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2012学年度第一学期高三年级期末教学质量检测理科数学试卷本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分考试时间120分钟注意事项
1、答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、班级和考号填写在答题卷上
2、必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液不按以上要求作答的答案无效第Ⅰ卷选择题(共40分)
一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,满分40分)1.在复平面内,复数对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.集合A={x|y=},,则等于()A.B.C.D.3.下列函数中,满足“对任意,(0,),当时,都有的是()A.=B.=C.,D.=4.若某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是()A.B.C.1D.25.已知锐角α、β满足cosα=,cosα+β=-,则cosβ= A. B.- C. D.-6.设x,y满足约束条件,若目标函数的最大值为8,则a+b的最小值为()A.2B.4C.6D.87.抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为()A.B.C.D.8.以下正确命题的个数为()
①命题“存在”的否定是“不存在”;
②函数的零点在区间内
③在中,已知角,则角C=
600.
④已知随机变量服从正态分布,,则.A.1B.2C.3D.4第Ⅱ卷非选择题(共110分)
二、填空题(本大题共7小题,9至13题为必做题,14至15题为选做题,每小题5分,满分30分)9.不等式的解集是______.10.若则展开式中的系数为用数字作答.11.公差不为零的等差数列的前n项和为是的等比中项,,则=______12.垂直于直线且与曲线相切的直线方程是13.执行如图的程序框图,则输出的是______★(请考生在以下两个小题中任选一题作答,两题全答的以第14小题计分)14.(坐标系与参数方程选做题)极坐标系中,圆上的动点到直线的距离的最大值是15.(几何证明选讲选做题)如图,AB是圆O的直径,直线CE和圆O相切于点C,于D,若AD=1,,则圆O的面积是_________
三、解答题(本大题共6小题,满分80分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)16.(本小题满分12分)已知向量,且函数
(1)求函数的最小正周期和单调减区间
(2)求函数在区间上的最大值和最小值以及相应的x值;17.(本小题满分12分)中华人民共和国《道路交通安全法》中将饮酒后违法驾驶机动车的行为分成两个档次“酒后驾车”和“醉酒驾车”,其检测标准是驾驶人员血液中的酒精含量Q(简称血酒含量,单位是毫克/100毫升),当20≤Q≤80时,为酒后驾车;当Q>80时,为醉酒驾车某市公安局交通管理部门于2012年4月的某天晚上8点至11点在市区设点进行一次拦查行动,共依法查出了60名饮酒后违法驾驶机动车者,如图为这60名驾驶员抽血检测后所得结果画出的频率分布直方图(其中Q≥140的人数计入120≤Q<140人数之内)
(1)求此次拦查中醉酒驾车的人数;
(2)从违法驾车的60人中按酒后驾车和醉酒驾车利用分层抽样抽取8人做样本进行研究,再从抽取的8人中任取3人,求3人中含有醉酒驾车人数的分布列和期望18.(本小题14分)如图所示,平面多边形ABCDP是由梯形ABCD和等边△PAD组成,已知AB//DC,BD=2AD=4,AB=2DC=,现将△PAD沿AD折起,使点P的射影恰好落在直线AD上.
(1)求证BD⊥平面PAD;
(2)求平面PAD与平面PAB所成的二面角的余弦值19.(本小题14分)已知椭圆C的对称中心为坐标原点O,焦点在轴上,左右焦点分别为,且=2点在该椭圆上
(1)求椭圆C的方程;
(2)设椭圆C上的一点在第一象限,且满足圆的方程为.求点坐标,并判断直线与圆的位置关系;
(3)设点为椭圆的左顶点,是否存在不同于点的定点对于圆上任意一点都有为常数,若存在,求所有满足条件的点的坐标;若不存在,说明理由.20.(本小题14分)已知数列满足:(为正整数).
(1)令,求证数列是等差数列,并求数列的通项公式;
(2)令,求数列{}的前n项和
(3)比较与的大小,并证明之.21.(本小题满分14分)已知函数R
(1)求函数的单调区间;
(2)若关于的方程为自然对数的底数只有一个实数根,求的值2012学年度第一学期高三年级期末教学质量检测理科数学参考答案
一、选择题BDDCABAB
二、填空题9..10.
10.11.
60.12. 13.-
2. 14.. 15.4
三、解答题(本大题共6小题,满分80分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
16.(本小题满分12分)已知向量,且函数
(1)求函数的最小正周期和单调减区间
(2)求函数在区间上的最大值和最小值以及相应的x值;解
(1)∵=--1分==∴-----4分∴最小正周期为-----5分, 由∴∴的单调递减区间为--8分
(2)∵∴令 ∴ ------10分当t=即时∴的最大值为
2.------11分当t=即时∴的最小值为-
1.----12分17.(本小题满分12分)中华人民共和国《道路交通安全法》中将饮酒后违法驾驶机动车的行为分成两个档次“酒后驾车”和“醉酒驾车”,其检测标准是驾驶人员血液中的酒精含量Q(简称血酒含量,单位是毫克/100毫升),当20≤Q≤80时,为酒后驾车;当Q>80时,为醉酒驾车某市公安局交通管理部门于2012年4月的某天晚上8点至11点在市区设点进行一次拦查行动,共依法查出了60名饮酒后违法驾驶机动车者,如图为这60名驾驶员抽血检测后所得结果画出的频率分布直方图(其中Q≥140的人数计入120≤Q<140人数之内)
(1)求此次拦查中醉酒驾车的人数;
(2)从违法驾车的60人中按酒后驾车和醉酒驾车利用分层抽样抽取8人做样本进行研究,再从抽取的8人中任取3人,求3人中含有醉酒驾车人数的分布列和期望解
(1)
0.0032+
0.0043+
0.0050×20=
0.25,
0.25×60=15所以此次拦查中醉酒驾车的人数为15人. --------4分
(2)易知利用分层抽样抽取8人中含有醉酒驾车者为2人;所以x的所有可能取值为012;Px=0==PX=1==Px=2==X的分布列为012--------------------------------------------------------------------------10分-------------------12分18.(本小题14分)如图所示,平面多边形ABCDP是由梯形ABCD和等边△PAD组成,已知AB//DC,BD=2AD=4,AB=2DC=,现将△PAD沿AD折起,使点P的射影恰好落在直线AD上.
(1)求证BD⊥平面PAD;
(2)求平面PAD与平面PAB所成的二面角的余弦值
(1)证明由题意知平面PAD⊥平面ABCD,又BD=2AD=4,AB=可得AB2=AD2+BD2,则BD⊥AD,又AD为平面PAD与平面ABCD的交线,则BD⊥平面PAD; -----6分
(2)如图建立空间直角坐标,易知A(1,0,0),B(-1,4,0),P(0,0,),,,-----8分平面PDA的法向量为=(0,1,0),设平面PAB的法向量为-----9分由,得,取则-13分所以平面PAD与平面PAB所成的二面角的余弦值为.-------14分19.(本小题14分)已知椭圆C的对称中心为坐标原点O,焦点在轴上,左右焦点分别为,且=2点在该椭圆上
(1)求椭圆C的方程;
(2)设椭圆C上的一点在第一象限,且满足圆的方程为.求点坐标,并判断直线与圆的位置关系;
(3)设点为椭圆的左顶点,是否存在不同于点的定点对于圆上任意一点都有为常数,若存在,求所有满足条件的点的坐标;若不存在,说明理由.解
(1)设椭圆的方程为,由题意可得椭圆C两焦点坐标分别为,------------1分由点在该椭圆上,.又得,--3分故椭圆的方程为.----4分
(2)设点P的坐标为则-----------
①由得,∴,即-
②-5分由
①②联立结合解得,即点P的坐标为--7分∴直线的方程为∵圆的圆心O到直线的距离∴直线与⊙O相切---------9分
(3)的坐标为,则,假设存在点,对于上任意一点都有为常数,则∴常数恒成立------11分又x2+y2=4可得:恒成立∴∴或(不合舍去)--------13分∴存在满足条件的点B,它的坐标为.------------------------14分
20.(本小题14分)已知数列满足:(为正整数).
(1)令,求证数列是等差数列,并求数列的通项公式;
(2)令,求数列{}的前n项和
(3)比较与的大小,并证明之.【解】
(1)由得:因,即当时,---2分又,所以数列是首项和公差均为1的等差数列.∴---3分
(2)由(Ⅰ)得,----5分-----6分两式错位相减得到,--------8分3………(*)---9分于是,确定与的大小关系等价于比较与的大小由可猜想当时,,证明如下 -------10分证法1
(1)当时,由上验算显示成立
(2)假设当时不等式成立,即----12分则当时,所以,当时猜想也成立综合
(1)
(2)可知,对一切的正整数,都有综上所述,当时,;当时,------14分证法2综上所述,当时,;当时,.21.(本小题满分14分)已知函数R
(1)求函数的单调区间;
(2)若关于的方程为自然对数的底数只有一个实数根,求的值解:函数的定义域为. ∴. ---------------2分
①当即时得则.∴在上单调递增.-------------4分
②当即时令得解得.ⅰ若则.∵∴∴函数在上单调递增.----------6分ⅱ若则时;时∴函数在上单调递减在上单调递增.综上所述当时函数的单调递增区间为;----8分当时的递减区间为递增区间为.-----9分2解:令则.令得.当时;当时.∴函数在区间上单调递增在区间上单调递减.---10分∴当时函数取得最大值其值为.-----11分而函数当时函数取得最小值其值为.-----12分∴当即时方程只有一个根.-----14分第4题第13题第15题204060801001201400.00320.00420.0050频率组距QBCPDAPDCABxBCPDAzyOBCPDAPDCAB。