2012高中数学复习讲义通用版全套第一章集合与简易逻辑-Copy

集合与简易逻辑引第三次数学危机   到19世纪末，康托尔的集合论已经得到数学家的承认，集合论也成功地应用到其他的数学分支集合论是数学的基础，由于集合论的使用，数学似乎已经达到了无懈可击的地步但是，正当数学家们熟练地应用集合论时，数学帝国又爆发了一次危机  康托尔集合论的创造性成果为数学提供了广泛的理论基础，所以在1900年巴黎国际数学会议上，法国大数学家庞加莱宣称“数学的严格性，看来直到今天才可以说实现了”但事隔两年后，却传出一个惊人的消息集合论的概念本身出现了矛盾这就是英国数学家罗素提出的著名的悖论，罗素悖论的内容用一句话表述就是所有不以自己为元素的集合组成一个集合，记为A；则有集合A包含A等价于集何A不包含A这样的悖理【5】罗素悖论一提出就在当时的数学界和逻辑学界引起了极大的震动这一悖论引起的巨大反响则导致了数学史上的第三次危机小城里的理发师放出豪言他要为城里所有不为自己刮脸的人刮脸，而且只为那些不为自己刮脸的人刮脸但问题是理发师该给自己刮脸吗？如果他给自己刮脸，那么按照他的豪言“只为那些不为自己刮脸的人刮脸”他不应该为自己刮脸；但如果他不给自己刮脸，同样按照他的豪言“为城里所有不为自己刮脸的人刮脸”他又应该为自己刮脸第1课时集合的概念及运算【考点导读】

1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能选择自然语言，图形语言，集合语言描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用．

2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；了解全集与空集的含义．

3.理解两个集合的交集与并集的含义，会求两个集合的交集与并集；理解在给定集合中一个子集补集的含义，会求给定子集的补集；能使用文氏图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用．

4.集合问题常与函数，方程，不等式有关，其中字母系数的函数，方程，不等式要复杂一些，综合性较强，往往渗透数形思想和分类讨论思想．

1、若干个（有限个或无限个）确定对象的全体，可以看作一个集合集合的元素特征确定性；互异性；无序性注意集合｛0｝与空集的区别前者是含有一个元素“0”的集合，后者是不含元素的集合例1下列各项中不能组成集合的是（A）所有正三角形（B）《数学》教材中所有的习题（C）所有数学难题（D）所有无理数

2、元素与集合的关系一个集合A与一个对象a，要么a是A中的元素，记作aA（读作a属于A）；要么a不是A中的元素，记作aA（读作a不属于A）这个性质即为集合中元素的确定性在元素与集合之间，只能用或表示，它们之间只存在这两种关系例

2、若A={x|x=0}，则下列各式正确的是（A）φ=A（B）φ∈A（C）{0}∈A（D）0∈A

3、集合的表示方法我们用列举法与描述法表示一个集合列举法就是把集合中的元素一一列举出来，并写在大括号中描述法就是通过描述集合中所有元素的共同特性来表示集合，一般写作x|x具有某种特性+我们应熟练记住一些常用的数学符号自然数集可以用N表示；正整数集可以用N表示；整数集可以用Z表示；有理数集可以用Q表示；实数集可以用R表示例

3、用列举法表示集合xy|2xy50xNyN____________________例

4、解不等式x32，并把其正整数解表示出来__________________________.

二、集合与集合的关系

1、子集对于两个集合A和B，如果集合A中任何一个元素都属于集合B，那么集合A叫做集合B的子集，记作AB任何集合都是自己的子集；空集是任何集合的子集

2、真子集对于两个集合A和B，如果集合AB，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的集合讲义真子集，记作AB含有nnN*个元素的有限集合的子集个数为2个，真子集个数为21个，非空子集个数为21个，nnn非空真子集个数为22个

3、相等的集合对于两个集合A和B，若AB且BA则称集合A与集合B相等，记作AB也就是说，集合A和集合B含有完全相同的元素由定义可知，要证集合A与B相等，只需证明AB且BAn

三、集合的运算集合的运算从文字语言、符号语言和图形语言三个角度来认识和理解

1、交集1定义由集合A与集合B的所有公共元素组成的集合叫做A与B的交集，记作“AB”即ABx|xA且xB2交集的性质

①ABBA；

②AAA；

③A；

④ABAABB；

⑤若ABA，则AB；反之亦然例

5、设集合Ax|x2，Bx|x3，则A∩B=______________________.例

6、设集合Axy|y2x1，Bxy|yx3，求A∩B.

2、并集

（1）定义由所有属于集合A或者属于集合B的元素组成的集合叫做集合A与B的并集，记作“AB”即ABx|xA或xB

（2）并集的性质

①ABBA；

②AAA；

③AA；

④AABBAB；

⑤若ABB，则AB；反之亦然例

7、设集合Ax|x3或x3，Bx|x1或x4，则A∪B=_____________

3、补集

（1）定义设U为全集，A是U的子集，则由U中所有不属于集合A的元素组成的集合叫做集合A在全集U中的补集，记作CUA即

（2）补集的性质

①CUAx|xU且xACUCUAA；

②CuUCuU；

③CUAA，CUAAU；

④若AB，则ACUB；若AB，则BCUAU

⑤若CUABCUACUB，CUABCUACUB

5.13579，CUB14689，求集合B.【基础练习】

1.集合用列举法表示．

2.设集合，，则．

3.已知集合，，则集合_______．

4.设全集，集合，，则实数a的值为_______．答案8或2【范例解析】例.已知为实数集，集合.若，或，求集合B.分析先化简集合A，由可以得出与的关系；最后，由数形结合，利用数轴直观地解决问题.解

（1），或.又，，可得.而或，或借助数轴可得或.【反馈演练】1．设集合，，，则=_________．2．设P，Q为两个非空实数集合，定义集合P+Q=，则P+Q中元素的个数是____8___个．3．设集合，.

（1）若，求实数a的取值范围；

（2）若，求实数a的取值范围；

（3）若，求实数a的值.解

（1）由题意知，，.

①当时，得，解得．

②当时，得，解得．综上，．

（2）

①当时，得，解得；

②当时，得，解得．综上，．

（3）由，则．第2课命题及逻辑联结词引子“我爱你”的逆否命题是什么？【考点导读】

1.了解命题的逆命题，否命题与逆否命题的意义；会分析四种命题的相互关系．

2.了解逻辑联结词“或”，“且”，“非”的含义；能用“或”，“且”，“非”表述相关的数学内容．

3.理解全称量词与存在量词的意义；能用全称量词与存在量词叙述简单的数学内容．理解对含有一个量词的命题的否定的意义；能正确地对含有一个量词的命题进行否定．   如果天下雨，那么地面湿

（1）变化1    把命题

（1）的条件与结论互换，得如果地面湿，那么天下雨                

（2）变化2    把命题

（1）的条件与结论都否定，得         如果天没下雨，那么地面不湿        

（3）变化3    把命题

（1）的条件与结论互换后再否定，得        如果地面不湿，那么天没下雨        

2.2    四种命题        命题

（1）与

（2）、

（3）与

（4）是互逆命题，其特点是，条件与结论交换了位置        命题

（1）与

（3）是互否命题因为命题

（3）的条件和结论，恰好是命题

（1）的条件与结论的否定，反过来也一样命题

（2）与命题

（4）的关系也是如此        命题

（1）与

（4）是互为逆否命题因为命题

（4）的条件与结论，恰好是命题

（1）的结论与条件的否定，反过来也一样命题

（2）与

（3）的关系也是如此    设命题

（1）为原命题，那么命题

（2）为逆命题，命题

（3）为否命题， 命题

（4）为逆否命题 一般地，用 p 和 q 分别表示原命题的条件和结论，用￢p和￢q分别表示 p 和 q 的否定，于是四种命题的形式就是原命题  若p则q；逆命题  若q则p；否命题  若￢p则￢q；逆否命题 若￢q则￢p【基础练习】

1.下列语句中

①；

②你是高三的学生吗？

③；

④．其中，不是命题的有________．

2.一般地若用p和q分别表示原命题的条件和结论，则它的逆命题可表示为，否命题可表示为，逆否命题可表示为；原命题与互为逆否命题，否命题与互为逆否命题．答案

①②④_若q则p逆否命题逆命题【范例解析】例

1.写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题并判断真假.

（1）平行四边形的对边相等；

（2）菱形的对角线互相垂直平分；

（3）设，若，则.分析先将原命题改为“若p则q”，在写出其它三种命题.解

（1）原命题若一个四边形是平行四边形，则其两组对边相等；真命题；逆命题若一个四边形的两组对边相等，则这个四边形是平行四边形；真命题；否命题若一个四边形不是平行四边形，则其两组对边至少一组不相等；真命题；逆否命题若一个四边形的两组对边至少一组不相等，则这个四边形不是平行四边形；真命题.

（2）原命题若一个四边形是菱形，则其对角线互相垂直平分；真命题；逆命题若一个四边形的对角线互相垂直平分，则这个四边形是菱形；真命题；否命题若一个四边形不是菱形，则其对角线不垂直或不平分；真命题；逆否命题若一个四边形的对角线不垂直或不平分，则这个四边形不是菱形；真命题.

（3）原命题设，若，则；真命题；逆命题设，若，则；假命题；否命题设，若或，则；假命题；逆否命题设，若，则或；真命题.点评已知原命题写出其它的三种命题首先应把命题写成“若p则q”的形式，找出其条件p和结论q，再根据四种命题的定义写出其它命题；对于含大前提的命题，在改写命题时大前提不要动；在写命题p的否定即时，要注意对p中的关键词的否定，如“且”的否定为“或”，“或”的否定为“且”，“都是”的否定为“不都是”等.例

2.写出由下列各组命题构成的“p或q”，“p且q”，“非p”形式的命题，并判断真假.

（1）p2是4的约数，q2是6的约数；

（2）p矩形的对角线相等，q矩形的对角线互相平分；

（3）p方程的两实根的符号相同，q方程的两实根的绝对值相等.分析先写出三种形式命题，根据真值表判断真假.解

（1）p或q2是4的约数或2是6的约数，真命题；p且q2是4的约数且2是6的约数，真命题；非p2不是4的约数，假命题.

（2）p或q矩形的对角线相等或互相平分，真命题；p且q矩形的对角线相等且互相平分，真命题；非p矩形的对角线不相等，假命题.

（3）p或q方程的两实根的符号相同或绝对值相等，假命题；p且q方程的两实根的符号相同且绝对值相等，假命题；非p方程的两实根的符号不同，真命题.点评判断含有逻辑联结词“或”，“且”，“非”的命题的真假，先要把结构弄清楚，确定命题构成的形式以及构成它们的命题p，q的真假然后根据真值表判断构成新命题的真假.例

3.写出下列命题的否定，并判断真假.

（1）p所有末位数字是0或5的整数都能被5整除；

（2）p每一个非负数的平方都是正数；

（3）p存在一个三角形，它的内角和大于180°；

（4）p有的四边形没有外接圆；

（5）p某些梯形的对角线互相平分.分析全称命题“”的否定是“”，特称命题“”的否定是“”.解

（1）存在末位数字是0或5的整数，但它不能被5整除，假命题；

（2）存在一个非负数的平方不是正数，真命题；

（3）任意一个三角形，它的内角和都不大于180°，真命题；

（4）所有四边形都有外接圆，假命题；

（5）任一梯形的对角线都不互相平分，真命题.点评一些常用正面叙述的词语及它的否定词语列表如下正面词语等于大于小于是都是否定词语不等于不大于不小于不是不都是正面词语至多有一个至少有一个任意的所有的…否定词语至少有两个一个也没有某个某些…【反馈演练】1．命题“若，则”的逆否命题是__________________.2．已知命题，则.3．若命题m的否命题n，命题n的逆命题p，则p是m的____逆否命题____.4．命题“若，则”的否命题为________________________．5．分别写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断它们的真假．

（1）设，若，则或；

（2）设，若，则．解

（1）逆命题设，若或，则；真命题；否命题设，若，则且；真命题；逆否命题设，若且，则；真命题；

（2）逆命题设，若，则；假命题；否命题设，若或，则；假命题；逆否命题设，若，则或；真命题．第3课时充分条件和必要条件【考点导读】

1.理解充分条件，必要条件和充要条件的意义；会判断充分条件，必要条件和充要条件．

2.从集合的观点理解充要条件，有以下一些结论若集合，则是的充分条件；若集合，则是的必要条件；若集合，则是的充要条件．

3.会证明简单的充要条件的命题，进一步增强逻辑思维能力．【基础练习】

1.若，则是的充分条件．若，则是的必要条件．若，则是的充要条件．

2.用“充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件和既不充分也不必要条件”填空.

（1）已知，，那么是的_____充分不必要___条件．

（2）已知两直线平行，内错角相等，那么是的____充要_____条件．

（3）已知四边形的四条边相等，四边形是正方形，那么是的___必要不充分__条件．

3.若，则的一个必要不充分条件是．【范例解析】例.用“充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件和既不充分也不必要条件”填空.

（1）是的___________________条件；

（2）是的___________________条件；

（3）是的___________________条件；

（4）是或的___________________条件.分析从集合观点“小范围大范围”进行理解判断，注意特殊值的使用.解

（1）因为结合不等式性质易得，反之不成立，若，，有，但不成立，所以是的充分不必要条件.

（2）因为的解集为，的解集为，故是的必要不充分条件.

（3）当时，均不存在；当时，取，，但，所以是的既不充分也不必要条件.

（4）原问题等价其逆否形式，即判断“且是的____条件”，故是或的充分不必要条件.点评

①判断p是q的什么条件，实际上是判断“若p则q”和它的逆命题“若q则p”的真假，若原命题为真，逆命题为假，则p为q的充分不必要条件；若原命题为假，逆命题为真，则p为q的必要不充分条件；若原命题为真，逆命题为真，则p为q的充要条件；若原命题，逆命题均为假，则p为q的既不充分也不必要条件.

②在判断时注意反例法的应用.

③在判断“若p则q”的真假困难时，则可以判断它的逆否命题“若q则p”的真假.【反馈演练】1．设集合，，则“”是“”的_必要不充分条件．2．已知p1＜x＜2，q xx－3＜0，则p是q的条件．3．已知条件，条件．若是的充分不必要条件，求实数a的取值范围．解，若是的充分不必要条件，则．若，则，即；若，则解得．综上所述，．若，则若，则充分不必要。