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2012年全国中考数学试题分类解析汇编159套63专题）专题9一元二次方程
一、选择题
1.（2012天津市3分）若关于x的一元二次方程（x－2）（x－3）=m有实数根x1x2，且x1≠x2，有下列结论
①x1=2，x2=3；
②；
③二次函数y=（x－x1）（x－x2）＋m的图象与x轴交点的坐标为（2，0）和（3，0）．其中，正确结论的个数是【】（A）0（B）1（C）2（D）3【答案】C【考点】抛物线与x轴的交点，一元二次方程的解，一元二次方程根的判别式和根与系数的关系【分析】
①∵一元二次方程实数根分别为x
1、x2，∴x1=2，x2=3，只有在m=0时才能成立，故结论
①错误
②一元二次方程（x－2）（x－3）=m化为一般形式得x2－5x＋6－m=0，∵方程有两个不相等的实数根x
1、x2，∴△=b2－4ac=（－5）2－4（6－m）=4m＋1＞0，解得故结论
②正确
③∵一元二次方程x2－5x＋6－m=0实数根分别为x
1、x2，∴x1＋x2=5，x1x2=6－m∴二次函数y=（x－x1）（x－x2）+m=x2－（x1＋x2）x＋x1x2＋m=x2－5x＋（6－m）＋m=x2－5x＋6=（x－2）（x－3）令y=0，即（x－2）（x－3）=0，解得x=2或3∴抛物线与x轴的交点为（2，0）或（3，0），故结论
③正确综上所述，正确的结论有2个
②③故选C
2.（2012广东佛山3分）用配方法解一元二次方程x2－2x－3=0时，方程变形正确的是【】 A．（x－1）2=2B．（x－1）2=4C．（x－1）2=1D．（x－1）2=7【答案】B【考点】用配方法解一元二次方程【分析】由x2－2x－3=0移项得x2－2x=3，两边都加上1得x2－2x＋1=3＋1，即（x－1）2=4则用配方法解一元二次方程x2－2x－3=0时，方程变形正确的是（x－1）2=4故选B
3.（2012江苏淮安3分）方程的解为【】A、B、C、D、【答案】D【考点】方程的解，因式分解法解一元二次方程【分析】解出方程与所给选项比较即可故选D
4.（2012福建莆田4分）方程的两根分别为【】A．＝－1，＝2B．＝1，＝2C．＝―l，＝－2D．＝1，＝－2【答案】D【考点】因式分解法解一元二次方程【分析】（x－1）（x＋2）=0，可化为x－1=0或x＋2=0，解得x1=1，x2=－2故选D
5.（2012湖北武汉3分）若x
1、x2是一元二次方程x2－3x＋2＝0的两根，则x1＋x2的值是【】A．－2B．2C．3D．1【答案】C【考点】一元二次方程根与系数的关系【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，得x1＋x2＝3故选C
6.（2012湖北荆门3分）用配方法解关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3=0，配方后的方程可以是【】A．（x﹣1）2=4B．（x+1）2=4C．（x﹣1）2=16D．（x+1）2=16【答案】A【考点】配方法【分析】把方程x2﹣2x﹣3=0的常数项移到等号的右边，得到x2﹣2x=3，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2﹣2x+1=3+1，即（x﹣1）2=4故选A
7.（2012湖北天门、仙桃、潜江、江汉油田3分）如果关于x的一元二次方程x2+4x+a=0的两个不相等实数根x1，x2满足x1x2﹣2x1﹣2x2﹣5=0，那么a的值为【】A．3B．﹣3C．13D．﹣13【答案】B【考点】一元二次方程根与系数的关系【分析】∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2+4x+a=0的两个不相等实数根，∴x1+x2=﹣4，x1x2=a∴x1x2﹣2x1﹣2x2﹣5=x1x2﹣2（x1+x2）﹣5=a﹣2×（﹣4）﹣5=0，即a+3=0，解得，a=﹣3故选B
8.（2012湖北荆州3分）用配方法解关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3=0，配方后的方程可以是【】A．（x﹣1）2=4B．（x+1）2=4C．（x﹣1）2=16D．（x+1）2=16【答案】A【考点】配方法【分析】把方程x2﹣2x﹣3=0的常数项移到等号的右边，得到x2﹣2x=3，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2﹣2x+1=3+1，即（x﹣1）2=4故选A
9.（2012湖北襄阳3分）如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是【】A．k＜B．k＜且k≠0C．﹣≤k＜D．﹣≤k＜且k≠0【答案】D【考点】一元二次方程定义和根的判别式，二次根式有意义的条件【分析】由题意，根据一元二次方程二次项系数不为0定义知k≠0；根据二次根式被开方数非负数的条件得2k+1≥0；根据方程有两个不相等的实数根，得△=2k+1﹣4k＞0三者联立，解得﹣≤k＜且k≠0故选D
10.（2012湖南常德3分）若一元二次方程有实数解，则m的取值范围是【】A.B.C.D.【答案】B【考点】一元二次方程根的判别式【分析】由一元二次方程有实数根，得到根的判别式大于等于0，列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可得到m的取值范围∵一元二次方程有实数解，∴△=b2－4ac=22－4m≥0，解得m≤1∴m的取值范围是m≤1故选B
11.（2012湖南株洲3分）已知关于x的一元二次方程x2﹣bx+c=0的两根分别为x1=1，x2=﹣2，则b与c的值分别为【】 A．b=﹣1，c=2 B．b=1，c=﹣2 C．b=1，c=2 D．b=﹣1，c=﹣2【答案】D【考点】一元二次方程根与系数的关系【分析】∵关于x的一元二次方程x2﹣bx+c=0的两根分别为x1=1，x2=﹣2，∴x1+x2=b=1+（﹣2）=﹣1，x1•x2=c=1×（﹣2）=﹣2∴b=﹣1，c=﹣2故选D
12.（2012四川攀枝花3分）已知一元二次方程x2﹣3x﹣1=0的两个根分别是x
1、x2，则x12x2+x1x22的值为【】 A．﹣3B．3C．﹣6D．6【答案】A【考点】一元二次方程根与系数的关系，求代数式的值【分析】由一元二次方程x2﹣3x﹣1=0的两个根分别是x
1、x2，根据一元二次方程根与系数的关系得，x1+x2=3，x1x2=―1，∴x12x2＋x1x22=x1x2（x1＋x2）=（－1）·3=－3故选A
13.（2012四川广安3分）已知关于x的一元二次方程（a﹣l）x2﹣2x+l=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是【】A．a＞2B．a＜2C．a＜2且a≠lD．a＜﹣2【答案】C【考点】一元二次方程根的判别式，一元二次方程定义【分析】利用一元二次方程根的判别式列不等式，解不等式求出a的取值范围，结合一元二次方程定义作出判断∵由△=4﹣4（a﹣1）=8﹣4a＞0解得a＜2又根据一元二次方程二次顶系数不为0的定义，a﹣1≠0，∴a＜2且a≠1故选C
14.（2012四川泸州2分）若关于x的一元二次方程x2－4x+2k=0有两个实数根，则k的取值范围是【】A、k≥2B、k≤2C、k＞-2D、k＜-2【答案】B【考点】一元二次方程根的判别式，解一元一次不等式【分析】由于已知方程有两个实数根，根据一元二次方程的根与判别式的关系，建立关于k的不等式，解不等式即可求出k的取值范围∵a＝1，b＝－4，c＝2k，且方程有两个实数根，∴△＝b2－4ac＝16－8k≥0，解得，k≤2故选B
15.（2012四川南充3分）方程x（x-2）+x-2=0的解是【】（A）2 （B）-21 （C）－1 （D）2－1【答案】D【考点】因式分解法解一元二次方程【分析】先利用提公因式因式分解，再化为两个一元一次方程，解方程即可由x（x﹣2）+（x-2）=0，得（x-2）（x+1）=0，∴x-2=0或x+1=0，∴x1=2，x2=-1故选D
16.（2012贵州安顺3分）已知1是关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+1=0的一个根，则m的值是【】 A．1B．﹣1C．0D．无法确定【答案】B【考点】一元二次方程的解，一元二次方程的定义【分析】根据题意得（m﹣1）+1+1=0，解得m=﹣1故选B
17.（2012山东东营3分）方程有两个实数根，则k的取值范围是【】．A．k≥1B．k≤1C．k1D．k1【答案】D【考点】一元二次方程的意义和根的判别式【分析】当k=1时，原方程不成立，故k≠1，当k≠1时，方程为一元二次方程∵此方程有两个实数根，∴，解得k≤1综上k的取值范围是k＜1故选D
18.（2012山东莱芜3分）已知m、n是方程x2＋2x＋1＝0的两根，则代数式的值为【】A．9B．±3C．3D．5【答案】C【考点】一元二次方程根与系数的关系，求代数式的值【分析】∵m、n是方程x2＋2x＋1＝0的两根，∴m＋n=，mn=1∴故选C
19.（2012山东临沂3分）用配方法解一元二次方程时，此方程可变形为【】 A．B．C．D．【答案】D【考点】配方法解一元二次方程【分析】故选D
20.（2012山东日照4分）已知关于x的一元二次方程k－22x2＋2k＋1x＋1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是【】Ak且k≠2Bk≥且k≠2Ck且k≠2Dk≥且k≠2【答案】C【考点】一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义【分析】∵方程为一元二次方程，∴k－2≠0，即k≠2∵方程有两个不相等的实数根，∴△＞0，∴（2k＋1）2－4（k－2）2＞0，即（2k＋1－2k＋4）（2k＋1＋2k－4）＞0，∴5（4k－3）＞0，k＞∴k的取值范围是k＞且k≠2故选C
21.（2012山东烟台3分）下列一元二次方程两实数根和为﹣4的是【】 A．x2+2x﹣4=0 B．x2﹣4x+4=0 C．x2+4x+10=0 D．x2+4x﹣5=0【答案】D【考点】一元二次方程根的判别式和根与系数的关系【分析】根据一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，要使方程的两实数根和为﹣4，必须方程根的判别式△=b2﹣4ac≥0，且x1+x2=﹣=﹣4据此逐一作出判断 A．x2+2x﹣4=0△=b2﹣4ac=20＞0，x1+x2=﹣=﹣2，所以本选项不合题意；B．x2﹣4x+4=0△=b2﹣4ac=0，x1+x2=﹣=4，所以本选项不合题意；C．x2+4x+10=0△=b2﹣4ac=﹣28＜0，方程无实数根，所以本选项不合题意；D．x2+4x﹣5=0b2﹣4ac=36＞0，，x1+x2=﹣=﹣4，所以本选项符号题意故选D
22.（2012广西桂林3分）关于x的方程x2－2x＋k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是【】A．k＜1B．k＞1C．k＜－1D．k＞－1【答案】A【考点】一元二次方程根的判别式【分析】∵关于x的方程x2-2x+k=0有两个不相等的实数根，∴△＞0，即4－4k＞0，k＜1故选A
23.（2012广西河池3分）一元二次方程的根的情况是【】A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．只有一个实数根D．无实数根【答案】D【考点】一元二次方程根的判别式【分析】∵中，a=1，b=2，c=2，∴△∴无实数根故选D
24.（2012广西来宾3分）已知关于x的一元二次方程x2+x+m=0的一个实数根为1，那么它的另一个实数根是【】A．－2B．0C．1D．2【答案】A【考点】一元二次方程要挟与系数的关系【分析】设方程的另一个实数根为x，则根据一元二次方程要挟与系数的关系，得x＋1=－1，解得x=－2故选A
25.（2012广西柳州3分）你认为方程x2＋2x－3=0的解应该是【】A．1 B．-3 C．3 D．1或-3【答案】D【考点】因式分解法解一元二次方程【分析】利用因式分解法，原方程可变为（x+3）（x-1）=0，即可得x+3=0或x-1=0，解得x1=-3，x2=1故选D
26.（2012河北省3分）用配方法解方程x2+4x+1=0，配方后的方程是【】A．（x＋2）2=3B．（x－2）2=3C．（x－2）2=5D．（x+2）2=5【答案】A【考点】配方法解一元二次方程【分析】把方程x2+4x+1=0的常数项移到等号的右边，得到x2＋4x=－1，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2＋4x＋4=－1＋4，∴（x＋2）2=3故选A
27.（2012江西南昌3分）已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣a=0有两个相等的实数根，则a的值是【】 A．1B．﹣1C．D．﹣【答案】B【考点】一元二次方程根的判别式【分析】∵关于x的一元二次方程x2+2x﹣a=0有两个相等的实数根，∴△=22+4a=0，解得a=﹣1故选B
28.（2012江西南昌3分）已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣a=0有两个相等的实数根，则a的值是【】 A．1B．﹣1C．D．﹣【答案】B【考点】一元二次方程根的判别式【分析】∵关于x的一元二次方程x2+2x﹣a=0有两个相等的实数根，∴△=22+4a=0，解得a=﹣1故选B
29.（2012内蒙古呼和浩特3分）已知x1，x2是一元二次方程x2+2ax+b=0的两根，且x1+x2=3，x1x2=1，则a、b的值分别是【】A．a=﹣3，b=1B．a=3，b=1C．，b=﹣1D．，b=1【答案】D【考点】一元二次方程根与系数的关系【分析】∵x1，x2是一元二次方程x2+2ax+b=0的两根，∴x1+x2=﹣2a，x1x2=b，∵x1+x2=3，x1x2=1，∴﹣2a=3，b=1，解得，b=1故选D
30.（2012内蒙古包头3分）关于x的一元二次方程的两个正实数根分别为x1，x2，且2x1+x2=7，则m的值是【】A.2B.6C.2或6D.7【答案】B【考点】一元二次方程根与系数的关系，解不等式和一元二次方程【分析】∵方程有两个正实数根，∴又∵2x1+x2=7，∴x1=7－m将x1=7－m代入方程，得解得m=2或m=6∵，∴m=6故选B
31.
二、填空题
1.（2012北京市4分）若关于的方程有两个相等的实数根，则的值是▲．【答案】－1【考点】一元二次方程根的判别【分析】根据方程有两个相等的实数根，判断出根的判别式为0，据此求出m的值即可∵关于x的方程x2-2x-m=0有两个相等的实数根，∴△=0，∴（－2）2－4×1×（－m）=0，解得m=－
12.（2012上海市4分）如果关于x的一元二次方程x2﹣6x+c=0（c是常数）没有实根，那么c的取值范围是▲．【答案】c＞9【考点】一元二次方程根的判别式【分析】∵关于x的一元二次方程x2﹣6x+c=0（c是常数）没有实根，∴△=（﹣6）2﹣4c＜0，即36﹣4c＜0，c＞
93.（2012广东广州3分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+k=0有两个相等的实数根，则k值为 ▲ ．【答案】3【考点】一元二次方程根的判别式【分析】∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+k=0有两个相等的实数根，∴△=（﹣2）2﹣4k=0，解得k=
34.（2012江苏镇江2分）若，则x=▲【答案】±3【考点】解一元二次方程【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2=a，则x就是a的一个平方根∵（±3）2=9，∴x=±
35.（2012江苏常州2分）已知关于x的方程的一个根是2，则m=▲，另一根为▲
7.（2012湖北随州4分）设，且1－ab2≠0，则=▲.【答案】【考点】解一元二次方程，求代数式的值【分析】解得，解得∵，∴又∵1－ab2≠0，∴∴∴∴
8.（2012湖北鄂州3分）设x
1、x2是一元二次方程x2＋5x－3=0的两个实根，且，则a=▲.【答案】10【考点】一元二次方程的解和根与系数的关系【分析】∵x
1、x2是一元二次方程x2＋5x－3=0的两个实根，∴x22＋5x2－3=0，x1x2=－3又∵，即，即∴，即，解得a=
109.（2012湖南张家界3分）已知m和n是方程2x2﹣5x﹣3=0的两根，则=▲．【答案】【考点】一元二次方程根与系数的关系，代数式化简【分析】∵m和n是方程2x2﹣5x﹣3=0的两根，∴∴
2.（2012湖南岳阳3分）若关于x的一元二次方程kx2+2（k+1）x+k﹣1=0有两个实数根，则k的取值范围是 ▲ ．【答案】k≥，且k≠0【考点】一元二次方程根的判别式【分析】若一元二次方程有两不等实数根，则根的判别式△=b2﹣4ac≥0，建立关于k的不等式，求出k的取值范围．还要注意二次项系数不为0∵a=k，b=2（k+1），c=k﹣1，∴△=[2（k+1）]2﹣4×k×（k﹣1）=8k+6≥0，解得k≥∵原方程是一元二次方程，∴k≠0∴k的取值范围是k≥，且k≠
010.（2012四川资阳3分）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是▲．【答案】k＜且k≠0【考点】一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义【分析】根据一元二次方程kx2-x+1=0有两个不相等的实数根，知△=b2－4ac＞0，然后据此列出关于k的方程，解方程，结合一元二次方程的定义即可求解∵有两个不相等的实数根，∴△=1－4k＞0，且k≠0，解得，k＜且k≠
011.（2012四川泸州3分）设x1x2是一元二次方程x2–3x–1=0的两个实数根，则的值为▲【答案】7【考点】一元二次方程根与系数的关系，求代数式的值【分析】∵x1x2是一元二次方程x2–3x–1=0的两个实数根，∴x1＋x2=3，x1•x2=－1∴
12.（2012辽宁朝阳3分）一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围为▲【答案】a＜且a≠0【考点】一元二次方程根的判别式，一元二次方程定义【分析】∵方程有两个不相等的实数根，∴△＞0，即4－16a＞0，解得a＜∵程是一元二次方程，∴a≠0∴a的取值范围为a＜且a≠
013.（2012辽宁大连3分）如果关于x的方程x2+kx+9=0有两个相等的实数根，那么k的值为▲ 【答案】±6【考点】一元二次方程根的判别式，解一元二次方程【分析】∵关于x的方程x2+kx+9=0有两个相等的实数根，∴△=k2－4·1·9=0解得k=±
614.（2012贵州铜仁4分）一元二次方程的解是▲．【答案】x1=3，x2=﹣1【考点】因式分解法解一元二次方程【分析】原方程可化为（x﹣3）（x+1）=0，得x﹣3=0或x+1=0，∴x1=3，x2=﹣
115.（2012山东滨州4分）方程x（x﹣2）=x的根是▲．【答案】0，3【考点】因式分解法解一元二次方程【分析】原方程可化为x（x﹣2）﹣x=0，x（x﹣2﹣1）=0，x=0或x﹣3=0，解得x1=0，x2=
316.（2012山东德州4分）若关于x的方程ax2＋2（a＋2）x＋a=0有实数解，那么实数a的取值范围是 ▲ ．【答案】a≥－1【考点】一元一次方程和一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式【分析】当a=0时，方程是一元一次方程，有实数根，当a≠0时，方程是一元二次方程，若关于x的方程ax2＋2（a＋2）x＋a=0有实数解，则△=[2（a+2）]2－4a•a≥0，解得a≥－1∴若关于x的方程ax2＋2（a＋2）x＋a=0有实数解，那么实数a的取值范围是a≥－
117.（2012山东聊城3分）一元二次方程x2﹣2x=0的解是 ▲ ．【答案】x1=0，x2=2【考点】因式分解法解一元二次方程【分析】对方程左边进行变形，提取公因式x，可得x（x﹣2）=0，将原式化为两式相乘的形式，再根据“两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0．”，即可求得方程的解x1=0，x2=
218.（2012山东日照4分）已知x
1、x2是方程2x2+14x－16=0的两实数根，那么的值为▲.【答案】【考点】一元二次方程根与系数的关系，代数式化简【分析】利用一元二次方程根与系数的关系求得x1＋x2和x1•x2的值，然后将所求的代数式转化为含有x1＋x2和x1•x2形式，并将其代入求值即可∵x
1、x2是方程2x2+14x－16=0的两实数根，∴x1＋x2=－7，x1•x2=－8∴
19.（2012山东威海3分）若关于x的方程的两根互为倒数，则a=▲.【答案】－1【考点】一元二次方程根与系数的关系，倒数【分析】∵关于x的方程的两根互为倒数，∴设两根为x和则根据一元二次方程根与系数的关系，得由得但当时，无意义∴a=－
120.（2012山东枣庄4分）已知关于x的方程的一个根为2，则这个方程的另一个根是 ▲ ．【答案】－3【考点】一元二次方程根与系数的关系【分析】∵方程的一个根为2，设另一个为a，∴2a=－6，解得a=－
321.（2012广西柳州3分）一元二次方程3x2＋2x－5=0的一次项系数是▲．【答案】2【考点】一元二次方程的一般形式【分析】一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0），其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项因此，一元二次方程3x2＋2x－5=0的一次项系数是
222.（2012江西省3分）已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣a=0有两个相等的实数根，则m的值是 ▲ 【答案】﹣1【考点】一元二次方程根的判别式【分析】∵关于x的一元二次方程x2+2x﹣a=0有两个相等的实数根，∴△=22+4m=0，解得m=﹣
123.（2012吉林省3分）若方程，的两个根为，则=_▲____.【答案】1【考点】解一元二次方程，求代数式的值【分析】∵，∴
24.（2012黑龙江绥化3分）设a，b是方程x2＋x－2013=0的两个不相等的实数根，则a2＋2a＋b的值为▲【答案】2012【考点】一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解【分析】∵a，b是方程x2＋x－2013=0的两个不相等的实数根，∴a2＋a－2013=0，即a2＋a=2013又∵a＋b=－1，∴a2＋2a＋b=（a2＋a）＋（a＋b）=2013－1=2012
三、解答题
1.（2012安徽省8分）解方程【答案】解原方程化为x2－4x=1配方，得x2－4x+4=1+4整理，得（x－2）2=5∴x－2=即，【考点】解一元二次方程【分析】根据一元二次方程的几种解法，本题不能直接开平方，也不可用因式分解法.先将方程整理一下，可以考虑用配方法或公式法
2.（2012广东珠海6分）已知关于x的一元二次方程x2+2x+m=0．
（1）当m=3时，判断方程的根的情况；
（2）当m=﹣3时，求方程的根．【答案】解
（1）∵当m=3时，△=b2﹣4ac=22﹣4×3=﹣8＜0，∴原方程无实数根
（2）当m=﹣3时，原方程变为x2+2x﹣3=0，∵（x﹣1）（x+3）=0，∴x﹣1=0，x+3=0∴x1=1，x2=﹣3【考点】一元二次方程根的判别式，因式分解法解一元二次方程【分析】
（1）判断一元二次方程根的情况，只要看根的判别式△=b2－4ac的值的符号即可判断当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根
（2）把m的值代入方程，用因式分解法求解即可
3.（2012浙江温州5分）解方程x²－2x=5【答案】解配方得（x－1）2=6∴x－1=±∴x1=1＋，x2=1－【考点】配方法解一元二次方程【分析】方程两边同时加上1，左边即可化成完全平方式的形式，然后进行开方运算，转化成两个一元一次方程，即可求解
4.（2012江苏无锡4分）解方程x2﹣4x+2=0【答案】解∵△=42﹣4×1×2=8，∴，∴原方程的解为【考点】公式法解一元二次方程【分析】首先找出方程中得a、b、c，再根据公式法求出b2﹣4ac的值，用公式计算，即可得到答案
5.（2012湖北孝感12分）已知关于x的一元二次方程x2＋m＋3x＋m＋1＝0．1求证无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；2若x
1、x2是原方程的两根，且|x1－x2|＝2，求m的值和此时方程的两根．【答案】解
（1）证明由关于x的一元二次方程x2＋m＋3x＋m＋1＝0得△=（m+3）2－4（m+1）=（m+1）2+4，∵无论m取何值，（m+1）2＋4恒大于0，∴原方程总有两个不相等的实数根
（2）∵x1，x2是原方程的两根，∴x1+x2=－（m+3），x1•x2=m+1∵|x1－x2|＝2，∴（x1－x2）2=8，即（x1＋x2）2－4x1x2=8∴[－（m+3）]2－4（m+1）=8，即m2＋2m－3=0解得m1=－3，m2=1当m=－3时，原方程化为x2－2=0，解得x1=，x2=－当m=1时，原方程化为x2＋4x＋2=0，解得x1=－2+，x2=－2－【考点】一元二次方程根的判别式和根与系数的关系【分析】
（1）根据关于x的一元二次方程x2＋m＋3x＋m＋1＝0的根的判别式△=b2－4ac的符号来判定该方程的根的情况
（2）根据根与系数的关系求得x1＋x2和x1•x2，由已知条件|x1－x2|＝2平方后可以得到关于x1＋x2和x1•x2的等式，从而列出关于m的方程，通过解该方程即可求得m的值，最后将m值代入原方程并解方程
6.（2012湖北鄂州8分）关于x的一元二次方程.
（1）证明方程总有两个不相等的实数根；
（2）设这个方程的两个实数根为x1，x2，且｜x1｜=｜x2｜－2，求m的值及方程的根【答案】解
（1）证明∵关于x的一元二次方程中，∴方程总有两个不相等的实数根
（2）∵这个方程的两个实数根为x1，x2，∴x1＋x2=m－3，x1x2=∵｜x1｜=｜x2｜－2，∴｜x2｜－｜x1｜=2两边平方，得，即∴，即，解得或当时，方程为，解得当时，方程为，解得【考点】一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，解一元二次方程【分析】
（1）只要证得即可
（2）由根与系数的关系，得x1＋x2=m－3，x1x2=将｜x1｜=｜x2｜－2变形，平方，求出m的值根据m的不同值得方程求解即可
7.（2012湖南永州6分）解方程（x﹣3）2﹣9=0．【答案】解移项得（x﹣3）2=9，开平方得x﹣3=±3，则x﹣3=3或x﹣3=﹣3，解得x1=6，x2=0【考点】直接开平方法解一元二次方程【分析】这个式子先移项，变成（x﹣3）2=9，从而把问题转化为求9的平方根（也可用因式分解法求解）
8.（2012湖南怀化10分）已知是一元二次方程的两个实数根.
（1）是否存在实数a，使成立？若存在，求出a的值；若不存在，请你说明理由；
（2）求使为负整数的实数a的整数值.【答案】解
（1）成立∵是一元二次方程的两个实数根，∴由根与系数的关系可知，；∵一元二次方程有两个实数根，∴△=4a2－4（a－6）•a≥0，且a-6≠0，解得，a≥0，且a≠6由得，即解得，a=24＞0，且a－6≠0∴存在实数a，使成立，a的值是24
（2）∵，∴当为负整数时，a－6＞0，且a－6是6的约数∴a－6=6，a－6=3，a－6=2，a－6=1∴a=12，9，8，7∴使为负整数的实数a的整数值有12，9，8，7【考点】一元二次方程根与系数的关系和根的判别式，解分式方程【分析】根据根与系数的关系求得；根据一元二次方程的根的判别式求得a的取值范围
（1）将已知等式变形为x1x2=4+（x2+x1），即，通过解该关于a的方程即可求得a的值；
（2）根据限制性条件“（x1+1）（x2+1）为负整数”求得a的取值范围，然后在取值范围内取a的整数值
9.（2012四川内江12分）如果方程的两个根是，那么请根据以上结论，解决下列问题
（1）已知关于的方程求出一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两根的倒数；
（2）已知满足求；
（3）已知满足求正数的最小值【答案】解
（1）设关于的方程的两根为，则有，且由已知所求方程的两根为∴，∴所求方程为，即
（2）∵满足，∴是方程的两根∴∴
（3）∵且∴∴是一元二次方程的两个根，代简，得又∵此方程必有实数根，∴此方程的，即，又∵∴∴∴正数的最小值为4．【考点】一元二次方程根与系数的关系和根的判别式，代数式化简【分析】
（1）设方程的两根为，得出，，再根据这个一元二次方程的两个根分别是已知方程两根的倒数，即可求出答案
（2）根据满足，得出是一元二次方程的两个根，由，即可求出的值
（3）根据，得出，是一元二次方程的两个根，再根据，即可求出c的最小值
10.（2012四川巴中5分）解方程
11.（2012四川南充8分）关于x的一元二次方程x2＋3x＋m－1=0的两个实数根分别为x1x2．
（1）求m的取值范围．
（2）若2（x1+x2）+x1x2+10=0．求m的值.【答案】解
（1）∵方程有两个实数根，∴△≥0∴9－4×1×（m－1）≥0，解得m≤
（2）∵x1＋x2=－3，x1x2=m－1，2（x1+x2）+x1x2+10=0，∴2×（－3）＋m－1＋10=0，解得m=－3【考点】一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，解一元一次不等式和一元一次方程【分析】
（1）因为方程有两个实数根，所以△≥0，据此即可求出m的取值范围
（2）根据一元二次方程根与系数的关系，将x1＋x2=－3，x1x2=m－1代入2（x1+x2）+x1x2+10=0，解关于m的方程即可
12.（2012四川内江12分）如果方程的两个根是，那么请根据以上结论，解决下列问题
（4）已知关于的方程求出一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两根的倒数；
（5）已知满足求；
（6）已知满足求正数的最小值【答案】解
（1）设关于的方程的两根为，则有，且由已知所求方程的两根为∴，∴所求方程为，即
（2）∵满足，∴是方程的两根∴∴
（3）∵且∴∴是一元二次方程的两个根，代简，得又∵此方程必有实数根，∴此方程的，即，又∵∴∴∴正数的最小值为4．【考点】一元二次方程根与系数的关系和根的判别式，代数式化简【分析】
（1）设方程的两根为，得出，，再根据这个一元二次方程的两个根分别是已知方程两根的倒数，即可求出答案
（2）根据满足，得出是一元二次方程的两个根，由，即可求出的值
（3）根据，得出，是一元二次方程的两个根，再根据，即可求出c的最小值
13.（2012山东菏泽6分）解方程．【答案】解原方程可化为，即解得【考点】因式分解法解一元二次方程【分析】把方程整理成标准形式，再运用因式分解法解方程
14.（2012山东淄博9分）一元二次方程的某个根，也是一元二次方程的根，求k的值．【答案】解解得把代入得，解得k=8把代入得，解得k=∴k的值为8或【考点】解一元二次方程和一元二次方程的根【分析】求出一元二次方程的两个根，分别代入求k即可
15.（2012甘肃兰州6分）已知x是一元二次方程x2－2x＋1＝0的根，求代数式的值．【答案】解∵x2－2x＋1＝0，∴x1＝x2＝1，原式＝∴当x＝1时，原式＝【考点】分式的化简求值，一元二次方程的解【分析】解一元二次方程，求出x的值，再将分式化简，将x的值代入分式即可求解
16.（2012黑龙江大庆4分）若方程的两实根为、，求的值．【答案】解∵方程x2﹣x﹣1=0的两实根为a、b，∴a+b=1，ab=﹣1，∴【考点】一元二次方程根与系数的关系，求代数式的值【分析】由方程x2﹣x﹣1=0的两实根为a、b，根据一元二次方程根与系数的关系即可得a+b和ab的值，又由，即可求得答案。
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