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2012中考数学压轴题及答案
1.(2011年四川省宜宾市)已知:如图抛物线y=-x2+bx+c与x轴、y轴分别相交于点A(-1,0)、B(0,3)两点,其顶点为D.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)若该抛物线与x轴的另一个交点为E.求四边形ABDE的面积;
(3)△AOB与△BDE是否相似?如果相似,请予以证明;如果不相似,请说明理由.(注抛物线y=ax2+bx+ca≠0的顶点坐标为HYPERLINKhttp://www.zk5u.com/\o天涯数学EMBEDEquation.3)
2.(11浙江衢州)已知直角梯形纸片OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示,四个顶点的坐标分别为O0,0,A10,0,B8,,C0,,点T在线段OA上不与线段端点重合,将纸片折叠,使点A落在射线AB上记为点A′,折痕经过点T,折痕TP与射线AB交于点P,设点T的横坐标为t,折叠后纸片重叠部分图中的阴影部分的面积为S;1求∠OAB的度数,并求当点A′在线段AB上时,S关于t的函数关系式;2当纸片重叠部分的图形是四边形时,求t的取值范围;3S存在最大值吗?若存在,求出这个最大值,并求此时t的值;若不存在,请说明理由.
3.(11浙江温州)如图,在中,,,,分别是边的中点,点从点出发沿方向运动,过点作于,过点作交于,当点与点重合时,点停止运动.设,.
(1)求点到的距离的长;
(2)求关于的函数关系式(不要求写出自变量的取值范围);
(3)是否存在点,使为等腰三角形?若存在,请求出所有满足要求的的值;若不存在,请说明理由.
4.(11山东省日照市)在△ABC中,∠A=90°,AB=4,AC=3,M是AB上的动点(不与A,B重合),过M点作MN∥BC交AC于点N.以MN为直径作⊙O,并在⊙O内作内接矩形AMPN.令AM=x.
(1)用含x的代数式表示△MNP的面积S;
(2)当x为何值时,⊙O与直线BC相切?
(3)在动点M的运动过程中,记△MNP与梯形BCNM重合的面积为y,试求y关于x的函数表达式,并求x为何值时,y的值最大,最大值是多少?
5、(2007浙江金华)如图1,已知双曲线y=k0与直线y=k′x交于A,B两点,点A在第一象限.试解答下列问题1若点A的坐标为4,
2.则点B的坐标为;若点A的横坐标为m,则点B的坐标可表示为;
(2)如图2,过原点O作另一条直线l,交双曲线y=k0于P,Q两点,点P在第一象限.
①说明四边形APBQ一定是平行四边形;
②设点A.P的横坐标分别为m,n,四边形APBQ可能是矩形吗可能是正方形吗若可能,直接写出mn应满足的条件;若不可能,请说明理由.
6.(2011浙江金华)如图1,在平面直角坐标系中,己知ΔAOB是等边三角形,点A的坐标是0,4,点B在第一象限,点P是x轴上的一个动点,连结AP,并把ΔAOP绕着点A按逆时针方向旋转.使边AO与AB重合.得到ΔABD.
(1)求直线AB的解析式;
(2)当点P运动到点(,0)时,求此时DP的长及点D的坐标;
(3)是否存在点P,使ΔOPD的面积等于,若存在,请求出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.
7.2011浙江义乌如图1,四边形ABCD是正方形,G是CD边上的一个动点点G与C、D不重合,以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG,连结BG,DE.我们探究下列图中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系
(1)
①猜想如图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系;
②将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针或逆时针方向旋转任意角度,得到如图
2、如图3情形.请你通过观察、测量等方法判断
①中得到的结论是否仍然成立并选取图2证明你的判断.
(2)将原题中正方形改为矩形(如图4—6),且AB=a,BC=b,CE=ka,CG=kbab,k0,第1题
①中得到的结论哪些成立,哪些不成立?若成立,以图5为例简要说明理由.
(3)在第2题图5中,连结、,且a=3,b=2,k=,求的值.
8.2011浙江义乌如图1所示,直角梯形OABC的顶点A、C分别在y轴正半轴与轴负半轴上.过点B、C作直线.将直线平移,平移后的直线与轴交于点D,与轴交于点E.
(1)将直线向右平移,设平移距离CD为t0,直角梯形OABC被直线扫过的面积(图中阴影部份)为,关于的函数图象如图2所示,OM为线段,MN为抛物线的一部分,NQ为射线,N点横坐标为4.
①求梯形上底AB的长及直角梯形OABC的面积;
②当时,求S关于的函数解析式;
(2)在第
(1)题的条件下,当直线向左或向右平移时(包括与直线BC重合),在直线AB上是否存在点P,使为等腰直角三角形若存在,请直接写出所有满足条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.
9.2011山东烟台如图,菱形ABCD的边长为2,BD=2,E、F分别是边AD,CD上的两个动点,且满足AE+CF=
2.
(1)求证△BDE≌△BCF;
(2)判断△BEF的形状,并说明理由;
(3)设△BEF的面积为S,求S的取值范围.
10.2011山东烟台如图,抛物线交轴于A、B两点,交轴于M点.抛物线向右平移2个单位后得到抛物线,交轴于C、D两点.
(1)求抛物线对应的函数表达式;
(2)抛物线或在轴上方的部分是否存在点N,使以A,C,M,N为顶点的四边形是平行四边形.若存在,求出点N的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)若点P是抛物线上的一个动点(P不与点A、B重合),那么点P关于原点的对称点Q是否在抛物线上,请说明理由.
11.2011淅江宁波2011年5月1日,目前世界上最长的跨海大桥——杭州湾跨海大桥通车了.通车后,苏南A地到宁波港的路程比原来缩短了120千米.已知运输车速度不变时,行驶时间将从原来的3时20分缩短到2时.
(1)求A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的路程.
(2)若货物运输费用包括运输成本和时间成本,已知某车货物从A地到宁波港的运输成本是每千米
1.8元,时间成本是每时28元,那么该车货物从A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的运输费用是多少元?
(3)A地准备开辟宁波方向的外运路线,即货物从A地经杭州湾跨海大桥到宁波港,再从宁波港运到B地.若有一批货物(不超过10车)从A地按外运路线运到B地的运费需8320元,其中从A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的每车运输费用与
(2)中相同,从宁波港到B地的海上运费对一批不超过10车的货物计费方式是一车800元,当货物每增加1车时,每车的海上运费就减少20元,问这批货物有几车?
12.2011淅江宁波如图1,把一张标准纸一次又一次对开,得到“2开”纸、“4开”纸、“8开”纸、“16开”纸….已知标准纸的短边长为.
(1)如图2,把这张标准纸对开得到的“16开”张纸按如下步骤折叠第一步将矩形的短边与长边对齐折叠,点落在上的点处,铺平后得折痕;第二步将长边与折痕对齐折叠,点正好与点重合,铺平后得折痕.则的值是,的长分别是,.
(2)“2开”纸、“4开”纸、“8开”纸的长与宽之比是否都相等?若相等,直接写出这个比值;若不相等,请分别计算它们的比值.
(3)如图3,由8个大小相等的小正方形构成“”型图案,它的四个顶点分别在“16开”纸的边上,求的长.
(4)已知梯形中,,,,且四个顶点都在“4开”纸的边上,请直接写出2个符合条件且大小不同的直角梯形的面积.
13.(2011山东威海)如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=7,CD=1,AD=BC=5.点M,N分别在边AD,BC上运动,并保持MN∥AB,ME⊥AB,NF⊥AB,垂足分别为E,F.
(1)求梯形ABCD的面积;
(2)求四边形MEFN面积的最大值.
(3)试判断四边形MEFN能否为正方形,若能,求出正方形MEFN的面积;若不能,请说明理由.14.(2011山东威海)如图,点A(m,m+1),B(m+3,m-1)都在反比例函数的图象上.
(1)求m,k的值;
(2)如果M为x轴上一点,N为y轴上一点,以点A,B,M,N为顶点的四边形是平行四边形,试求直线MN的函数表达式.
(3)选做题在平面直角坐标系中,点P的坐标为(5,0),点Q的坐标为(0,3),把线段PQ向右平移4个单位,然后再向上平移2个单位,得到线段P1Q1,则点P1的坐标为,点Q1的坐标为.15.(2011湖南益阳)我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”,如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点,那么这条直线叫做“蛋圆”的切线.如图12,点A、B、C、D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点,已知点D的坐标为0,-3,AB为半圆的直径,半圆圆心M的坐标为10,半圆半径为
2.1请你求出“蛋圆”抛物线部分的解析式,并写出自变量的取值范围;2你能求出经过点C的“蛋圆”切线的解析式吗?试试看;3开动脑筋想一想,相信你能求出经过点D的“蛋圆”切线的解析式.
16.2011年浙江省绍兴市将一矩形纸片放在平面直角坐标系中,,,.动点从点出发以每秒1个单位长的速度沿向终点运动,运动秒时,动点从点出发以相等的速度沿向终点运动.当其中一点到达终点时,另一点也停止运动.设点的运动时间为(秒).
(1)用含的代数式表示;
(2)当时,如图1,将沿翻折,点恰好落在边上的点处,求点的坐标;
(4)连结,将沿翻折,得到,如图2.问与能否平行?与能否垂直?若能,求出相应的值;若不能,说明理由.
17.2011年辽宁省十二市如图16,在平面直角坐标系中,直线HYPERLINKhttp://www.zk5u.com/EMBEDEquation.DSMT4与轴交于点,与轴交于点,抛物线HYPERLINKhttp://www.zk5u.com/EMBEDEquation.DSMT4经过三点.
(1)求过三点抛物线的解析式并求出顶点的坐标;
(2)在抛物线上是否存在点,使为直角三角形,若存在,直接写出点坐标;若不存在,请说明理由;
(3)试探究在直线上是否存在一点,使得的周长最小,若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
18.2011年沈阳市如图所示,在平面直角坐标系中,矩形的边在轴的负半轴上,边在轴的正半轴上,且,,矩形绕点按顺时针方向旋转后得到矩形.点的对应点为点,点的对应点为点,点的对应点为点,抛物线过点.
(1)判断点是否在轴上,并说明理由;
(2)求抛物线的函数表达式;
(3)在轴的上方是否存在点,点,使以点为顶点的平行四边形的面积是矩形面积的2倍,且点在抛物线上,若存在,请求出点,点的坐标;若不存在,请说明理由.
19.2011年四川省巴中市已知如图14,抛物线与轴交于点,点,与直线相交于点,点,直线与轴交于点.
(1)写出直线的解析式.
(2)求的面积.
(3)若点在线段上以每秒1个单位长度的速度从向运动(不与重合),同时,点在射线上以每秒2个单位长度的速度从向运动.设运动时间为秒,请写出的面积与的函数关系式,并求出点运动多少时间时,的面积最大,最大面积是多少?
20.2011年成都市如图,在平面直角坐标系xOy中,△OAB的顶点A的坐标为(10,0),顶点B在第一象限内,且=3,sin∠OAB=.
(1)若点C是点B关于x轴的对称点,求经过O、C、A三点的抛物线的函数表达式;
(2)在1中,抛物线上是否存在一点P,使以P、O、C、A为顶点的四边形为梯形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)若将点O、点A分别变换为点Q(-2k0)、点R(5k,0)(k1的常数),设过Q、R两点,且以QR的垂直平分线为对称轴的抛物线与y轴的交点为N,其顶点为M,记△QNM的面积为,△QNR的面积,求∶的值.
21.MACROBUTTONMTEditEquationSection2方程段1节12011年乐山市在平面直角坐标系中△ABC的边AB在x轴上,且OAOB以AB为直径的圆过点C若C的坐标为02AB=5AB两点的横坐标XAXB是关于X的方程的两根:1求m,n的值2若∠ACB的平分线所在的直线交x轴于点D,试求直线对应的一次函数的解析式3过点D任作一直线分别交射线CA,CB(点C除外)于点M,N,则的值是否为定值,若是,求出定值,若不是,请说明理由
22.2011年四川省宜宾市已知:如图抛物线y=-x2+bx+c与x轴、y轴分别相交于点A(-1,0)、B(0,3)两点,其顶点为D.1求该抛物线的解析式;2若该抛物线与x轴的另一个交点为E.求四边形ABDE的面积;3△AOB与△BDE是否相似?如果相似,请予以证明;如果不相似,请说明理由.(注抛物线y=ax2+bx+ca≠0的顶点坐标为HYPERLINKhttp://www.zk5u.com/\o天涯数学EMBEDEquation.3)
23.天津市2011年已知抛物线,(Ⅰ)若,,求该抛物线与轴公共点的坐标;(Ⅱ)若,且当时,抛物线与轴有且只有一个公共点,求的取值范围;(Ⅲ)若,且时,对应的;时,对应的,试判断当时,抛物线与轴是否有公共点?若有,请证明你的结论;若没有,阐述理由.
24.2011年大庆市如图
①,四边形和都是正方形,它们的边长分别为(),且点在上(以下问题的结果均可用的代数式表示).
(1)求;
(2)把正方形绕点按逆时针方向旋转45°得图
②,求图
②中的;
(3)把正方形绕点旋转一周,在旋转的过程中,是否存在最大值、最小值?如果存在,直接写出最大值、最小值;如果不存在,请说明理由.
25.(2011年上海市)已知,,(如图13).是射线上的动点(点与点不重合),是线段的中点.
(1)设,的面积为,求关于的函数解析式,并写出函数的定义域;
(2)如果以线段为直径的圆与以线段为直径的圆外切,求线段的长;
(3)联结,交线段于点,如果以为顶点的三角形与相似,求线段的长.
26.(2011年陕西省)某县社会主义新农村建设办公室,为了解决该县甲、乙两村和一所中学长期存在的饮水困难问题,想在这三个地方的其中一处建一所供水站.由供水站直接铺设管道到另外两处.如图,甲,乙两村坐落在夹角为的两条公路的段和段(村子和公路的宽均不计),点表示这所中学.点在点的北偏西的3km处,点在点的正西方向,点在点的南偏西的km处.为使供水站铺设到另两处的管道长度之和最短,现有如下三种方案方案一供水站建在点处,请你求出铺设到甲村某处和乙村某处的管道长度之和的最小值;方案二供水站建在乙村(线段某处),甲村要求管道建设到处,请你在图
①中,画出铺设到点和点处的管道长度之和最小的线路图,并求其最小值;方案三供水站建在甲村(线段某处),请你在图
②中,画出铺设到乙村某处和点处的管道长度之和最小的线路图,并求其最小值.综上,你认为把供水站建在何处,所需铺设的管道最短?
27.(2011年山东省青岛市)已知如图
①,在Rt△ACB中,∠C=90°,AC=4cm,BC=3cm,点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动,速度为1cm/s;点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动,速度为2cm/s;连接PQ.若设运动的时间为t(s)(0<t<2),解答下列问题
(1)当t为何值时,PQ∥BC?
(2)设△AQP的面积为y(),求y与t之间的函数关系式;
(3)是否存在某一时刻t,使线段PQ恰好把Rt△ACB的周长和面积同时平分?若存在,求出此时t的值;若不存在,说明理由;
(4)如图
②,连接PC,并把△PQC沿QC翻折,得到四边形PQP′C,那么是否存在某一时刻t,使四边形PQP′C为菱形?若存在,求出此时菱形的边长;若不存在,说明理由.
28.(2011年江苏省南通市)已知双曲线与直线相交于A、B两点.第一象限上的点M(m,n)(在A点左侧)是双曲线上的动点.过点B作BD∥y轴于点D.过N(0,-n)作NC∥x轴交双曲线于点E,交BD于点C.
(1)若点D坐标是(-8,0),求A、B两点坐标及k的值.
(2)若B是CD的中点,四边形OBCE的面积为4,求直线CM的解析式.
(3)设直线AM、BM分别与y轴相交于P、Q两点,且MA=pMP,MB=qMQ,求p-q的值.
29.(2011年江苏省无锡市)一种电讯信号转发装置的发射直径为31km.现要求在一边长为30km的正方形城区选择若干个安装点,每个点安装一个这种转发装置,使这些装置转发的信号能完全覆盖这个城市.问
(1)能否找到这样的4个安装点,使得这些点安装了这种转发装置后能达到预设的要求?
(2)至少需要选择多少个安装点,才能使这些点安装了这种转发装置后达到预设的要求?答题要求请你在解答时,画出必要的示意图,并用必要的计算、推理和文字来说明你的理由.(下面给出了几个边长为30km的正方形城区示意图,供解题时选用)压轴题答案
1.解
(1)由已知得解得c=3b=2∴抛物线的线的解析式为2由顶点坐标公式得顶点坐标为(1,4)所以对称轴为x=1AE关于x=1对称,所以E30设对称轴与x轴的交点为F所以四边形ABDE的面积====9
(3)相似如图,BD=HYPERLINKhttp://www.zk5u.com/\o天涯数学EMBEDEquation.DSMT4BE=DE=所以HYPERLINKhttp://www.zk5u.com/\o天涯数学EMBEDEquation.DSMT4即所以是直角三角形所以且HYPERLINKhttp://www.zk5u.com/\o天涯数学EMBEDEquation.DSMT4所以.
2.1∵A,B两点的坐标分别是A10,0和B8,,∴,∴当点A´在线段AB上时,∵,TA=TA´,∴△A´TA是等边三角形,且,∴,,当时,由图,重叠部分的面积∵△A´EB的高是,∴当t=2时,S的值最大是;当,即当点A´和点P都在线段AB的延长线是如图,其中E是TA´与CB的交点,F是TP与CB的交点,∵,四边形ETAB是等腰形,∴EF=ET=AB=4,∴综上所述,S的最大值是,此时t的值是.
3.解
(1),,,.点为中点,.,.,,.
(2),.,,,,即关于的函数关系式为.
(3)存在,分三种情况
①当时,过点作于,则.,,.,,,.
②当时,,.
③当时,则为中垂线上的点,于是点为的中点,.,,.综上所述,当为或6或时,为等腰三角形.
4.解
(1)∵MN∥BC,∴∠AMN=∠B,∠ANM=∠C.∴△AMN∽△ABC.∴,即.∴AN=x.……………2分∴=.(0<<4)……………3分
(2)如图2,设直线BC与⊙O相切于点D,连结AO,OD,则AO=OD=MN.在Rt△ABC中,BC==5.由
(1)知△AMN∽△ABC.∴,即.∴,∴.…………………5分过M点作MQ⊥BC于Q,则.在Rt△BMQ与Rt△BCA中,∠B是公共角,∴△BMQ∽△BCA.∴.∴,.∴x=.∴当x=时,⊙O与直线BC相切.…………………………………7分故以下分两种情况讨论
①当0<≤2时,.∴当=2时,……………………………………8分
②当2<<4时,设PM,PN分别交BC于E,F.∵四边形AMPN是矩形,∴PN∥AM,PN=AM=x.又∵MN∥BC,∴四边形MBFN是平行四边形.∴FN=BM=4-x.∴.又△PEF∽△ACB.∴.∴.………………………………………………9分=.……………………10分当2<<4时,.∴当时,满足2<<4,.……………………11分综上所述,当时,值最大,最大值是2.…………………………12分
5.解
(1)(-4,-2);(-m-)2
①由于双曲线是关于原点成中心对称的,所以OP=OQOA=OB所以四边形APBQ一定是平行四边形
②可能是矩形,mn=k即可不可能是正方形,因为Op不能与OA垂直.解
(1)作BE⊥OA,∴ΔAOB是等边三角形∴BE=OB·sin60o=HYPERLINKhttp://www.zk5u.com/\o天涯数学EMBEDEquation.DSMT4,∴B2∵A04设AB的解析式为所以解得的以直线AB的解析式为
(2)由旋转知,AP=AD∠PAD=60o∴ΔAPD是等边三角形,PD=PA=
6.解
(1)作BE⊥OA,∴ΔAOB是等边三角形∴BE=OB·sin60o=HYPERLINKhttp://www.zk5u.com/\o天涯数学EMBEDEquation.DSMT4,∴B2∵A04设AB的解析式为所以解得以直线AB的解析式为
(2)由旋转知,AP=AD∠PAD=60o∴ΔAPD是等边三角形,PD=PA=
6.解
(1)作BE⊥OA,∴ΔAOB是等边三角形∴BE=OB·sin60o=HYPERLINKhttp://www.zk5u.com/\o天涯数学EMBEDEquation.DSMT4,∴B2∵A04设AB的解析式为所以解得以直线AB的解析式为
(2)由旋转知,AP=AD∠PAD=60o∴ΔAPD是等边三角形,PD=PA=如图,作BE⊥AODH⊥OAGB⊥DH显然ΔGBD中∠GBD=30°∴GD=BD=DH=GH+GD=+=∴GB=BD=OH=OE+HE=OE+BG=∴D3设OP=x则由
(2)可得D若ΔOPD的面积为解得所以P01
①………………………………………………………………2分
②仍然成立……………………………………………………1分在图
(2)中证明如下∵四边形、四边形都是正方形∴,,∴…………………………………………………………………1分∴(SAS)………………………………………………………1分∴又∵∴∴∴…………………………………………………………………………1分
(2)成立,不成立…………………………………………………2分简要说明如下∵四边形、四边形都是矩形,且,,,,∴,∴∴………………………………………………………………………1分∴又∵∴∴∴……………………………………………………………………………1分
(3)∵∴又∵,,∴………………………………………………1分∴………………………………………………………………………1分
(1)
①……………………………………………………………………………2分,,S梯形OABC=12……………………………………………2分
②当时,直角梯形OABC被直线扫过的面积=直角梯形OABC面积-直角三角开DOE面积…………………………………………4分
(2)存在……………………………………………………………………………………1分…(每个点对各得1分)……5分对于第
(2)题我们提供如下详细解答(评分无此要求).下面提供参考解法二1以点D为直角顶点,作轴同理在
③二图中分别可得点的生标为P(-4,4)(与
①情形二重合舍去)、P(4,4),E点在A点下方不可能.综上可得点的生标共5个解,分别为P(-12,4)、P(-4,4)、P(-,4)、P(8,4)、P(4,4).下面提供参考解法二以直角进行分类进行讨论(分三类)第一类如上解法⑴中所示图,直线的中垂线方程,令得.由已知可得即化简得解得;第二类如上解法
②中所示图,直线的方程,令得.由已知可得即化简得解之得,第三类如上解法
③中所示图,直线的方程,令得.由已知可得即解得(与重合舍去).综上可得点的生标共5个解,分别为P(-12,4)、P(-4,4)、P(-,4)、P(8,4)、P(4,4).事实上,我们可以得到更一般的结论如果得出设,则P点的情形如下
11.解
(1)设地经杭州湾跨海大桥到宁波港的路程为千米,由题意得,2分解得.地经杭州湾跨海大桥到宁波港的路程为180千米.4分
(2)(元),该车货物从地经杭州湾跨海大桥到宁波港的运输费用为380元.6分
(3)设这批货物有车,由题意得,8分整理得,解得,(不合题意,舍去),9分这批货物有8车.10分
12.解
(1).3分
(2)相等,比值为.5分(无“相等”不扣分有“相等”,比值错给1分)
(3)设,在矩形中,,,,,,.6分同理.,,.7分,,8分解得.即.9分
(4),10分.12分∴.……………………8分当x=时,ME=<4,∴四边形MEFN面积的最大值为.……………9分
(3)能.……………………………………………………………………10分由
(2)可知,设AE=x,则EF=7-2x,ME=.若四边形MEFN为正方形,则ME=EF.即7-2x.解,得.……………………………………………11分∴EF=<4.∴四边形MEFN能为正方形,其面积为.∴.……………………8分当x=时,ME=<4,∴四边形MEFN面积的最大值为.……………9分
(3)能.……………………………………………………………………10分由
(2)可知,设AE=x,则EF=7-2x,ME=.若四边形MEFN为正方形,则ME=EF.即7-2x.解,得.……………………………………………11分∴EF=<4.∴四边形MEFN能为正方形,其面积为.
14.解
(1)由题意可知,.解,得m=3.………………………………3分∴A(3,4),B(6,2);∴k=4×3=12.……………………………4分
(2)存在两种情况,如图
①当M点在x轴的正半轴上,N点在y轴的正半轴上时,设M1点坐标为(x1,0),N1点坐标为(0,y1).∵四边形AN1M1B为平行四边形,∴线段N1M1可看作由线段AB向左平移3个单位,再向下平移2个单位得到的(也可看作向下平移2个单位,再向左平移3个单位得到的).由
(1)知A点坐标为(3,4),B点坐标为(6,2),∴N1点坐标为(0,4-2),即N1(0,2);………………………………5分M1点坐标为(6-3,0),即M1(3,0).………………………………6分设直线M1N1的函数表达式为,把x=3,y=0代入,解得.∴直线M1N1的函数表达式为.……………………………………8分
②当M点在x轴的负半轴上,N点在y轴的负半轴上时,设M2点坐标为(x2,0),N2点坐标为(0,y2).∵AB∥N1M1,AB∥M2N2,AB=N1M1,AB=M2N2,∴N1M1∥M2N2,N1M1=M2N2.∴线段M2N2与线段N1M1关于原点O成中心对称.∴M2点坐标为(-3,0),N2点坐标为(0,-2).………………………9分设直线M2N2的函数表达式为,把x=-3,y=0代入,解得,∴直线M2N2的函数表达式为. 所以,直线MN的函数表达式为或.………………11分
(3)选做题(9,2),(4,5).………………………………………………2分
15.解1解法1根据题意可得A-10,B30;则设抛物线的解析式为a≠0又点D0,-3在抛物线上,∴a0+10-3=-3,解之得a=1∴y=x2-2x-33分自变量范围-1≤x≤34分解法2设抛物线的解析式为a≠0根据题意可知,A-10,B30,D0,-3三点都在抛物线上∴,解之得∴y=x2-2x-33分自变量范围-1≤x≤34分2设经过点C“蛋圆”的切线CE交x轴于点E,连结CM,在Rt△MOC中,∵OM=1,CM=2,∴∠CMO=60°OC=在Rt△MCE中,∵OC=2,∠CMO=60°,∴ME=4∴点C、E的坐标分别为0,,-306分∴切线CE的解析式为8分3设过点D0,-3,“蛋圆”切线的解析式为y=kx-3k≠09分由题意可知方程组只有一组解即有两个相等实根,∴k=-211分∴过点D“蛋圆”切线的解析式y=-2x-312分
(2)当时,过点作,交于,如图1,则,,,.
(3)
①能与平行.若,如图2,则,即,,而,.
②不能与垂直.若,延长交于,如图3,则...又,,,,而,不存在.
17.解
(1)直线与轴交于点,与轴交于点.,1分点都在抛物线上,抛物线的解析式为3分顶点4分
(2)存在5分7分9分
(3)存在10分理由解法一延长到点,使,连接交直线于点,则点就是所求的点.11分在中,,,,HYPERLINKhttp://www.zk5u.com/EMBEDEquation.DSMT412分设直线的解析式为解得13分解得在直线上存在点,使得的周长最小,此时.14分解得13分解得在直线上存在点,使得的周长最小,此时.
118.解
(1)点在轴上1分理由如下连接,如图所示,在HYPERLINKhttp://www.zk5u.com/EMBEDEquation.DSMT4中,,,,由题意可知点在轴上,点在轴上.3分
(2)过点作轴于点,在中,,点在第一象限,点的坐标为HYPERLINKhttp://www.zk5u.com/EMBEDEquation.DSMT45分由
(1)知,点在轴的正半轴上点的坐标为点的坐标为6分抛物线经过点,由题意,将,代入中得解得所求抛物线表达式为9分
(3)存在符合条件的点,点.10分理由如下矩形的面积以为顶点的平行四边形面积为.由题意可知为此平行四边形一边,又边上的高为211分依题意设点的坐标为点在抛物线上解得,,,以为顶点的四边形是平行四边形,,,当点的坐标为时,点的坐标分别为,;当点的坐标为时,点的坐标分别为,.14分(以上答案仅供参考,如有其它做法,可参照给分)
19.解
(1)在中,令,,1分又点在上的解析式为2分
(2)由HYPERLINKhttp://www.zk5u.com/EMBEDEquation.DSMT4,得4分,,5分6分
(3)过点作于点7分8分由直线可得HYPERLINKhttp://www.zk5u.com/EMBEDEquation.DSMT4在中,,,则,9分10分11分此抛物线开口向下,当时,当点运动2秒时,的面积达到最大,最大为.
20.解
(1)如图,过点B作BD⊥OA于点D.在Rt△ABD中,∵∣AB∣=sin∠OAB=∴∣BD∣=∣AB∣·sin∠OAB=×=
3.又由勾股定理,得∴∣OD∣=∣OA∣-∣AD∣=10-6=
4.∵点B在第一象限,∴点B的坐标为(4,3).……3分设经过O
00、C(4,-3)、A100三点的抛物线的函数表达式为y=ax2+bxa≠
0.由∴经过O、C、A三点的抛物线的函数表达式为……2分
(2)假设在
(1)中的抛物线上存在点P,使以P、O、C、A为顶点的四边形为梯形
①∵点C(4,-3)不是抛物线的顶点,∴过点C做直线OA的平行线与抛物线交于点P
1.则直线CP1的函数表达式为y=-
3.对于,令y=-3x=4或x=
6.∴而点C(4,-3),∴P16-
3.在四边形P1AOC中,CP1∥OA显然∣CP1∣≠∣OA∣.∴点P1(6,-3)是符合要求的点.……1分
②若AP2∥CO.设直线CO的函数表达式为将点C(4,-3)代入,得∴直线CO的函数表达式为于是可设直线AP2的函数表达式为将点A(10,0)代入,得∴直线AP2的函数表达式为由,即(x-10)(x+6)=
0.∴而点A(10,0),∴P2(-6,12).过点P2作P2E⊥x轴于点E,则∣P2E∣=
12.在Rt△AP2E中,由勾股定理,得而∣CO∣=∣OB∣=
5.∴在四边形P2OCA中,AP2∥CO但∣AP2∣≠∣CO∣.∴点P2(-6,12)是符合要求的点.……1分
③若OP3∥CA设直线CA的函数表达式为y=k2x+b2将点A
100、C4-3代入,得∴直线CA的函数表达式为∴直线OP3的函数表达式为由即xx-14=
0.∴而点O00∴P3(14,7).过点P3作P3E⊥x轴于点E,则∣P3E∣=
7.在Rt△OP3E中,由勾股定理,得而∣CA∣=∣AB∣=.∴在四边形P3OCA中,OP3∥CA但∣OP3∣≠∣CA∣.∴点P3(14,7)是符合要求的点.……1分综上可知,在
(1)中的抛物线上存在点P16-
3、P2-
612、P3147使以P、O、C、A为顶点的四边形为梯形.……1分∴∴……2分
②当抛物线开口向下时,则此抛物线与y轴的正半轴交于点N,同理,可得……1分综上所知,的值为
320.……1分
21.解1m=-5n=-32y=x+23是定值.因为点D为∠ACB的平分线,所以可设点D到边ACBC的距离均为h,设△ABCAB边上的高为H则利用面积法可得(CM+CN)h=MN﹒H又H=化简可得CM+CN﹒故
22.解
(1)由已知得解得c=3b=2∴抛物线的线的解析式为2由顶点坐标公式得顶点坐标为(1,4)所以对称轴为x=1AE关于x=1对称,所以E30设对称轴与x轴的交点为F所以四边形ABDE的面积====9
(3)相似如图,BD=HYPERLINKhttp://www.zk5u.com/\o天涯数学EMBEDEquation.DSMT4BE=DE=所以HYPERLINKhttp://www.zk5u.com/\o天涯数学EMBEDEquation.DSMT4即所以是直角三角形所以且HYPERLINKhttp://www.zk5u.com/\o天涯数学EMBEDEquation.DSMT4所以.
23.解(Ⅰ)当,时,抛物线为,方程的两个根为,.∴该抛物线与轴公共点的坐标是和.2分(Ⅱ)当时,抛物线为,且与轴有公共点.对于方程,判别式≥0,有≤.3分
①当时,由方程,解得.此时抛物线为与轴只有一个公共点.4分
②当时,时,,时,.由已知时,该抛物线与轴有且只有一个公共点,考虑其对称轴为,应有即解得.综上,或.6分(Ⅲ)对于二次函数,由已知时,;时,,又,∴.于是.而,∴,即.∴.7分∵关于的一元二次方程的判别式,∴抛物线与轴有两个公共点,顶点在轴下方.8分
24.解
(1)∵点在上,∴,∴,∴.
(2)连结,由题意易知,∴.
(3)正方形AEFG在绕A点旋转的过程中,F点的轨迹是以点A为圆心,AF为半径的圆.第一种情况当b2a时,存在最大值及最小值;因为的边,故当F点到BD的距离取得最大、最小值时,取得最大、最小值.如图
②所示时,的最大值=的最小值=第二种情况当b=2a时,存在最大值,不存在最小值;的最大值=.(如果答案为4a2或b2也可)
25.解
(1)取中点,联结,为的中点,,.(1分)又,.(1分),得;(2分)(1分)
(2)由已知得HYPERLINKhttp://www.zk5u.com/EMBEDEquation.DSMT4.(1分)以线段为直径的圆与以线段为直径的圆外切,,即HYPERLINKhttp://www.zk5u.com/EMBEDEquation.DSMT4.(2分)解得,即线段的长为;(1分)
(3)由已知,以为顶点的三角形与相似,又易证得.(1分)由此可知,另一对对应角相等有两种情况
①;
②.
①当时,,..,易得.得;(2分)
②当HYPERLINKhttp://www.zk5u.com/EMBEDEquation.DSMT4时,,..又,.,即,得.解得,HYPERLINKhttp://www.zk5u.com/EMBEDEquation.DSMT4(舍去).即线段的长为2.(2分)综上所述,所求线段的长为8或2.
26.解方案一由题意可得,点到甲村的最短距离为.(1分)点到乙村的最短距离为.将供水站建在点处时,管道沿铁路建设的长度之和最小.即最小值为.(3分)方案二如图
①,作点关于射线的对称点,则,连接交于点,则.,.(4分)在中,,,,两点重合.即过点.(6分)在线段上任取一点,连接,则.,把供水站建在乙村的点处,管道沿线路铺设的长度之和最小.即最小值为.(7分)方案三作点关于射线的对称点,连接,则.作于点,交于点,交于点,为点到的最短距离,即.在中,,,..,两点重合,即过点.在中,,.(10分)在线段上任取一点,过作于点,连接.显然.把供水站建在甲村的处,管道沿线路铺设的长度之和最小.即最小值为.(11分)综上,,供水站建在处,所需铺设的管道长度最短.(12分)
27.解
(1)由题意BP=tcm,AQ=2tcm,则CQ=4-2tcm,∵∠C=90°,AC=4cm,BC=3cm,∴AB=5cm∴AP=(5-t)cm,∵PQ∥BC,∴△APQ∽△ABC,∴AP∶AB=AQ∶AC,即(5-t)∶5=2t∶4,解得t=∴当t为秒时,PQ∥BC………………2分
(2)过点Q作QD⊥AB于点D,则易证△AQD∽△ABC∴AQ∶QD=AB∶BC∴2t∶DQ=5∶3,∴DQ=∴△APQ的面积×AP×QD=(5-t)×∴y与t之间的函数关系式为y=………………5分
(3)由题意当面积被平分时有=××3×4,解得t=当周长被平分时(5-t)+2t=t+(4-2t)+3,解得t=1∴不存在这样t的值………………8分
(4)过点P作PE⊥BC于E易证△PAE∽△ABC,当PE=QC时,△PQC为等腰三角形,此时△QCP′为菱形∵△PAE∽△ABC,∴PE∶PB=AC∶AB,∴PE∶t=4∶5,解得PE=∵QC=4-2t,∴2×=4-2t解得t=∴当t=时,四边形PQP′C为菱形此时,PE=,BE=,∴CE=………………10分在Rt△CPE中,根据勾股定理可知PC===∴此菱形的边长为cm………………12分
28.解
(1)∵D(-8,0),∴B点的横坐标为-8,代入中,得y=-
2.∴B点坐标为(-8,-2).而A、B两点关于原点对称,∴A(8,2)从而k=8×2=16
(2)∵N(0,-n),B是CD的中点,A,B,M,E四点均在双曲线上∴mn=k,B(-2m,-),C(-2m,-n),E(-m,-n)=2mn=2k,=mn=k,=mn=k.∴=――=k.∴k=
4.由直线及双曲线,得A(4,1),B(-4,-1)∴C(-4,-2),M(2,2)设直线CM的解析式是,由C、M两点在这条直线上,得,解得a=b=∴直线CM的解析式是y=x+.即如此安装3个这种转发装置,也能达到预设要求.(6分)或将原正方形分割成如图2中的3个矩形,使得,是的中点,将每个装置安装在这些矩形的对角线交点处,则,,,即如此安装三个这个转发装置,能达到预设要求.(6分)要用两个圆覆盖一个正方形,则一个圆至少要经过正方形相邻两个顶点.如图3,用一个直径为31的去覆盖边长为30的正方形,设经过,与交于,连,则,这说明用两个直径都为31的圆不能完全覆盖正方形.所以,至少要安装3个这种转发装置,才能达到预设要求.(8分)评分说明示意图(图
1、图
2、图3)每个图1分.抛物线解析式为,即当时,在抛物线上存在一点满足条件,如果此抛物线上还有满足条件的点,不妨设为点,那么只有可能是以为斜边的等腰直角三角形,由此得,显然不在抛物线上,因此抛物线上没有符合条件的其他的点.当时,同理可得抛物线上没有符合条件的其他的点.当的坐标为,对应的抛物线解析式为时,和都是等腰直角三角形,.又,.,,总满足.当的坐标为,对应的抛物线解析式为时,同理可证得,总满足
31.解
(1)如图所示4分
①标准纸“2开”纸、“4开”纸、“8开”纸、“16开”纸……都是矩形.
②本题中所求边长或面积都用含的代数式表示.。