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2012年高考真题理科数学解析汇编概率
一、选择题.(2012年高考(辽宁理))在长为12cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形领边长分别等于线段ACCB的长则该矩形面积小于32cm2的概率为( )A.B.C.D..(2012年高考(湖北理))如图在圆心角为直角的扇形OAB中分别以OAOB为直径作两个半圆.在扇形OAB内随机取一点则此点取自阴影部分的概率是( )A.B.C.D..(2012年高考(广东理))概率从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个其个位数为0的概率是( )A.B.C.D..(2012年高考(北京理))设不等式组表示的平面区域为D.在区域D内随机取一个点则此点到坐标原点的距离大于2的概率是( )A.B.C.D..(2012年高考(上海理))设.随机变量取值、、、、的概率均为
0.2随机变量取值、、、、的概率也为
0.
2.若记、分别为、的方差则( )A..B.=.C..D.与的大小关系与、、、的取值有关.
二、填空题.(2012年高考(上海理))三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人都选择其中两个项目则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是______结果用最简分数表示..(2012年高考(上海春))某校要从名男生和名女生中选出人担任某游泳赛事的志愿者工作则在选出的志愿者中男、女都有的概率为______结果用数值表示..(2012年高考(江苏))现有10个数它们能构成一个以1为首项为公比的等比数列若从这10个数中随机抽取一个数则它小于8的概率是____..(2012年高考(新课标理))某个部件由三个元件按下图方式连接而成元件1或元件2正常工作且元件3正常工作则部件正常工作设三个电子元件的使用寿命单位:小时均服从正态分布且各个元件能否正常相互独立那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为_________
三、解答题.(2012年高考(天津理))现有4个人去参加某娱乐活动该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性约定:每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加个游戏掷出点数为1或2的人去参加甲游戏掷出点数大于2的人去参加乙游戏.Ⅰ求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率:Ⅱ求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率:Ⅲ用分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数记求随机变量的分布列与数学期望..(2012年高考(新课标理))某花店每天以每枝元的价格从农场购进若干枝玫瑰花然后以每枝元的价格出售如果当天卖不完剩下的玫瑰花作垃圾处理.1若花店一天购进枝玫瑰花求当天的利润单位:元关于当天需求量单位:枝的函数解析式.2花店记录了100天玫瑰花的日需求量单位:枝整理得下表:以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.i若花店一天购进枝玫瑰花表示当天的利润单位:元求的分布列数学期望及方差;ii若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花你认为应购进16枝还是17枝请说明理由..(2012年高考(浙江理))已知箱中装有4个白球和5个黑球且规定:取出一个白球的2分取出一个黑球的1分.现从该箱中任取无放回且每球取到的机会均等3个球记随机变量X为取出3球所得分数之和.Ⅰ求X的分布列;Ⅱ求X的数学期望EX..(2012年高考(重庆理))本小题满分13分Ⅰ小问5分Ⅱ小问8分.甲、乙两人轮流投篮每人每次投一球.约定甲先投且先投中者获胜一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为乙每次投篮投中的概率为且各次投篮互不影响.Ⅰ求甲获胜的概率;Ⅱ求投篮结束时甲的投篮次数的分布列与期望.(2012年高考(四川理))某居民小区有两个相互独立的安全防范系统简称系统和系统和在任意时刻发生故障的概率分别为和.Ⅰ若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为求的值;Ⅱ设系统在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量求的概率分布列及数学期望..(2012年高考(陕西理))某银行柜台设有一个服务窗口假设顾客办理业务所需的时间互相独立且都是整数分钟对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下:从第一个顾客开始办理业务时计时.1估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率;2表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数求的分布列及数学期望..(2012年高考(山东理))先在甲、乙两个靶.某射手向甲靶射击一次命中的概率为命中得1分没有命中得0分;向乙靶射击两次每次命中的概率为Ⅰ求该射手恰好命中一次得的概率;Ⅱ求该射手的总得分的分布列及数学期望..(2012年高考(辽宁理))电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况随机抽取了100名观众进行调查.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图;将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”.Ⅰ根据已知条件完成下面的列联表并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关Ⅱ将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该地区大量电视观众中采用随机抽样方法每次抽取1名观众抽取3次记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X.若每次抽取的结果是相互独立的求X的分布列期望和方差.附:.(2012年高考(江西理))如图从A1100A2200B1020B2020C1001C2002这6个点中随机选取3个点将这3个点及原点O两两相连构成一个“立体”记该“立体”的体积为随机变量V如果选取的3个点与原点在同一个平面内此时“立体”的体积V=
0.1求V=0的概率;2求V的分布列及数学期望..(2012年高考(江苏))设为随机变量从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条当两条棱相交时;当两条棱平行时的值为两条棱之间的距离;当两条棱异面时.1求概率;2求的分布列并求其数学期望..(2012年高考(湖南理))某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据如下表所示.一次购物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顾客数人302510结算时间分钟/人
11.
522.53已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55%.Ⅰ确定xy的值并求顾客一次购物的结算时间X的分布列与数学期望;Ⅱ若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算且各顾客的结算相互独立求该顾客结算前的等候时间不超过2钟的概率.注:将频率视为概率.(2012年高考(湖北理))根据以往的经验某工程施工期间的降水量X单位:mm对工期的影响如下表:降水量X工期延误天数02610历年气象资料表明该工程施工期间降水量X小于300700900的概率分别为
0.
30.
70.
9.求:Ⅰ工期延误天数的均值与方差;Ⅱ在降水量X至少是的条件下工期延误不超过6天的概率..(2012年高考(广东理))概率统计某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图4所示其中成绩分组区间是:、、、、、.Ⅰ求图中的值;Ⅱ从成绩不低于80分的学生中随机选取2人该2人中成绩在90分以上含90分的人数记为求的数学期望..(2012年高考(福建理))受轿车在保修期内维修费等因素的影响企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车保修期均为2年现从该厂已售出的两种品牌轿车中随机抽取50辆统计书数据如下:品牌甲乙首次出现故障时间年轿车数量辆2345545每辆利润万元123将频率视为概率解答下列问题:I从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆求首次出现故障发生在保修期内的概率;II若该厂生产的轿车均能售出记住生产一辆甲品牌轿车的利润为生产一辆乙品牌轿车的利润为分别求的分布列;III该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当由于资金限制只能生产其中一种品牌轿车若从经济效益的角度考虑你认为应该产生哪种品牌的轿车说明理由..(2012年高考(大纲理))注意:在试题卷上作答无效乒乓球比赛规则规定:一局比赛双方比分在10平前一方连续发球2次后对方再连续发球2次依次轮换每次发球胜方得1分负方得0分.设在甲、乙的比赛中每次发球发球方得1分的概率为各次发球的胜负结果相互独立.甲、乙的一局比赛中甲先发球.1求开始第4次发球时甲、乙的比分为1比2的概率;2表示开始第4次发球时乙的得分求的期望..(2012年高考(北京理))近年来某市为促进生活垃圾的分类处理将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类并分别设置了相应的垃圾箱为调查居民生活垃圾分类投放情况现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾数据统计如下单位:吨:“厨余垃圾”箱“可回收物”箱“其他垃圾”箱厨余垃圾400100100可回收物3024030其他垃圾2020601试估计厨余垃圾投放正确的概率;2试估计生活垃圾投放错误的概率;3假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为其中.当数据的方差最大时写出的值结论不要求证明并求此时的值.注:方差其中为的平均数.(2012年高考(安徽理))某单位招聘面试每次从试题库随机调用一道试题若调用的是类型试题则使用后该试题回库并增补一道类试题和一道类型试题入库此次调题工作结束;若调用的是类型试题则使用后该试题回库此次调题工作结束.试题库中现共有道试题其中有道类型试题和道类型试题以表示两次调题工作完成后试题库中类试题的数量.Ⅰ求的概率;Ⅱ设求的分布列和均值数学期望.2012年高考真题理科数学解析汇编概率参考答案
一、选择题【答案】C【解析】设线段AC的长为cm则线段CB的长为cm那么矩形的面积为cm2由解得.又所以该矩形面积小于32cm2的概率为故选C【点评】本题主要考查函数模型的应用、不等式的解法、几何概型的计算以及分析问题的能力属于中档题.考点分析:本题考察几何概型及平面图形面积求法.解析:令扇形OAB为对称图形ACBD围成面积为围成OC为作对称轴OD则过C点.即为以OA为直径的半圆面积减去三角形OAC的面积.在扇形OAD中为扇形面积减去三角形OAC面积和扇形OAB面积选A.解析:D.两位数共有90个其中个位数与十位数之和为奇数的两位数有45个个位数为0的有5个所以概率为.【答案】D【解析】题目中表示的区域表示正方形区域而动点可以存在的位置为正方形面积减去四分之一的圆的面积部分因此故选D【考点定位】本小题是一道综合题它涉及到的知识包括:线性规划圆的概念和面积公式、概率.[解析]=t++++=t++++];记同理得只要比较与有大小所以选A.[评注]本题的数据范围够阴的似乎为了与选项D匹配若为此范围面困惑那就中了阴招!稍加计算考生会发现和相等其中的智者更会发现第二组数据是第一组数据的两两平均值故比第一组更“集中”、更“稳定”根据方差的涵义立得而迅即攻下此题.
二、填空题[解析]设概率p=则求k分三步:
①选二人让他们选择的项目相同有种;
②确定上述二人所选择的相同的项目有种;
③确定另一人所选的项目有种.所以故p=.【答案】.【考点】等比数列概率.【解析】∵以1为首项为公比的等比数列的10个数为1-39-27···其中有5个负数1个正数1计6个数小于8∴从这10个数中随机抽取一个数它小于8的概率是.【解析】使用寿命超过1000小时的概率为三个电子元件的使用寿命均服从正态分布得:三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为超过1000小时时元件1或元件2正常工作的概率那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为
三、解答题【命题意图】本小题主要考查古典概型及其计算公式互斥事件、事件的相互独立性、离散型随机变量的分布列与数学期望等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.依题意这4个人中每个人去参加甲游戏的概率为去参加乙游戏的概率为.设“这4个人中恰有人去参加甲游戏”为事件则.1这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率为.2设“这4人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”不事件则由于与互斥故所以这4人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为.3的所有可能的取值为由于与互斥与互斥故所以的分布列为024随机变量的数学期望.【点评】应用性问题是高考命题的一个重要考点近年来都通过概率问题来考查且常考常新对于此类考题要注意认真审题从数学与实际生活两个角度来理解问题的实质将问题成功转化为古典概型独立事件、互斥事件等概率模型求解因此对概率型应用性问题理解是基础转化是关键..【解析】1当时当时得:2i可取的分布列为ii购进17枝时当天的利润为得:应购进17枝【解析】本题主要考察分布列数学期望等知识点.ⅠX的可能取值有:
3456.;;;.故所求X的分布列为X3456PⅡ所求X的数学期望EX为:EX=.【答案】Ⅰ见解析;Ⅱ.【考点定位】本题考查离散随机变量的分布列和期望与相互独立事件的概率考查运用概率知识解决实际问题的能力相互独立事件是指两事件发生的概率互不影响注意应用相互独立事件同时发生的概率公式.解:设分别表示甲、乙在第次投篮投中则1记“甲获胜”为事件C由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知2的所有可能为:由独立性知:综上知有分布列123从而次[解析]1设:“至少有一个系统不发生故障”为事件C那么1-PC=1-P=解得P=4分2由题意P=0=P=1=P=2=P=3=所以随机变量的概率分布列为:0123P故随机变量X的数学期望为:E=
0.[点评]本小题主要考查相互独立事件独立重复试验、互斥事件、随机变量的分布列、数学期望等概念及相关计算考查运用概率知识与方法解决实际问题的能力.解析:设表示顾客办理业务所需的时间用频率估计概率得的分布列如下:
123450.
10.
40.
30.
10.11表示事件“第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务”则事件A对应三种情形:
①第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟且第二个顾客办理业务所需的时间为3分钟;
②第一个顾客办理业务所需的时间为3分钟且第二个顾客办理业务所需的时间为1分钟;
③第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为2分钟.所以2解法一所有可能的取值为对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟所以对应第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟且第二个顾客办理业务所需的时间超过1分钟或第一个顾客办理业务所需的时间为2分钟.所以对应两个顾客办理业务所需时间均为1分钟所以所以的分布列为
0120.
50.
490.01解法二所有可能的取值为对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟所以对应两个顾客办理业务所需时间均为1分钟所以所以的分布列为
0120.
50.
490.01解析:Ⅰ;ⅡX012345PEX=0×+1×+2×+3×+4×+5×=.【答案及解析】I由频率颁布直方图可知在抽取的100人中“体育迷”有25人从而2×2列联表如下:由2×2列联表中数据代入公式计算得:因为
3.
0303.841所以没有理由认为“体育迷”与性别有关.II由频率颁布直方图知抽到“体育迷”的频率为
0.25将频率视为概率即从观众中抽取一名“体育迷”的概率为由题意从而X的分布列为:【点评】本题主要考查统计中的频率分布直方图、独立性检验、离散型随机变量的分布列期望和方差考查分析解决问题的能力、运算求解能力难度适中.准确读取频率分布直方图中的数据是解题的关键..【解析】解:1从6个点中随机地选取3个点共有种选法选取的3个点与原点O在同一个平面上的选法有种因此V=0的概率2V的所有可能值为因此V的分布列为V0P由V的分布列可得:EV=【点评】本题考查组合数随机变量的概率离散型随机变量的分布列、期望等.高考中概率解答题一般有两大方向的考查.
一、以频率分布直方图为载体考查统计学中常见的数据特征:如平均数中位数频数频率等或古典概型;
二、以应用题为载体考查条件概率独立事件的概率随机变量的期望与方差等.来年需要注意第一种方向的考查.【答案】解:1若两条棱相交则交点必为正方体8个顶点中的一个过任意1个顶点恰有3条棱∴共有对相交棱.∴.2若两条棱平行则它们的距离为1或其中距离为的共有6对∴.∴随机变量的分布列是:01∴其数学期望.【考点】概率分布、数学期望等基础知识.【解析】1求出两条棱相交时相交棱的对数即可由概率公式求得概率.2求出两条棱平行且距离为的共有6对即可求出从而求出两条棱平行且距离为1和两条棱异面因此得到随机变量的分布列求出其数学期望.【解析】1由已知得所以该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体所以收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量随机样本将频率视为概率得的分布为X
11.
522.53PX的数学期望为.Ⅱ记A为事件“该顾客结算前的等候时间不超过2钟”为该顾客前面第位顾客的结算时间则.由于顾客的结算相互独立且的分布列都与X的分布列相同所以.故该顾客结算前的等候时间不超过2钟的概率为.【点评】本题考查概率统计的基础知识考查分布列及数学期望的计算考查运算能力、分析问题能力.第一问中根据统计表和100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55%知从而解得计算每一个变量对应的概率从而求得分布列和期望;第二问通过设事件判断事件之间互斥关系从而求得该顾客结算前的等候时间不超过2钟的概率.考点分析:本题考察条件概率、离散型条件概率分布列的期望与方差.解析:Ⅰ由已知条件和概率的加法公式有:..所以的分布列为:
026100.
30.
40.
20.1于是;.故工期延误天数的均值为3方差为.Ⅱ由概率的加法公式又.由条件概率得.故在降水量X至少是mm的条件下工期延误不超过6天的概率是.解析:Ⅰ由解得.Ⅱ分数在、的人数分别是人、人.所以的取值为
0、
1、
2.所以的数学期望是.【考点定位】本题主要考查古典概型、互斥事件的概率、离散型随机变量的分布列、数学期望等基础知识考查数据处理能力、应用意识、考查必然与或然思想.解:1设“品牌轿车甲首次出现故障在保修期内”为事件则.2依题意的分布列分别如下:1233由2得所以应生产甲品牌的轿车.【命题意图】本试题主要是考查了独立事件的概率的求解以及分布列和期望值的问题.首先要理解发球的具体情况然后对于事件的情况分析、讨论并结合独立事件的概率求解结论.解:记为事件“第i次发球甲胜”i=123则.Ⅰ事件“开始第次发球时甲、乙的比分为比”为由互斥事件有一个发生的概率加法公式得.即开始第次发球时甲、乙的比分为比的概率为
0.352Ⅱ由题意.;=
0.408;;所以【点评】首先从试题的选材上来源于生活同学们比较熟悉的背景同时建立在该基础上求解进行分类讨论的思想的运用以及能结合独立事件的概率公式求解分布列的问题.情景比较亲切容易入手但是在讨论情况的时候容易丢情况.【考点定位】此题的难度集中在第三问其他两问难度不大第三问是对能力的考查不要求证明即不要求说明理由但是要求学生对方差意义的理解非常深刻.1由题意可知:2由题意可知:3由题意可知:因此有当时有.【解析】I表示两次调题均为类型试题概率为Ⅱ时每次调用的是类型试题的概率为随机变量可取答:Ⅰ的概率为Ⅱ求的均值为第8题图ABCDPEF图
①G534。