆C1x+32+y-12=4和圆C2x-42+y-52=
4.1若直线l过点A40,且被圆C1截得的弦长为2,求直线l的方程;2设P为平面上的点,满足存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2,它们分别与圆C1和C2相交,且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等,试求所有满足条件的点P的坐标.解1由于直线x=4与圆C1不相交,所以直线l的斜率存在.设直线l的方程为y=kx-4,圆C1的圆心到直线l的距离为d,因为直线l被圆C1截得的弦长为2,所以d==
1.由点到直线的距离公式得d=,从而k24k+7=0,即k=0或k=-,所以直线l的方程为y=0或7x+24y-28=
0.2设点Pa,b满足条件,不妨设直线l1的方程为y-b=kx-a,k≠0,则直线l2的方程为y-b=-x-a.因为圆C1和圆C2的半径相等,且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等,所以圆C1的圆心到直线l1的距离和圆C2的圆心到直线l2的距离相等,即=,整理得|1+3k+ak-b|=|5k+4-a-bk|,从而1+3k+ak-b=5k+4-a-bk或1+3k+ak-b=-5k-4+a+bk,即a+b-2·k=b-a+3或a-b+8k=a+b-5,因为k的取值有无穷多个,所以或解得或这样点P只可能是点P1,-或点P2-,.经检验点P1和P2满足题目条件.。