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2012年陕西省高考理科数学试题
一、选择题
1.集合,,则()A.B.C.D.【解析】,,则,故选C
2.下列函数中,既是奇函数又是增函数的为()A.B.C.D.【解析】选项中是奇函数的有B、C、D,增函数有D,故选D
3.设,是虚数单位,则“”是“复数为纯虚数”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】“”则或,“复数为纯虚数”则且,则“”是“复数为纯虚数”的必要不充分条件,故选B
4.已知圆,过点的直线,则()A.与相交B.与相切C.与相离D.以上三个选项均有可能【解析】点在圆内,则必与相交,故选A
5.如图,在空间直角坐标系中有直三棱柱,,则直线与直线夹角的余弦值为()A.B.C.D.【解析】设,则,, 则,故选A
6.从甲乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机,对其销售额进行统计,统计数据用茎叶图表示(如图所示),设甲乙两组数据的平均数分别为,,中位数分别为,,则()A.,B.,C.,D.,【解析】经计算得甲=
21.5625,乙=
28.5625,甲=20,乙=29,故选B
7.设函数,则()A.为的极大值点B.为的极小值点C.为的极大值点D.为的极小值点[来源:学科网]【解析】,,恒成立,令,则当时,,函数单调减,当时,,函数单调增,则为的极小值点,故选D
8.两人进行乒乓球比赛,先赢三局着获胜,决出胜负为止,则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有()A.10种B.15种C.20种D.30种【解析】甲赢和乙赢的可能情况是一样的,所以假设甲赢的情况如下若两人进行3场比赛,则情况只有是甲全赢1种情况;若两人进行4场比赛,第4场比赛必为甲赢前3场任选一场乙赢为种情况;若两人进行5场比赛,第5场比赛必为甲赢前4场任选一场乙赢为种情况;综上,甲赢有10种情况,同理,乙赢有10种情况,则所有可能出现的情况共20种,故选C
9.在中角、、所对边长分别为,若,则的最小值为()A.B.C.D.【解析】,故选C
10.右图是用模拟方法估计圆周率的程序框图,表示估计结果,则图中空白框内应填入()A.B.C.D.【解析】M表示落入扇形的点的个数,1000表示落入正方形的点的个数,则点落入扇形的概率为,由几何概型知,点落入扇形的概率为,则,故选D
二、填空题把答案填写在答题卡相应的题号后的横线上(本大题共5小题,每小题5分,共25分)
11.观察下列不等式,,……照此规律,第五个不等式为.【答案】【解析】观察不等式的左边发现,第n个不等式的左边=,右边=,所以第五个不等式为.
12.展开式中的系数为10,则实数的值为.【答案】1【解析】∵,令,则,又∵的系数为10,则,∴
13.右图是抛物线形拱桥,当水面在时,拱顶离水面2米,水面宽4米,水位下降1米后,水面宽米.【答案】【解析】建立如图所示的直角坐标系,使拱桥的顶点O的坐标为
(00),设l与抛物线的交点为A、B,根据题意知A(-2,-2),B(2,-2)设抛物线的解析式为,则有,∴∴抛物线的解析式为水位下降1米,则y=-3,此时有或∴此时水面宽为米
14.设函数,是由轴和曲线及该曲线在点处的切线所围成的封闭区域,则在上的最大值为.【答案】2【解析】当时,,,∴曲线在点处的切线为则根据题意可画出可行域D如右图目标函数,当,时,z取得最大值
215.(考生注意请在下列三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题评分)A.(不等式选做题)若存在实数使成立,则实数的取值范围是.【答案】【解析】表示在数轴上,a到1的距离小于等于3,即,则B.(几何证明选做题)如图,在圆O中,直径AB与弦CD垂直,垂足为E,,垂足为F,若,,则.[来源:学科网ZXXK]【答案】5【解析】∵,则圆的半径为3,连接OD,则OD=3[来源:学+科+网]又,则OE=2在直角三角形OED中,根据射影定理,在直角三角形EDB中,C.(坐标系与参数方程)直线与圆相交的弦长为.【答案】【解析】是过点且垂直于极轴的直线,是以为圆心,1为半径的圆,则弦长=.
三、解答题
16.(本小题满分12分)[来源:学科网]函数()的最大值为3,其图像相邻两条对称轴之间的距离为,
(1)求函数的解析式;
(2)设,则,求的值.【解析】(Ⅰ)∵函数的最大值是3,∴,即∵函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为,∴最小正周期,∴故函数的解析式为(Ⅱ)∵,即,∵,∴,∴,故
17.(本小题满分12分)设的公比不为1的等比数列,其前项和为,且成等差数列.
(1)求数列的公比;
(2)证明对任意,成等差数列.【解析】
(1)设数列的公比为()由成等差数列,得,即由得,解得,(舍去),所以
(2)证法一对任意,,所以,对任意,成等差数列证法二对任意,,,,因此,对任意,成等差数列
18.(本小题满分12分)
(1)如图,证明命题“是平面内的一条直线,是外的一条直线(不垂直于),是直线在上的投影,若,则”为真.
(2)写出上述命题的逆命题,并判断其真假(不需要证明)【解析】(Ⅰ)证法一如图,过直线上一点作平面的垂线,设直线,,,的方向向量分别是,,,,则,,共面.根据平面向量基本定理,存在实数,使得,则,因为,所以,又因为,,所以,故,从而.证法二如图,记为直线上异于点的任意一点,过作垂足为则.,直线,又,平面平面,又平面,.(Ⅱ)逆命题为是平面内的一条直线,是平面外的一条直线(不垂直于),是直线在上的投影,若,则.逆命题为真命题
19.(本小题满分12分)已知椭圆,椭圆以的长轴为短轴,且与有相同的离心率.
(1)求椭圆的方程;
(2)设O为坐标原点,点A,B分别在椭圆和上,,求直线的方程.【解析】(Ⅰ)由已知可设椭圆的方程为,其离心率为,故,则,故椭圆的方程为(Ⅱ)解法一两点的坐标分别为,由及(Ⅰ)知,三点共线且点不在轴上,因此可设直线的方程为.将代入中,得,所以,将代入中,得,所以,又由,得,即,解得,故直线的方程为或解法二两点的坐标分别为,由及(Ⅰ)知,三点共线且点不在轴上,因此可设直线的方程为.将代入中,得,所以,又由,得,,将代入中,得,即,解得,故直线的方程为或
20.(本小题满分13分)某银行柜台设有一个服务窗口,假设顾客办理业务所需的时间互相独立,且都是整数分钟,对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下办理业务所需的时间(分)12345频率
0.
10.
40.
30.
10.1从第一个顾客开始办理业务时计时.
(1)估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率;
(2)表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数,求的分布列及数学期望.【解析】设Y表示顾客办理业务所需的时间,用频率估计概率,的Y的分布如下Y12345P
0.
10.
40.
30.
10.11A表示事件“第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务”,则时间A对应三种情形11一个谷歌办理业务所需时间为1分钟,且第二个顾客办理业务所需的时间为3分钟;21第一个顾客办理业务所需的时间为3分钟,且第二个顾客办理业务所需的时间为1分钟;31第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为2分钟所以
(2)解法一X所有可能的取值为
012.X=0对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟,所以;X=1对应第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟且第二个顾客办理业务所需时间超过1分钟,或第一个顾客办理业务所需的时间为2分钟,所以;X=2对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟,所以;所以X的分布列为X012P
0.
50.
490.
01.解法二X所有可能的取值为
012.X=0对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟,所以;X=2对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟,所以;;所以X的分布列为X012P
0.
50.
490.0121.(本小题满分14分)[来源:学科网]设函数
(1)设,,证明在区间内存在唯一的零点;
(2)设,若对任意,有,求的取值范围;
(3)在
(1)的条件下,设是在内的零点,判断数列的增减性.【解析】
(1)又当
(2)当n=2时,对任意上的最大值与最小值之差据此分类讨论如下ⅠⅡⅢ综上可知,注ⅡⅢ也可合并并证明如下用当
(3)证法一设,于是有,又由
(1)知,所以,数列证法二设,,则所以,数列。