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2012年全国中考数学试题分类解析汇编159套63专题)专题9一元二次方程
一、选择题
1.(2012天津市3分)若关于x的一元二次方程(x-2)(x-3)=m有实数根x1x2,且x1≠x2,有下列结论
①x1=2,x2=3;
②;
③二次函数y=(x-x1)(x-x2)+m的图象与x轴交点的坐标为(2,0)和(3,0).其中,正确结论的个数是【】(A)0(B)1(C)2(D)3【答案】C【考点】抛物线与x轴的交点,一元二次方程的解,一元二次方程根的判别式和根与系数的关系【分析】
①∵一元二次方程实数根分别为x
1、x2,∴x1=2,x2=3,只有在m=0时才能成立,故结论
①错误
②一元二次方程(x-2)(x-3)=m化为一般形式得x2-5x+6-m=0,∵方程有两个不相等的实数根x
1、x2,∴△=b2-4ac=(-5)2-4(6-m)=4m+1>0,解得故结论
②正确
③∵一元二次方程x2-5x+6-m=0实数根分别为x
1、x2,∴x1+x2=5,x1x2=6-m∴二次函数y=(x-x1)(x-x2)+m=x2-(x1+x2)x+x1x2+m=x2-5x+(6-m)+m=x2-5x+6=(x-2)(x-3)令y=0,即(x-2)(x-3)=0,解得x=2或3∴抛物线与x轴的交点为(2,0)或(3,0),故结论
③正确综上所述,正确的结论有2个
②③故选C
2.(2012广东佛山3分)用配方法解一元二次方程x2-2x-3=0时,方程变形正确的是【】 A.(x-1)2=2B.(x-1)2=4C.(x-1)2=1D.(x-1)2=7【答案】B【考点】用配方法解一元二次方程【分析】由x2-2x-3=0移项得x2-2x=3,两边都加上1得x2-2x+1=3+1,即(x-1)2=4则用配方法解一元二次方程x2-2x-3=0时,方程变形正确的是(x-1)2=4故选B
3.(2012江苏淮安3分)方程的解为【】A、B、C、D、【答案】D【考点】方程的解,因式分解法解一元二次方程【分析】解出方程与所给选项比较即可故选D
4.(2012福建莆田4分)方程的两根分别为【】A.=-1,=2B.=1,=2C.=―l,=-2D.=1,=-2【答案】D【考点】因式分解法解一元二次方程【分析】(x-1)(x+2)=0,可化为x-1=0或x+2=0,解得x1=1,x2=-2故选D
5.(2012湖北武汉3分)若x
1、x2是一元二次方程x2-3x+2=0的两根,则x1+x2的值是【】A.-2B.2C.3D.1【答案】C【考点】一元二次方程根与系数的关系【分析】根据一元二次方程根与系数的关系,得x1+x2=3故选C
6.(2012湖北荆门3分)用配方法解关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3=0,配方后的方程可以是【】A.(x﹣1)2=4B.(x+1)2=4C.(x﹣1)2=16D.(x+1)2=16【答案】A【考点】配方法【分析】把方程x2﹣2x﹣3=0的常数项移到等号的右边,得到x2﹣2x=3,方程两边同时加上一次项系数一半的平方,得到x2﹣2x+1=3+1,即(x﹣1)2=4故选A
7.(2012湖北天门、仙桃、潜江、江汉油田3分)如果关于x的一元二次方程x2+4x+a=0的两个不相等实数根x1,x2满足x1x2﹣2x1﹣2x2﹣5=0,那么a的值为【】A.3B.﹣3C.13D.﹣13【答案】B【考点】一元二次方程根与系数的关系【分析】∵x1,x2是关于x的一元二次方程x2+4x+a=0的两个不相等实数根,∴x1+x2=﹣4,x1x2=a∴x1x2﹣2x1﹣2x2﹣5=x1x2﹣2(x1+x2)﹣5=a﹣2×(﹣4)﹣5=0,即a+3=0,解得,a=﹣3故选B
8.(2012湖北荆州3分)用配方法解关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3=0,配方后的方程可以是【】A.(x﹣1)2=4B.(x+1)2=4C.(x﹣1)2=16D.(x+1)2=16【答案】A【考点】配方法【分析】把方程x2﹣2x﹣3=0的常数项移到等号的右边,得到x2﹣2x=3,方程两边同时加上一次项系数一半的平方,得到x2﹣2x+1=3+1,即(x﹣1)2=4故选A
9.(2012湖北襄阳3分)如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根,那么k的取值范围是【】A.k<B.k<且k≠0C.﹣≤k<D.﹣≤k<且k≠0【答案】D【考点】一元二次方程定义和根的判别式,二次根式有意义的条件【分析】由题意,根据一元二次方程二次项系数不为0定义知k≠0;根据二次根式被开方数非负数的条件得2k+1≥0;根据方程有两个不相等的实数根,得△=2k+1﹣4k>0三者联立,解得﹣≤k<且k≠0故选D
10.(2012湖南常德3分)若一元二次方程有实数解,则m的取值范围是【】A.B.C.D.【答案】B【考点】一元二次方程根的判别式【分析】由一元二次方程有实数根,得到根的判别式大于等于0,列出关于m的不等式,求出不等式的解集即可得到m的取值范围∵一元二次方程有实数解,∴△=b2-4ac=22-4m≥0,解得m≤1∴m的取值范围是m≤1故选B
11.(2012湖南株洲3分)已知关于x的一元二次方程x2﹣bx+c=0的两根分别为x1=1,x2=﹣2,则b与c的值分别为【】 A.b=﹣1,c=2 B.b=1,c=﹣2 C.b=1,c=2 D.b=﹣1,c=﹣2【答案】D【考点】一元二次方程根与系数的关系【分析】∵关于x的一元二次方程x2﹣bx+c=0的两根分别为x1=1,x2=﹣2,∴x1+x2=b=1+(﹣2)=﹣1,x1•x2=c=1×(﹣2)=﹣2∴b=﹣1,c=﹣2故选D
12.(2012四川攀枝花3分)已知一元二次方程x2﹣3x﹣1=0的两个根分别是x
1、x2,则x12x2+x1x22的值为【】 A.﹣3B.3C.﹣6D.6【答案】A【考点】一元二次方程根与系数的关系,求代数式的值【分析】由一元二次方程x2﹣3x﹣1=0的两个根分别是x
1、x2,根据一元二次方程根与系数的关系得,x1+x2=3,x1x2=―1,∴x12x2+x1x22=x1x2(x1+x2)=(-1)·3=-3故选A
13.(2012四川广安3分)已知关于x的一元二次方程(a﹣l)x2﹣2x+l=0有两个不相等的实数根,则a的取值范围是【】A.a>2B.a<2C.a<2且a≠lD.a<﹣2【答案】C【考点】一元二次方程根的判别式,一元二次方程定义【分析】利用一元二次方程根的判别式列不等式,解不等式求出a的取值范围,结合一元二次方程定义作出判断∵由△=4﹣4(a﹣1)=8﹣4a>0解得a<2又根据一元二次方程二次顶系数不为0的定义,a﹣1≠0,∴a<2且a≠1故选C
14.(2012四川泸州2分)若关于x的一元二次方程x2-4x+2k=0有两个实数根,则k的取值范围是【】A、k≥2B、k≤2C、k>-2D、k<-2【答案】B【考点】一元二次方程根的判别式,解一元一次不等式【分析】由于已知方程有两个实数根,根据一元二次方程的根与判别式的关系,建立关于k的不等式,解不等式即可求出k的取值范围∵a=1,b=-4,c=2k,且方程有两个实数根,∴△=b2-4ac=16-8k≥0,解得,k≤2故选B
15.(2012四川南充3分)方程x(x-2)+x-2=0的解是【】(A)2 (B)-21 (C)-1 (D)2-1【答案】D【考点】因式分解法解一元二次方程【分析】先利用提公因式因式分解,再化为两个一元一次方程,解方程即可由x(x﹣2)+(x-2)=0,得(x-2)(x+1)=0,∴x-2=0或x+1=0,∴x1=2,x2=-1故选D
16.(2012贵州安顺3分)已知1是关于x的一元二次方程(m﹣1)x2+x+1=0的一个根,则m的值是【】 A.1B.﹣1C.0D.无法确定【答案】B【考点】一元二次方程的解,一元二次方程的定义【分析】根据题意得(m﹣1)+1+1=0,解得m=﹣1故选B
17.(2012山东东营3分)方程有两个实数根,则k的取值范围是【】.A.k≥1B.k≤1C.k1D.k1【答案】D【考点】一元二次方程的意义和根的判别式【分析】当k=1时,原方程不成立,故k≠1,当k≠1时,方程为一元二次方程∵此方程有两个实数根,∴,解得k≤1综上k的取值范围是k<1故选D
18.(2012山东莱芜3分)已知m、n是方程x2+2x+1=0的两根,则代数式的值为【】A.9B.±3C.3D.5【答案】C【考点】一元二次方程根与系数的关系,求代数式的值【分析】∵m、n是方程x2+2x+1=0的两根,∴m+n=,mn=1∴故选C
19.(2012山东临沂3分)用配方法解一元二次方程时,此方程可变形为【】 A.B.C.D.【答案】D【考点】配方法解一元二次方程【分析】故选D
20.(2012山东日照4分)已知关于x的一元二次方程k-22x2+2k+1x+1=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是【】Ak且k≠2Bk≥且k≠2Ck且k≠2Dk≥且k≠2【答案】C【考点】一元二次方程根的判别式,一元二次方程的定义【分析】∵方程为一元二次方程,∴k-2≠0,即k≠2∵方程有两个不相等的实数根,∴△>0,∴(2k+1)2-4(k-2)2>0,即(2k+1-2k+4)(2k+1+2k-4)>0,∴5(4k-3)>0,k>∴k的取值范围是k>且k≠2故选C
21.(2012山东烟台3分)下列一元二次方程两实数根和为﹣4的是【】 A.x2+2x﹣4=0 B.x2﹣4x+4=0 C.x2+4x+10=0 D.x2+4x﹣5=0【答案】D【考点】一元二次方程根的判别式和根与系数的关系【分析】根据一元二次方程根的判别式和根与系数的关系,要使方程的两实数根和为﹣4,必须方程根的判别式△=b2﹣4ac≥0,且x1+x2=﹣=﹣4据此逐一作出判断 A.x2+2x﹣4=0△=b2﹣4ac=20>0,x1+x2=﹣=﹣2,所以本选项不合题意;B.x2﹣4x+4=0△=b2﹣4ac=0,x1+x2=﹣=4,所以本选项不合题意;C.x2+4x+10=0△=b2﹣4ac=﹣28<0,方程无实数根,所以本选项不合题意;D.x2+4x﹣5=0b2﹣4ac=36>0,,x1+x2=﹣=﹣4,所以本选项符号题意故选D
22.(2012广西桂林3分)关于x的方程x2-2x+k=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是【】A.k<1B.k>1C.k<-1D.k>-1【答案】A【考点】一元二次方程根的判别式【分析】∵关于x的方程x2-2x+k=0有两个不相等的实数根,∴△>0,即4-4k>0,k<1故选A
23.(2012广西河池3分)一元二次方程的根的情况是【】A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C.只有一个实数根D.无实数根【答案】D【考点】一元二次方程根的判别式【分析】∵中,a=1,b=2,c=2,∴△∴无实数根故选D
24.(2012广西来宾3分)已知关于x的一元二次方程x2+x+m=0的一个实数根为1,那么它的另一个实数根是【】A.-2B.0C.1D.2【答案】A【考点】一元二次方程要挟与系数的关系【分析】设方程的另一个实数根为x,则根据一元二次方程要挟与系数的关系,得x+1=-1,解得x=-2故选A
25.(2012广西柳州3分)你认为方程x2+2x-3=0的解应该是【】A.1 B.-3 C.3 D.1或-3【答案】D【考点】因式分解法解一元二次方程【分析】利用因式分解法,原方程可变为(x+3)(x-1)=0,即可得x+3=0或x-1=0,解得x1=-3,x2=1故选D
26.(2012河北省3分)用配方法解方程x2+4x+1=0,配方后的方程是【】A.(x+2)2=3B.(x-2)2=3C.(x-2)2=5D.(x+2)2=5【答案】A【考点】配方法解一元二次方程【分析】把方程x2+4x+1=0的常数项移到等号的右边,得到x2+4x=-1,方程两边同时加上一次项系数一半的平方,得到x2+4x+4=-1+4,∴(x+2)2=3故选A
27.(2012江西南昌3分)已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣a=0有两个相等的实数根,则a的值是【】 A.1B.﹣1C.D.﹣【答案】B【考点】一元二次方程根的判别式【分析】∵关于x的一元二次方程x2+2x﹣a=0有两个相等的实数根,∴△=22+4a=0,解得a=﹣1故选B
28.(2012江西南昌3分)已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣a=0有两个相等的实数根,则a的值是【】 A.1B.﹣1C.D.﹣【答案】B【考点】一元二次方程根的判别式【分析】∵关于x的一元二次方程x2+2x﹣a=0有两个相等的实数根,∴△=22+4a=0,解得a=﹣1故选B
29.(2012内蒙古呼和浩特3分)已知x1,x2是一元二次方程x2+2ax+b=0的两根,且x1+x2=3,x1x2=1,则a、b的值分别是【】A.a=﹣3,b=1B.a=3,b=1C.,b=﹣1D.,b=1【答案】D【考点】一元二次方程根与系数的关系【分析】∵x1,x2是一元二次方程x2+2ax+b=0的两根,∴x1+x2=﹣2a,x1x2=b,∵x1+x2=3,x1x2=1,∴﹣2a=3,b=1,解得,b=1故选D
30.(2012内蒙古包头3分)关于x的一元二次方程的两个正实数根分别为x1,x2,且2x1+x2=7,则m的值是【】A.2B.6C.2或6D.7【答案】B【考点】一元二次方程根与系数的关系,解不等式和一元二次方程【分析】∵方程有两个正实数根,∴又∵2x1+x2=7,∴x1=7-m将x1=7-m代入方程,得解得m=2或m=6∵,∴m=6故选B
31.
二、填空题
1.(2012北京市4分)若关于的方程有两个相等的实数根,则的值是▲.【答案】-1【考点】一元二次方程根的判别【分析】根据方程有两个相等的实数根,判断出根的判别式为0,据此求出m的值即可∵关于x的方程x2-2x-m=0有两个相等的实数根,∴△=0,∴(-2)2-4×1×(-m)=0,解得m=-
12.(2012上海市4分)如果关于x的一元二次方程x2﹣6x+c=0(c是常数)没有实根,那么c的取值范围是▲.【答案】c>9【考点】一元二次方程根的判别式【分析】∵关于x的一元二次方程x2﹣6x+c=0(c是常数)没有实根,∴△=(﹣6)2﹣4c<0,即36﹣4c<0,c>
93.(2012广东广州3分)已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+k=0有两个相等的实数根,则k值为 ▲ .【答案】3【考点】一元二次方程根的判别式【分析】∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+k=0有两个相等的实数根,∴△=(﹣2)2﹣4k=0,解得k=
34.(2012江苏镇江2分)若,则x=▲【答案】±3【考点】解一元二次方程【分析】根据平方根的定义,求数a的平方根,也就是求一个数x,使得x2=a,则x就是a的一个平方根∵(±3)2=9,∴x=±
35.(2012江苏常州2分)已知关于x的方程的一个根是2,则m=▲,另一根为▲
7.(2012湖北随州4分)设,且1-ab2≠0,则=▲.【答案】【考点】解一元二次方程,求代数式的值【分析】解得,解得∵,∴又∵1-ab2≠0,∴∴∴∴
8.(2012湖北鄂州3分)设x
1、x2是一元二次方程x2+5x-3=0的两个实根,且,则a=▲.【答案】10【考点】一元二次方程的解和根与系数的关系【分析】∵x
1、x2是一元二次方程x2+5x-3=0的两个实根,∴x22+5x2-3=0,x1x2=-3又∵,即,即∴,即,解得a=
109.(2012湖南张家界3分)已知m和n是方程2x2﹣5x﹣3=0的两根,则=▲.【答案】【考点】一元二次方程根与系数的关系,代数式化简【分析】∵m和n是方程2x2﹣5x﹣3=0的两根,∴∴
2.(2012湖南岳阳3分)若关于x的一元二次方程kx2+2(k+1)x+k﹣1=0有两个实数根,则k的取值范围是 ▲ .【答案】k≥,且k≠0【考点】一元二次方程根的判别式【分析】若一元二次方程有两不等实数根,则根的判别式△=b2﹣4ac≥0,建立关于k的不等式,求出k的取值范围.还要注意二次项系数不为0∵a=k,b=2(k+1),c=k﹣1,∴△=[2(k+1)]2﹣4×k×(k﹣1)=8k+6≥0,解得k≥∵原方程是一元二次方程,∴k≠0∴k的取值范围是k≥,且k≠
010.(2012四川资阳3分)关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根,则k的取值范围是▲.【答案】k<且k≠0【考点】一元二次方程根的判别式,一元二次方程的定义【分析】根据一元二次方程kx2-x+1=0有两个不相等的实数根,知△=b2-4ac>0,然后据此列出关于k的方程,解方程,结合一元二次方程的定义即可求解∵有两个不相等的实数根,∴△=1-4k>0,且k≠0,解得,k<且k≠
011.(2012四川泸州3分)设x1x2是一元二次方程x2–3x–1=0的两个实数根,则的值为▲【答案】7【考点】一元二次方程根与系数的关系,求代数式的值【分析】∵x1x2是一元二次方程x2–3x–1=0的两个实数根,∴x1+x2=3,x1•x2=-1∴
12.(2012辽宁朝阳3分)一元二次方程有两个不相等的实数根,则a的取值范围为▲【答案】a<且a≠0【考点】一元二次方程根的判别式,一元二次方程定义【分析】∵方程有两个不相等的实数根,∴△>0,即4-16a>0,解得a<∵程是一元二次方程,∴a≠0∴a的取值范围为a<且a≠
013.(2012辽宁大连3分)如果关于x的方程x2+kx+9=0有两个相等的实数根,那么k的值为▲ 【答案】±6【考点】一元二次方程根的判别式,解一元二次方程【分析】∵关于x的方程x2+kx+9=0有两个相等的实数根,∴△=k2-4·1·9=0解得k=±
614.(2012贵州铜仁4分)一元二次方程的解是▲.【答案】x1=3,x2=﹣1【考点】因式分解法解一元二次方程【分析】原方程可化为(x﹣3)(x+1)=0,得x﹣3=0或x+1=0,∴x1=3,x2=﹣
115.(2012山东滨州4分)方程x(x﹣2)=x的根是▲.【答案】0,3【考点】因式分解法解一元二次方程【分析】原方程可化为x(x﹣2)﹣x=0,x(x﹣2﹣1)=0,x=0或x﹣3=0,解得x1=0,x2=
316.(2012山东德州4分)若关于x的方程ax2+2(a+2)x+a=0有实数解,那么实数a的取值范围是 ▲ .【答案】a≥-1【考点】一元一次方程和一元二次方程的定义,一元二次方程根的判别式【分析】当a=0时,方程是一元一次方程,有实数根,当a≠0时,方程是一元二次方程,若关于x的方程ax2+2(a+2)x+a=0有实数解,则△=[2(a+2)]2-4a•a≥0,解得a≥-1∴若关于x的方程ax2+2(a+2)x+a=0有实数解,那么实数a的取值范围是a≥-
117.(2012山东聊城3分)一元二次方程x2﹣2x=0的解是 ▲ .【答案】x1=0,x2=2【考点】因式分解法解一元二次方程【分析】对方程左边进行变形,提取公因式x,可得x(x﹣2)=0,将原式化为两式相乘的形式,再根据“两式相乘值为0,这两式中至少有一式值为0.”,即可求得方程的解x1=0,x2=
218.(2012山东日照4分)已知x
1、x2是方程2x2+14x-16=0的两实数根,那么的值为▲.【答案】【考点】一元二次方程根与系数的关系,代数式化简【分析】利用一元二次方程根与系数的关系求得x1+x2和x1•x2的值,然后将所求的代数式转化为含有x1+x2和x1•x2形式,并将其代入求值即可∵x
1、x2是方程2x2+14x-16=0的两实数根,∴x1+x2=-7,x1•x2=-8∴
19.(2012山东威海3分)若关于x的方程的两根互为倒数,则a=▲.【答案】-1【考点】一元二次方程根与系数的关系,倒数【分析】∵关于x的方程的两根互为倒数,∴设两根为x和则根据一元二次方程根与系数的关系,得由得但当时,无意义∴a=-
120.(2012山东枣庄4分)已知关于x的方程的一个根为2,则这个方程的另一个根是 ▲ .【答案】-3【考点】一元二次方程根与系数的关系【分析】∵方程的一个根为2,设另一个为a,∴2a=-6,解得a=-
321.(2012广西柳州3分)一元二次方程3x2+2x-5=0的一次项系数是▲.【答案】2【考点】一元二次方程的一般形式【分析】一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a,b,c是常数且a≠0),其中a,b,c分别叫二次项系数,一次项系数,常数项因此,一元二次方程3x2+2x-5=0的一次项系数是
222.(2012江西省3分)已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣a=0有两个相等的实数根,则m的值是 ▲ 【答案】﹣1【考点】一元二次方程根的判别式【分析】∵关于x的一元二次方程x2+2x﹣a=0有两个相等的实数根,∴△=22+4m=0,解得m=﹣
123.(2012吉林省3分)若方程,的两个根为,则=_▲____.【答案】1【考点】解一元二次方程,求代数式的值【分析】∵,∴
24.(2012黑龙江绥化3分)设a,b是方程x2+x-2013=0的两个不相等的实数根,则a2+2a+b的值为▲【答案】2012【考点】一元二次方程根与系数的关系,一元二次方程的解【分析】∵a,b是方程x2+x-2013=0的两个不相等的实数根,∴a2+a-2013=0,即a2+a=2013又∵a+b=-1,∴a2+2a+b=(a2+a)+(a+b)=2013-1=2012
三、解答题
1.(2012安徽省8分)解方程【答案】解原方程化为x2-4x=1配方,得x2-4x+4=1+4整理,得(x-2)2=5∴x-2=即,【考点】解一元二次方程【分析】根据一元二次方程的几种解法,本题不能直接开平方,也不可用因式分解法.先将方程整理一下,可以考虑用配方法或公式法
2.(2012广东珠海6分)已知关于x的一元二次方程x2+2x+m=0.
(1)当m=3时,判断方程的根的情况;
(2)当m=﹣3时,求方程的根.【答案】解
(1)∵当m=3时,△=b2﹣4ac=22﹣4×3=﹣8<0,∴原方程无实数根
(2)当m=﹣3时,原方程变为x2+2x﹣3=0,∵(x﹣1)(x+3)=0,∴x﹣1=0,x+3=0∴x1=1,x2=﹣3【考点】一元二次方程根的判别式,因式分解法解一元二次方程【分析】
(1)判断一元二次方程根的情况,只要看根的判别式△=b2-4ac的值的符号即可判断当△>0,方程有两个不相等的实数根;当△=0,方程有两个相等的实数根;当△<0,方程没有实数根
(2)把m的值代入方程,用因式分解法求解即可
3.(2012浙江温州5分)解方程x²-2x=5【答案】解配方得(x-1)2=6∴x-1=±∴x1=1+,x2=1-【考点】配方法解一元二次方程【分析】方程两边同时加上1,左边即可化成完全平方式的形式,然后进行开方运算,转化成两个一元一次方程,即可求解
4.(2012江苏无锡4分)解方程x2﹣4x+2=0【答案】解∵△=42﹣4×1×2=8,∴,∴原方程的解为【考点】公式法解一元二次方程【分析】首先找出方程中得a、b、c,再根据公式法求出b2﹣4ac的值,用公式计算,即可得到答案
5.(2012湖北孝感12分)已知关于x的一元二次方程x2+m+3x+m+1=0.1求证无论m取何值,原方程总有两个不相等的实数根;2若x
1、x2是原方程的两根,且|x1-x2|=2,求m的值和此时方程的两根.【答案】解
(1)证明由关于x的一元二次方程x2+m+3x+m+1=0得△=(m+3)2-4(m+1)=(m+1)2+4,∵无论m取何值,(m+1)2+4恒大于0,∴原方程总有两个不相等的实数根
(2)∵x1,x2是原方程的两根,∴x1+x2=-(m+3),x1•x2=m+1∵|x1-x2|=2,∴(x1-x2)2=8,即(x1+x2)2-4x1x2=8∴[-(m+3)]2-4(m+1)=8,即m2+2m-3=0解得m1=-3,m2=1当m=-3时,原方程化为x2-2=0,解得x1=,x2=-当m=1时,原方程化为x2+4x+2=0,解得x1=-2+,x2=-2-【考点】一元二次方程根的判别式和根与系数的关系【分析】
(1)根据关于x的一元二次方程x2+m+3x+m+1=0的根的判别式△=b2-4ac的符号来判定该方程的根的情况
(2)根据根与系数的关系求得x1+x2和x1•x2,由已知条件|x1-x2|=2平方后可以得到关于x1+x2和x1•x2的等式,从而列出关于m的方程,通过解该方程即可求得m的值,最后将m值代入原方程并解方程
6.(2012湖北鄂州8分)关于x的一元二次方程.
(1)证明方程总有两个不相等的实数根;
(2)设这个方程的两个实数根为x1,x2,且|x1|=|x2|-2,求m的值及方程的根【答案】解
(1)证明∵关于x的一元二次方程中,∴方程总有两个不相等的实数根
(2)∵这个方程的两个实数根为x1,x2,∴x1+x2=m-3,x1x2=∵|x1|=|x2|-2,∴|x2|-|x1|=2两边平方,得,即∴,即,解得或当时,方程为,解得当时,方程为,解得【考点】一元二次方程根的判别式和根与系数的关系,解一元二次方程【分析】
(1)只要证得即可
(2)由根与系数的关系,得x1+x2=m-3,x1x2=将|x1|=|x2|-2变形,平方,求出m的值根据m的不同值得方程求解即可
7.(2012湖南永州6分)解方程(x﹣3)2﹣9=0.【答案】解移项得(x﹣3)2=9,开平方得x﹣3=±3,则x﹣3=3或x﹣3=﹣3,解得x1=6,x2=0【考点】直接开平方法解一元二次方程【分析】这个式子先移项,变成(x﹣3)2=9,从而把问题转化为求9的平方根(也可用因式分解法求解)
8.(2012湖南怀化10分)已知是一元二次方程的两个实数根.
(1)是否存在实数a,使成立?若存在,求出a的值;若不存在,请你说明理由;
(2)求使为负整数的实数a的整数值.【答案】解
(1)成立∵是一元二次方程的两个实数根,∴由根与系数的关系可知,;∵一元二次方程有两个实数根,∴△=4a2-4(a-6)•a≥0,且a-6≠0,解得,a≥0,且a≠6由得,即解得,a=24>0,且a-6≠0∴存在实数a,使成立,a的值是24
(2)∵,∴当为负整数时,a-6>0,且a-6是6的约数∴a-6=6,a-6=3,a-6=2,a-6=1∴a=12,9,8,7∴使为负整数的实数a的整数值有12,9,8,7【考点】一元二次方程根与系数的关系和根的判别式,解分式方程【分析】根据根与系数的关系求得;根据一元二次方程的根的判别式求得a的取值范围
(1)将已知等式变形为x1x2=4+(x2+x1),即,通过解该关于a的方程即可求得a的值;
(2)根据限制性条件“(x1+1)(x2+1)为负整数”求得a的取值范围,然后在取值范围内取a的整数值
9.(2012四川内江12分)如果方程的两个根是,那么请根据以上结论,解决下列问题
(1)已知关于的方程求出一个一元二次方程,使它的两个根分别是已知方程两根的倒数;
(2)已知满足求;
(3)已知满足求正数的最小值【答案】解
(1)设关于的方程的两根为,则有,且由已知所求方程的两根为∴,∴所求方程为,即
(2)∵满足,∴是方程的两根∴∴
(3)∵且∴∴是一元二次方程的两个根,代简,得又∵此方程必有实数根,∴此方程的,即,又∵∴∴∴正数的最小值为4.【考点】一元二次方程根与系数的关系和根的判别式,代数式化简【分析】
(1)设方程的两根为,得出,,再根据这个一元二次方程的两个根分别是已知方程两根的倒数,即可求出答案
(2)根据满足,得出是一元二次方程的两个根,由,即可求出的值
(3)根据,得出,是一元二次方程的两个根,再根据,即可求出c的最小值
10.(2012四川巴中5分)解方程
11.(2012四川南充8分)关于x的一元二次方程x2+3x+m-1=0的两个实数根分别为x1x2.
(1)求m的取值范围.
(2)若2(x1+x2)+x1x2+10=0.求m的值.【答案】解
(1)∵方程有两个实数根,∴△≥0∴9-4×1×(m-1)≥0,解得m≤
(2)∵x1+x2=-3,x1x2=m-1,2(x1+x2)+x1x2+10=0,∴2×(-3)+m-1+10=0,解得m=-3【考点】一元二次方程根的判别式和根与系数的关系,解一元一次不等式和一元一次方程【分析】
(1)因为方程有两个实数根,所以△≥0,据此即可求出m的取值范围
(2)根据一元二次方程根与系数的关系,将x1+x2=-3,x1x2=m-1代入2(x1+x2)+x1x2+10=0,解关于m的方程即可
12.(2012四川内江12分)如果方程的两个根是,那么请根据以上结论,解决下列问题
(4)已知关于的方程求出一个一元二次方程,使它的两个根分别是已知方程两根的倒数;
(5)已知满足求;
(6)已知满足求正数的最小值【答案】解
(1)设关于的方程的两根为,则有,且由已知所求方程的两根为∴,∴所求方程为,即
(2)∵满足,∴是方程的两根∴∴
(3)∵且∴∴是一元二次方程的两个根,代简,得又∵此方程必有实数根,∴此方程的,即,又∵∴∴∴正数的最小值为4.【考点】一元二次方程根与系数的关系和根的判别式,代数式化简【分析】
(1)设方程的两根为,得出,,再根据这个一元二次方程的两个根分别是已知方程两根的倒数,即可求出答案
(2)根据满足,得出是一元二次方程的两个根,由,即可求出的值
(3)根据,得出,是一元二次方程的两个根,再根据,即可求出c的最小值
13.(2012山东菏泽6分)解方程.【答案】解原方程可化为,即解得【考点】因式分解法解一元二次方程【分析】把方程整理成标准形式,再运用因式分解法解方程
14.(2012山东淄博9分)一元二次方程的某个根,也是一元二次方程的根,求k的值.【答案】解解得把代入得,解得k=8把代入得,解得k=∴k的值为8或【考点】解一元二次方程和一元二次方程的根【分析】求出一元二次方程的两个根,分别代入求k即可
15.(2012甘肃兰州6分)已知x是一元二次方程x2-2x+1=0的根,求代数式的值.【答案】解∵x2-2x+1=0,∴x1=x2=1,原式=∴当x=1时,原式=【考点】分式的化简求值,一元二次方程的解【分析】解一元二次方程,求出x的值,再将分式化简,将x的值代入分式即可求解
16.(2012黑龙江大庆4分)若方程的两实根为、,求的值.【答案】解∵方程x2﹣x﹣1=0的两实根为a、b,∴a+b=1,ab=﹣1,∴【考点】一元二次方程根与系数的关系,求代数式的值【分析】由方程x2﹣x﹣1=0的两实根为a、b,根据一元二次方程根与系数的关系即可得a+b和ab的值,又由,即可求得答案。