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2012高考真题分类汇编
四、数列
一、选择题
1.【2012高考真题重庆理1】在等差数列中,,则的前5项和=A.7B.15C.20D.25【答案】B【解析】因为,,所以,所以数列的前5项和选B.
2.【2012高考真题浙江理7】设是公差为d(d≠0)的无穷等差数列﹛an﹜的前n项和,则下列命题错误的是 A.若d<0,则数列﹛Sn﹜有最大项 B.若数列﹛Sn﹜有最大项,则d<0 C.若数列﹛Sn﹜是递增数列,则对任意,均有 D.若对任意,均有,则数列﹛Sn﹜是递增数列【答案】C【解析】选项C显然是错的,举出反例—1,0,1,2,3,….满足数列{Sn}是递增数列,但是Sn>0不成立.故选C
3.【2012高考真题新课标理5】已知为等比数列,,,则()【答案】D【解析】因为为等比数列,所以,又,所以或.若,解得,;若,解得,仍有,综上选D.
4.【2012高考真题上海理18】设,,在中,正数的个数是()A.25B.50C.75D.100【答案】D【解析】当1≤≤24时,>0,当26≤≤49时,<0,但其绝对值要小于1≤≤24时相应的值,当51≤≤74时,>0,当76≤≤99时,<0,但其绝对值要小于51≤≤74时相应的值,∴当1≤≤100时,均有>
05.【2012高考真题辽宁理6】在等差数列{an}中,已知a4+a8=16,则该数列前11项和S11=A58B88C143D176【答案】B【解析】在等差数列中,,答案为B【点评】本题主要考查等差数列的通项公式、性质及其前n项和公式,同时考查运算求解能力,属于中档题解答时利用等差数列的性质快速又准确
6.【2012高考真题四川理12】设函数,是公差为的等差数列,,则()A、B、C、D、【答案】D【解析】,即,而是公差为的等差数列,代入,即,不是的倍数,.,故选D.
7.【2012高考真题湖北理7】定义在上的函数,如果对于任意给定的等比数列,仍是等比数列,则称为“保等比数列函数”.现有定义在上的如下函数
①;
②;
③;
④.则其中是“保等比数列函数”的的序号为 A.
①②B.
③④C.
①③D.
②④【答案】C【解析】等比数列性质,,
①;
②;
③;
④.选C
8.【2012高考真题福建理2】等差数列{an}中,a1+a5=10a4=7则数列{an}的公差为 A.1B.2C.3D.4【答案】B.【解析】由等差中项的性质知,又.故选B.
9.【2012高考真题安徽理4】公比为等比数列的各项都是正数,且,则=() 【答案】B 【解析】.
10.【2012高考真题全国卷理5】已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a5=5,S5=15,则数列的前100项和为ABCD【答案】A【解析】由得,所以,所以,又,选A.
二、填空题
11.【2012高考真题浙江理13】设公比为q(q>0)的等比数列{an}的前n项和为Sn若S2=3a2+2,S4=3a4+2,则q=______________【答案】【解析】将,两个式子全部转化成用,q表示的式子.即,两式作差得,即,解之得舍去.
12.【2012高考真题四川理16】记为不超过实数的最大整数,例如,,,设为正整数,数列满足,,现有下列命题
①当时,数列的前3项依次为532;
②对数列都存在正整数,当时总有;
③当时,;
④对某个正整数,若,则 其中的真命题有____________(写出所有真命题的编号)【答案】
①③④【命题立意】本题属于新概念问题主要考查数列知识的灵活应用和推理论证能力,难度较大.【解析】当时,,,故
①正确;同样验证可得
③④正确,
②错误.
13.【2012高考真题新课标理16】数列满足,则的前项和为【答案】1830【解析】由得,,即,也有,两式相加得,设为整数,则,于是
14.【2012高考真题辽宁理14】已知等比数列{an}为递增数列,且,则数列{an}的通项公式an=______________【答案】【解析】【点评】本题主要考查等比数列的通项公式,转化思想和逻辑推理能力,属于中档题
15.【2012高考真题江西理12】设数列{an}{bn}都是等差数列,若,,则__________【答案】35【命题立意】本题考查等差数列的概念和运算【解析】设数列的公差分别为,则由,得,即,所以,所以
16.【2012高考真题北京理10】已知等差数列为其前n项和若,,则=_______【答案】,【解析】因为,所以,
17.【2012高考真题广东理11】已知递增的等差数列{an}满足a1=1,,则an=____.【答案】【解析】由得到,即,应为{an}是递增的等差数列,所以,故
18.【2012高考真题重庆理12】.【答案】【解析】
19.【2012高考真题上海理6】有一列正方体,棱长组成以1为首项、为公比的等比数列,体积分别记为,则【答案】【解析】由题意可知,该列正方体的体积构成以1为首项,为公比的等比数列,∴++…+==,∴
20.【2012高考真题福建理14】数列{an}的通项公式,前n项和为Sn,则S2012=___________.【答案】3018.【命题立意】本题考查了数列通项公式的概念和前项和的求法,以及余弦函数的周期性,同时考查了考生观察分析发现数列规律的能力,难度较大.【解析】因为函数的周期是4,所以数列的每相邻四项之和是一个常数6,所以.
三、解答题21【2012高考江苏20】(16分)已知各项均为正数的两个数列和满足,,
(1)设,,求证数列是等差数列;
(2)设,,且是等比数列,求和的值.【答案】解
(1)∵,∴∴∴∴数列是以1为公差的等差数列
(2)∵,∴∴(﹡)设等比数列的公比为,由知,下面用反证法证明若则,∴当时,,与(﹡)矛盾若则,∴当时,,与(﹡)矛盾∴综上所述,∴,∴又∵,∴是公比是的等比数列若,则,于是又由即,得∴中至少有两项相同,与矛盾∴∴∴【考点】等差数列和等比数列的基本性质,基本不等式,反证法【解析】
(1)根据题设和,求出,从而证明而得证
(2)根据基本不等式得到,用反证法证明等比数列的公比从而得到的结论,再由知是公比是的等比数列最后用反证法求出
22.【2012高考真题湖北理18】(本小题满分12分) 已知等差数列前三项的和为,前三项的积为.(Ⅰ)求等差数列的通项公式;(Ⅱ)若,,成等比数列,求数列的前项和.【答案】(Ⅰ)设等差数列的公差为,则,, 由题意得解得或 所以由等差数列通项公式可得 ,或. 故,或.(Ⅱ)当时,,,分别为,,,不成等比数列; 当时,,,分别为,,,成等比数列,满足条件. 故 记数列的前项和为. 当时,;当时,; 当时, .当时,满足此式. 综上,
23.【2012高考真题广东理19】(本小题满分14分)设数列{an}的前n项和为Sn,满足,n∈N﹡且a1,a2+5,a3成等差数列.
(1)求a1的值;
(2)求数列{an}的通项公式.
(3)证明对一切正整数n,有.【答案】本题考查由数列的递推公式求通项公式,不等式证明问题,考查了学生的运算求解能力与推理论证能力,难度一般.
24.【2012高考真题陕西理17】(本小题满分12分)设的公比不为1的等比数列,其前项和为,且成等差数列
(1)求数列的公比;
(2)证明对任意,成等差数列【答案】
25.【2012高考真题四川理20】本小题满分12分已知数列的前项和为,且对一切正整数都成立(Ⅰ)求,的值;(Ⅱ)设,数列的前项和为,当为何值时,最大?并求出的最大值【答案】本题主要考查等比数列、等差数列的概念和前n项和公式,以及对数运算等基础知识,考查逻辑推理能力,基本运算能力,以及方程与函数、化归与转化等数学思想
26.【2012高考真题四川理22】本小题满分14分已知为正实数,为自然数,抛物线与轴正半轴相交于点,设为该抛物线在点处的切线在轴上的截距(Ⅰ)用和表示;(Ⅱ)求对所有都有成立的的最小值;(Ⅲ)当时,比较与的大小,并说明理由【答案】本题主要考查导数的应用、不等式、数列等基础知识,考查基本运算能力、逻辑推理能力、分析问题与解决问题的能力和创新意识,考查函数与方程、数形结合、分类讨论、化归与转化由特殊到一般等数学思想
27.【2012高考真题广东理19】(本小题满分14分)设数列{an}的前n项和为Sn,满足,n∈N﹡且a1,a2+5,a3成等差数列.
(4)求a1的值;
(5)求数列{an}的通项公式.
(6)证明对一切正整数n,有.【答案】本题考查由数列的递推公式求通项公式,不等式证明问题,考查了学生的运算求解能力与推理论证能力,难度一般.
28.【2012高考真题上海理23】(4+6+8=18分)对于数集,其中,,定义向量集,若对任意,存在,使得,则称具有性质.例如具有性质.
(1)若,且具有性质,求的值;
(2)若具有性质,求证,且当时,;
(3)若具有性质,且、(为常数),求有穷数列的通项公式.【答案】【点评】本题主要考查数集、集合的基本性质、元素与集合的关系等基础知识,本题属于信息给予题,通过定义“具有性质”这一概念,考查考生分析探究及推理论证的能力.综合考查集合的基本运算,集合问题一直是近几年的命题重点内容,应引起足够的重视.
29.【2012高考真题重庆理21】(本小题满分12分,(I)小问5分,(II)小问7分.)设数列的前项和满足,其中.(I)求证是首项为1的等比数列; (II)若,求证,并给出等号成立的充要条件.【答案】
30.【2012高考真题江西理17】(本小题满分12分)已知数列{an}的前n项和,且Sn的最大值为
8.
(1)确定常数k,求an;
(2)求数列的前n项和Tn【答案】【点评】本题考查数列的通项,递推、错位相减法求和以及二次函数的最值的综合应用.利用来实现与的相互转化是数列问题比较常见的技巧之一,要注意不能用来求解首项,首项一般通过来求解.运用错位相减法求数列的前n项和适用的情况当数列通项由两项的乘积组成,其中一项是等差数列、另一项是等比数列.
31.【2012高考真题安徽理21】(本小题满分13分) 数列满足 (I)证明数列是单调递减数列的充分必要条件是; (II)求的取值范围,使数列是单调递增数列 【答案】本题考查数列的概念及其性质,不等式及其性质,充要条件的意义,数列与函数的关系等基础知识,考查综合运用知识分析问题的能力,推理论证和运算求解能力 【解析】(I)必要条件 当时,数列是单调递减数列 充分条件 数列是单调递减数列, 得数列是单调递减数列的充分必要条件是 (II)由(I)得,
①当时,,不合题意;
②当时,, , 当时,与同号, 由, 当时,存在,使与异号,与数列是单调递减数列矛盾, 得当时,数列是单调递增数列
32.【2012高考真题天津理18】(本小题满分13分)已知是等差数列,其前n项和为Sn,是等比数列,且,.(Ⅰ)求数列与的通项公式;(Ⅱ)记,,证明().【答案】
33.【2012高考真题湖南理19】(本小题满分12分)已知数列{an}的各项均为正数,记A(n)=a1+a2+……+an,B(n)=a2+a3+……+an+1,C(n)=a3+a4+……+an+2,n=12,……
(1)若a1=1,a2=5,且对任意n∈N﹡,三个数A(n),B(n),C(n)组成等差数列,求数列{an}的通项公式.
(2)证明数列{an}是公比为q的等比数列的充分必要条件是对任意,三个数A(n),B(n),C(n)组成公比为q的等比数列.【答案】解(1)对任意三个数是等差数列,所以 即亦即故数列是首项为1,公差为4的等差数列.于是(Ⅱ)(1)必要性若数列是公比为q的等比数列,则对任意,有由知,均大于0,于是 即==,所以三个数组成公比为的等比数列.(2)充分性若对于任意,三个数组成公比为的等比数列,则 ,于是得即 由有即,从而.因为,所以,故数列是首项为,公比为的等比数列,综上所述,数列是公比为的等比数列的充分必要条件是对任意n∈N﹡,三个数组成公比为的等比数列.【解析】【点评】本题考查等差数列、等比数列的定义、性质及充要条件的证明.第一问由等差数列定义可得;第二问要从充分性、必要性两方面来证明,利用等比数列的定义及性质易得证.
34.【2012高考真题山东理20】本小题满分12分)在等差数列中,.(Ⅰ)求数列的通项公式;(Ⅱ)对任意,将数列中落入区间内的项的个数记为,求数列的前项和.【答案】
35.【2012高考真题全国卷理22】(本小题满分12分)(注意在试卷上作答无效) 函数fx=x2-2x-3,定义数列{xn}如下x1=2,xn+1是过两点P
(45)、Qnxnfxn的直线PQn与x轴交点的横坐标.(Ⅰ)证明2xn<xn+1<3;(Ⅱ)求数列{xn}的通项公式.【答案】2013高考真题分类汇一集合与简易逻辑
1.【2012高考真题浙江理1】设集合A={x|1<x<4},集合B={x|-2x-3≤0}则A∩(CRB)= A.14B.34C.13D.12∪
(34)【答案】B【解析】B={x|-2x-3≤0}=,A∩(CRB)={x|1<x<4}=故选B.
2.【2012高考真题新课标理1】已知集合;则中所含元素 的个数为()【答案】D【解析】要使当时,可是1,2,3,
4.当时,可是1,2,
3.当时,可是1,
2.当时,可是1,综上共有10个,选D.
3.【2012高考真题陕西理1】集合,,则()A.B.C.D.【答案】C.【解析】,,故选C.
4.【2012高考真题山东理2】已知全集,集合,则为 (A)(B)(C)(D)【答案】C【解析】所以选C.
5.【2012高考真题辽宁理1】已知全集U={0123456789},集合A={01358},集合B={24568},则为A{58}B{79}C{013}D{246}【答案】B【解析】
1.因为全集U={0123456789},集合A={01358},集合B={24568},所以,所以为{79}故选B
6.集合为即为在全集U中去掉集合A和集合B中的元素,所剩的元素形成的集合,由此可快速得到答案,选B【点评】本题主要考查集合的交集、补集运算,属于容易题采用解析二能够更快地得到答案
7.【2012高考真题辽宁理4】已知命题p x1,x2R,fx2fx1x2x1≥0,则p是Ax1,x2R,fx2fx1x2x1≤0Bx1,x2R,fx2fx1x2x1≤0Cx1,x2R,fx2fx1x2x10Dx1,x2R,fx2fx1x2x10【答案】C【解析】命题p为全称命题,所以其否定p应是特称命题,又fx2fx1x2x1≥0否定为fx2fx1x2x10,故选C【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定,属于容易题
8.【2012高考真题江西理1】若集合A={-1,1},B={0,2},则集合{z︱z=x+yx∈Ay∈B}中的元素的个数为A.5B.4C.3D.2【答案】C【命题立意】本题考查集合的概念和表示【解析】因为,所以当时,,此时当时,,此时,所以集合共三个元素,选C.
9.【2012高考真题江西理5】下列命题中,假命题为A.存在四边相等的四边形不是正方形B.为实数的充分必要条件是为共轭复数C.若R,且则至少有一个大于1D.对于任意都是偶数【答案】B【命题立意】本题考查命题的真假判断【解析】对于B若为共轭复数,不妨设,则,为实数设,则,若为实数,则有,当没有关系,所以B为假命题,选B.
10.【2012高考真题湖南理1】设集合M={-101},N={x|x2≤x},则M∩N=A.{0}B.{01}C.{-11}D.{-100}【答案】B【解析】M={-101}M∩N={01}.【点评】本题考查了集合的基本运算,较简单,易得分.先求出再利用交集定义得出M∩N.
10.【2012高考真题湖南理2】命题“若α=,则tanα=1”的逆否命题是A.若α≠,则tanα≠1B.若α=,则tanα≠1C.若tanα≠1,则α≠D.若tanα≠1,则α=【答案】C【解析】因为“若,则”的逆否命题为“若,则”,所以“若α=,则tanα=1”的逆否命题是“若tanα≠1,则α≠”.【点评】本题考查了“若p,则q”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题,考查分析问题的能力.
11.【2012高考真题湖北理2】命题“,”的否定是 A.,B., C.,D.,【答案】D【解析】根据对命题的否定知,是把谓词取否定,然后把结论否定因此选D
12.【2012高考真题广东理2】设集合U={123456},M={124},则CuM=A.UB.{135}C.{356}D.{246}【答案】C【解析】,故选C.
13.【2012高考真题福建理3】下列命题中,真命题是A.B.C.a+b=0的充要条件是=-1D.a1b1是ab1的充分条件【答案】D.【解析】此类题目多选用筛选法,因为对任意恒成立,所以A选项错误;因为当时且89所以选项B错误;因为当时而无意义,所以选项C错误;故选D.
14.【2012高考真题北京理1】已知集合A={x∈R|3x+2>0}B={x∈R|(x+1)x-3>0}则A∩B=A(-,-1)B(-1,-)C(-3)D3+【答案】D【解析】因为,利用二次不等式可得或画出数轴易得.故选D.
15.【2012高考真题安徽理6】设平面与平面相交于直线,直线在平面内,直线在平面内,且,则“”是“”的() 充分不必要条件必要不充分条件 充要条件即不充分不必要条件【答案】A【命题立意】本题借助线面位置关系考查条件的判断【解析】
①,
②如果,则与条件相同.
16.【2012高考真题全国卷理2】已知集合A={
1.
3.},B={1,m}AB=A则m=A0或B0或3C1或D1或3【答案】B【解析】因为所以所以或.若,则满足.若,解得或.若,则,满足.若,显然不成立,综上或,选B..17【2012高考真题四川理13】设全集,集合,,则___________【答案】【命题立意】本题考查集合的基本运算法则,难度较小.【解析】,,
18.【2012高考真题上海理2】若集合,,则【答案】【解析】集合,,所以,即
19.【2012高考真题天津理11】已知集合集合且则m=__________,n=__________.【答案】【解析】由,得,即,所以集合,因为,所以是方程的根,所以代入得,所以,此时不等式的解为,所以,即
20.【2012高考江苏1】(5分)已知集合,,则▲.【答案】【考点】集合的概念和运算【分析】由集合的并集意义得
21.【2012高考江苏26】(10分)设集合,.记为同时满足下列条件的集合的个数
①;
②若,则;
③若,则
(1)求;
(2)求的解析式(用表示).【答案】解
(1)当时,符合条件的集合为,∴=4 2)任取偶数,将除以2,若商仍为偶数.再除以2,···经过次以后.商必为奇数.此时记商为于是,其中为奇数由条件知.若则为偶数;若,则为奇数于是是否属于,由是否属于确定设是中所有奇数的集合.因此等于的子集个数当为偶数〔或奇数)时,中奇数的个数是()∴【考点】集合的概念和运算,计数原理【解析】
(1)找出时,符合条件的集合个数即可
(2)由题设,根据计数原理进行求解
22.【2012高考真题陕西理18】(本小题满分12分)
(1)如图,证明命题“是平面内的一条直线,是外的一条直线(不垂直于),是直线在上的投影,若,则”为真
(2)写出上述命题的逆命题,并判断其真假(不需要证明)【答案】2012高考真题分类汇编
三、导数
一、选择题
1.【2012高考真题重庆理8】设函数在R上可导,其导函数为,且函数的图像如题
(8)图所示,则下列结论中一定成立的是(A)函数有极大值和极小值(B)函数有极大值和极小值(C)函数有极大值和极小值(D)函数有极大值和极小值【答案】D【解析】由图象可知当时,,所以此时,函数递增.当时,,所以此时,函数递减.当时,,所以此时,函数递减.当时,,所以此时,函数递增.所以函数有极大值,极小值选D.
2.【2012高考真题新课标理12】设点在曲线上,点在曲线上,则最小值为()【答案】B【解析】函数与函数互为反函数,图象关于对称函数上的点到直线的距离为设函数由图象关于对称得最小值为
3.【2012高考真题陕西理7】设函数,则()A.为的极大值点B.为的极小值点C.为的极大值点D.为的极小值点[学【答案】D.【解析】,令,则,当时,当时,所以为极小值点,故选D.
4.【2012高考真题辽宁理12】若,则下列不等式恒成立的是ABCD【答案】C【解析】设,则所以所以当时,同理即,故选C【点评】本题主要考查导数公式,以及利用导数,通过函数的单调性与最值来证明不等式,考查转化思想、推理论证能力、以及运算能力,难度较大
5.【2012高考真题湖北理3】已知二次函数的图象如图所示,则它与轴所围图形的面积为 A.B. C.D.【答案】B【解析】根据图像可得,再由定积分的几何意义,可求得面积为.
6.【2012高考真题全国卷理10】已知函数y=x-3x+c的图像与x恰有两个公共点,则c=(A)-2或2(B)-9或3(C)-1或1(D)-3或1【答案】A【解析】若函数的图象与轴恰有两个公共点,则说明函数的两个极值中有一个为0,函数的导数为,令,解得,可知当极大值为,极小值为.由,解得,由,解得,所以或,选A.
二、填空题
7.【2012高考真题浙江理16】定义曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离,已知曲线C1y=x2+a到直线l:y=x的距离等于曲线C2x2+y+42=2到直线l:y=x的距离,则实数a=_______【答案】【解析】曲线C2x2+y+42=2到直线l:y=x的距离为, 曲线C1y=x2+a对应函数的导数为,令得,所以C1y=x2+a上的点为,点到到直线l:y=x的距离应为,所以,解得或(舍去)
8.【2012高考真题江西理11】计算定积分___________【答案】【命题立意】本题考查微积分定理的基本应用【解析】
9.【2012高考真题山东理15】设.若曲线与直线所围成封闭图形的面积为,则______.【答案】【解析】由已知得,所以,所以
10.【2012高考真题广东理12】曲线y=x3-x+3在点(1,3)处的切线方程为.【答案】【解析】,当时,,此时,故切线方程为,即
11.【2012高考真题上海理13】已知函数的图象是折线段,其中、、,函数()的图象与轴围成的图形的面积为【答案】【解析】当,线段的方程为,当时线段方程为,整理得,即函数,所以,函数与轴围成的图形面积为
12.【2012高考真题陕西理14】设函数,是由轴和曲线及该曲线在点处的切线所围成的封闭区域,则在上的最大值为.【答案】2.【解析】函数在点处的切线为,即.所以D表示的平面区域如图当目标函数直线经过点M时有最大值,最大值为.
三、解答题
13.【2012高考真题广东理21】(本小题满分14分)设a<1,集合,,
(1)求集合D(用区间表示);
(2)求函数在D内的极值点.【答案】本题是一个综合性问题,考查集合与导数的相关知识,考查了学生综合解决问题的能力,难度较大.
14.【2012高考真题安徽理19】(本小题满分13分) 设 (I)求在上的最小值; (II)设曲线在点的切线方程为;求的值 【答案】本题考查函数、导数的基础知识,运用导数研究函数性质等基本方法,考查分类讨论思想,代数恒等变形能力和综合运用数学知识分析问题解决问题的能力 【解析】(I)设;则,
①当时,在上是增函数, 得当时,的最小值为
②当时,, 当且仅当时,的最小值为 (II), 由题意得
15.【2012高考真题福建理20】(本小题满分14分)已知函数f(x)=ex+ax2-ex,a∈R.(Ⅰ)若曲线y=f(x)在点(1,f
(1))处的切线平行于x轴,求函数f(x)的单调区间;(Ⅱ)试确定a的取值范围,使得曲线y=f(x)上存在唯一的点P,曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P.【答案】本题主要考查函数导数的应用、二次函数的性质、函数零点的存在性定理等基础知识,考查推理论证能力、基本运算能力、抽象概括能力,以及分类与整合思想、数形结合思想、化归与转化思想.
16.【2012高考真题全国卷理20】(本小题满分12分)(注意在试题卷上作答无效)设函数f(x)=ax+cosx,x∈[0,π].(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;(Ⅱ)设f(x)≤1+sinx,求a的取值范围.【答案】
17.【2012高考真题北京理18】(本小题共13分)【答案】解()由为公共切点可得,则,,,则,,
①又,,,即,代入
①式可得.
(2),设则,令,解得,;,,原函数在单调递增,在单调递减,在上单调递增
①若,即时,最大值为;
②若,即时,最大值为
③若时,即时,最大值为.综上所述当时,最大值为;当时,最大值为.
18.【2012高考真题新课标理21】(本小题满分12分) 已知函数满足满足;
(1)求的解析式及单调区间;
(2)若,求的最大值.【答案】
(1)令得得在上单调递增得的解析式为且单调递增区间为,单调递减区间为
(2)得
①当时,在上单调递增时,与矛盾
②当时,得当时,令;则 当时,当时,的最大值为
19.【2012高考真题天津理20】本小题满分14分)已知函数的最小值为0,其中(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)若对任意的有≤成立,求实数的最小值;(Ⅲ)证明().【答案】
20.【2012高考江苏18】(16分)若函数在处取得极大值或极小值,则称为函数的极值点已知是实数,1和是函数的两个极值点.
(1)求和的值;
(2)设函数的导函数,求的极值点;
(3)设,其中,求函数的零点个数.【答案】解
(1)由,得∵1和是函数的两个极值点,∴,,解得
(2)∵由
(1)得,,∴,解得∵当时,;当时,,∴是的极值点∵当或时,,∴不是的极值点∴的极值点是-2
(3)令,则 先讨论关于的方程根的情况当时,由
(2)可知,的两个不同的根为I和一2,注意到是奇函数,∴的两个不同的根为一和2当时,∵,,∴一2-1,1,2都不是的根由
(1)知
①当时,,于是是单调增函数,从而此时在无实根
②当时.,于是是单调增函数又∵,,的图象不间断,∴在
(12)内有唯一实根同理,在(一2,一I)内有唯一实根
③当时,,于是是单调减两数又∵,,的图象不间断,∴在(一1,1)内有唯一实根因此,当时,有两个不同的根满足;当时有三个不同的根,满足现考虑函数的零点i)当时,有两个根,满足而有三个不同的根,有两个不同的根,故有5个零点11)当时,有三个不同的根,满足而有三个不同的根,故有9个零点综上所述,当时,函数有5个零点;当时,函数有9个零点【考点】函数的概念和性质,导数的应用【解析】
(1)求出的导数,根据1和是函数的两个极值点代入列方程组求解即可
(2)由
(1)得,,求出,令,求解讨论即可
(3)比较复杂,先分和讨论关于的方程根的情况;再考虑函数的零点
21.【2012高考真题辽宁理21】本小题满分12分设,曲线与直线在0,0点相切Ⅰ求的值Ⅱ证明当时,【答案】【点评】本题综合考查导数的概念、几何意义、导数在判断函数单调性与最值中的运用本题容易忽略函数的定义域,根据条件曲线与直线在0,0点相切,求出的值,然后,利用函数的单调性或者均值不等式证明即可从近几年的高考命题趋势看,此类型题目几乎年年都有涉及,因此,在平时要加强训练本题属于中档题
22.【2012高考真题重庆理16】(本小题满分13分,(Ⅰ)小问6分,(Ⅱ)小问7分.)设其中,曲线在点处的切线垂直于轴.(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)求函数的极值.【答案】
23.【2012高考真题浙江理22】本小题满分14分已知a>0,bR,函数. Ⅰ证明当0≤x≤1时, ⅰ函数的最大值为|2a-b|﹢a; ⅱ+|2a-b|﹢a≥0; Ⅱ若﹣1≤≤1对x[0,1]恒成立,求a+b的取值范围. 【命题立意】本题主要考查不等式、利用导数研究函数的单调性等性质、线性规划等知识点综合运用能力,同时考查抽象概括、推理论证能力 【答案】本题主要考察不等式,导数,单调性, Ⅰⅰ. 当b≤0时,>0在0≤x≤1上恒成立, 此时的最大值为=|2a-b|﹢a; 当b>0时,在0≤x≤1上的正负性不能判断, 此时的最大值为 =|2a-b|﹢a; 综上所述函数在0≤x≤1上的最大值为|2a-b|﹢a; ⅱ要证+|2a-b|﹢a≥0,即证=﹣≤|2a-b|﹢a. 亦即证在0≤x≤1上的最大值小于或等于|2a-b|﹢a, ∵, ∴令. 当b≤0时,<0在0≤x≤1上恒成立, 此时的最大值为=|2a-b|﹢a; 当b<0时,在0≤x≤1上的正负性不能判断, ≤|2a-b|﹢a; 综上所述函数在0≤x≤1上的最大值小于或等于|2a-b|﹢a. 即+|2a-b|﹢a≥0在0≤x≤1上恒成立. Ⅱ由Ⅰ知函数在0≤x≤1上的最大值为|2a-b|﹢a, 且函数在0≤x≤1上的最小值比﹣|2a-b|﹢a要大. ∵﹣1≤≤1对x[0,1]恒成立, ∴|2a-b|﹢a≤1. 取b为纵轴,a为横轴. 则可行域为和,目标函数为z=a+b. 作图如下 由图易得当目标函数为z=a+b过P1,2时,有. ∴所求a+b的取值范围为.
24.【2012高考真题山东理22】本小题满分13分已知函数(为常数,是自然对数的底数),曲线在点处的切线与轴平行.(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)求的单调区间;(Ⅲ)设其中为的导函数.证明对任意.【答案】
25.【2012高考真题湖南理22】(本小题满分13分)已知函数=,其中a≠
0.
(1)若对一切x∈R,≥1恒成立,求a的取值集合.
(2)在函数的图像上取定两点,,记直线AB的斜率为K,问是否存在x0∈(x1,x2),使成立?若存在,求的取值范围;若不存在,请说明理由.【答案】(Ⅰ)若,则对一切,,这与题设矛盾,又,故.而令当时,单调递减;当时,单调递增,故当时,取最小值于是对一切恒成立,当且仅当 .
①令则当时,单调递增;当时,单调递减.故当时,取最大值.因此,当且仅当即时,
①式成立.综上所述,的取值集合为.(Ⅱ)由题意知,令则令,则.当时,单调递减;当时,单调递增.故当,即从而,又所以因为函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线,所以存在使单调递增,故这样的是唯一的,且.故当且仅当时,.综上所述,存在使成立.且的取值范围为.【点评】本题考查利用导函数研究函数单调性、最值、不等式恒成立问题等,考查运算能力,考查分类讨论思想、函数与方程思想,转化与划归思想等数学思想方法.第一问利用导函数法求出取最小值对一切x∈R,fx1恒成立转化为,从而得出a的取值集合;第二问在假设存在的情况下进行推理,通过构造函数,研究这个函数的单调性及最值来进行分析判断.2012高考真题分类汇编
五、三角函数
一、选择题
1.【2012高考真题重庆理5】设是方程的两个根,则的值为(A)-3(B)-1(C)1(D)3【答案】A【解析】因为是方程的两个根,所以,,所以,选A.
2.【2012高考真题浙江理4】把函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),然后向左平移1个单位长度,再向下平移1个单位长度,得到的图像是 【答案】A【解析】根据题设条件得到变化后的函数为,结合函数图象可知选项A符合要求故选A.
3.【2012高考真题新课标理9】已知,函数在上单调递减.则的取值范围是()【答案】A【解析】函数的导数为,要使函数在上单调递减,则有恒成立,则,即,所以,当时,,又,所以有,解得,即,选A.
4.【2012高考真题四川理4】如图,正方形的边长为,延长至,使,连接、则()A、B、C、D、【答案】B【解析】,,,由正弦定理得,所以.
5.【2012高考真题陕西理9】在中,角所对边长分别为,若,则的最小值为()A.B.C.D.【答案】C.【解析】由余弦定理知,故选C.
6.【2012高考真题山东理7】若,,则 (A)(B)(C)(D)【答案】D【解析】因为,所以,,所以,又,所以,,选D.
7.【2012高考真题辽宁理7】已知,0,π,则=A1BCD1【答案】A【解析一】,故选A【解析二】,故选A【点评】本题主要考查三角函数中的和差公式、倍角公式、三角函数的性质以及转化思想和运算求解能力,难度适中
8.【2012高考真题江西理4】若tan+=4则sin2=A.B.C.D.【答案】D【命题立意】本题考查三角函数的倍角公式以及同角的三角函数的基本关系式【解析】由得,,即,所以,选D.
9.【2012高考真题湖南理6】函数f(x)=sinx-cosx+的值域为A.[-22]B.[-]C.[-11]D.[-]【答案】B【解析】f(x)=sinx-cosx+,,值域为[-].【点评】利用三角恒等变换把化成的形式,利用,求得的值域.
10.【2012高考真题上海理16】在中,若,则的形状是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定【答案】C【解析】根据正弦定理可知由可知,在三角形中,所以为钝角,三角形为钝角三角形,选C.
11.【2012高考真题天津理2】设则“”是“为偶函数”的 (A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分与不必要条件【答案】A【解析】函数若为偶函数,则有所以“”是“为偶函数”的充分不必要条件,选A.
12.【2012高考真题天津理6】在中,内角A,B,C所对的边分别是,已知8b=5c,C=2B,则cosC= (A)(B)(C)(D)【答案】A【解析】因为所以根据正弦定理有,所以,所以又,所以,选A.
13.【2012高考真题全国卷理7】已知α为第二象限角,,则cos2α=A(B)CD【答案】A【解析】因为所以两边平方得,所以,因为已知α为第二象限角,所以,,所以=,选A.er
二、填空题
14.【2012高考真题湖南理15】函数f(x)=sin的导函数的部分图像如图4所示,其中,P为图像与y轴的交点,AC为图像与x轴的两个交点,B为图像的最低点.
(1)若,点P的坐标为(0,),则;
(2)若在曲线段与x轴所围成的区域内随机取一点,则该点在△ABC内的概率为.【答案】
(1)3;
(2)【解析】
(1),当,点P的坐标为(0,)时;
(2)由图知,,设的横坐标分别为.设曲线段与x轴所围成的区域的面积为则,由几何概型知该点在△ABC内的概率为.【点评】本题考查三角函数的图像与性质、几何概型等,
(1)利用点P在图像上求,
(2)几何概型,求出三角形面积及曲边形面积,代入公式即得.
15.【2012高考真题湖北理11】设△的内角,,所对的边分别为,,.若,则角.【答案】【解析】
16.【2012高考真题北京理11】在△ABC中,若=2,b+c=7,cosB=,则b=_______【答案】4【解析】在△ABC中,利用余弦定理,化简得,与题目条件联立,可解得.
17.【2012高考真题安徽理15】设的内角所对的边为;则下列命题正确的是
①若;则
②若;则
③若;则
④若;则
⑤若;则 【答案】
①②③ 【命题立意】本题解三角形的知识,主要涉及余弦定理与基本不等式的运算 【解析】正确的是
①
②
③当时,与矛盾
④取满足得
⑤取满足得
18.【2012高考真题福建理13】已知△ABC得三边长成公比为的等比数列,则其最大角的余弦值为_________.【答案】.【命题立意】本题考查了解三角形和等比数列的相关知识,难度适中.【解析】设最小边长为,则另两边为.所以最大角余弦
19.【2012高考真题重庆理13】设的内角的对边分别为,且,则【答案】【解析】因为所以,,根据正弦定理得解得.
20.【2012高考真题上海理4】若是直线的一个法向量,则的倾斜角的大小为(结果用反三角函数值表示)【答案】【解析】设倾斜角为,由题意可知,直线的一个方向向量为
(12),则,∴=
21.【2012高考真题全国卷理14】当函数取得最大值时,x=___________.【答案】【解析】函数为,当时,,由三角函数图象可知,当,即时取得最大值,所以.
22.【2012高考江苏11】(5分)设为锐角,若,则的值为▲.【答案】【考点】同角三角函数,倍角三角函数,和角三角函数【解析】∵为锐角,即,∴∵,∴∴∴∴
三、解答题
23.【2012高考真题新课标理17】(本小题满分12分)已知分别为三个内角的对边,
(1)求
(2)若,的面积为;求.【答案】
(1)由正弦定理得
(2)
24.【2012高考真题湖北理17】(本小题满分12分)已知向量,,设函数的图象关于直线对称,其中,为常数,且.(Ⅰ)求函数的最小正周期;(Ⅱ)若的图象经过点,求函数在区间上的取值范围.【答案】(Ⅰ)因为 . 由直线是图象的一条对称轴,可得, 所以,即. 又,,所以,故. 所以的最小正周期是.(Ⅱ)由的图象过点,得, 即,即. 故, 由,有, 所以,得, 故函数在上的取值范围为.
25.【2012高考真题安徽理16】)本小题满分12分 设函数 (I)求函数的最小正周期; (II)设函数对任意,有,且当时,,求函数在上的解析式【答案】本题考查两角和与差的三角函数公式、二倍角公式、三角函数的周期等性质、分段函数解析式等基础知识,考查分类讨论思想和运算求解能力【解析】, (I)函数的最小正周期
(2)当时, 当时, 当时,得函数在上的解析式为
26.【2012高考真题四川理18】本小题满分12分函数在一个周期内的图象如图所示,为图象的最高点,、为图象与轴的交点,且为正三角形(Ⅰ)求的值及函数的值域;(Ⅱ)若,且,求的值【答案】本题主要考查三角函数的图像与性质、同角三角函数的关系、两角和差公式,倍角公式等基础知识,考查基本运算能力,以及数形结合思想,化归与转化思想.
27.【2012高考真题陕西理16】(本小题满分12分)函数()的最大值为3,其图像相邻两条对称轴之间的距离为,
(1)求函数的解析式;
(2)设,则,求的值【答案】
28.【2012高考真题广东理16】(本小题满分12分)已知函数,(其中ω>0,x∈R)的最小正周期为10π.
(1)求ω的值;
(2)设,,,求cos(α+β)的值.【答案】本题考查三角函数求值,三角恒等变换,利用诱导公式化简三角函数式与两角和的余弦公式求值,难度较低【解析】
29.【2012高考真题山东理17】(本小题满分12分) 已知向量,函数的最大值为
6.(Ⅰ)求;(Ⅱ)将函数的图象向左平移个单位,再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍,纵坐标不变,得到函数的图象.求在上的值域.【答案】
30.【2012高考真题北京理15】(本小题共13分)已知函数
(1)求的定义域及最小正周期;
(2)求的单调递减区间【答案】
31.【2012高考真题重庆理18】(本小题满分13分(Ⅰ)小问8分(Ⅱ)小问5分)设,其中(Ⅰ)求函数的值域(Ⅱ)若在区间上为增函数,求的最大值.【答案】
32.【2012高考真题浙江理18】本小题满分14分在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知cosA=,sinB=cosC. Ⅰ求tanC的值; Ⅱ若a=,求ABC的面积. 【答案】本题主要考查三角恒等变换,正弦定理,余弦定理及三角形面积求法等知识点 Ⅰ∵cosA=>0,∴sinA=, 又cosC=sinB=sinA+C=sinAcosC+sinCcosA =cosC+sinC. 整理得tanC=. Ⅱ由图辅助三角形知sinC=. 又由正弦定理知, 故.1 对角A运用余弦定理cosA=.2 解12得orb=舍去. ∴ABC的面积为S=.
33.【2012高考真题辽宁理17】本小题满分12分在中,角A、B、C的对边分别为a,b,c角A,B,C成等差数列Ⅰ求的值;Ⅱ边a,b,c成等比数列,求的值【答案】【点评】本题主要考查三角形的正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理及等差、等比数列的定义,考查转化思想和运算求解能力,属于容易题第二小题既可以利用正弦定理把边的关系转化为角的关系,也可以利用余弦定理得到边之间的关系,再来求最后的结果
34.【2012高考真题江西理18】(本小题满分12分)在△ABC中,角ABC的对边分别为a,b,c已知,
(1)求证
(2)若,求△ABC的面积【答案】【点评】本题考查解三角形,三角形的面积,三角恒等变换、三角和差公式以及正弦定理的应用.高考中,三角解答题一般有两种题型
一、解三角形主要是运用正余弦定理来求解边长,角度,周长,面积等;
二、三角函数的图像与性质主要是运用和角公式,倍角公式,辅助角公式进行三角恒等变换,求解三角函数的最小正周期,单调区间,最值(值域)等.来年需要注意第二种题型的考查.
35.【2012高考真题全国卷理17】(本小题满分10分)(注意在试卷上作答无效)三角形ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知cos(A-C)+cosB=1,a=2c,求c.【答案】
36.【2012高考真题天津理15】(本小题满分13分)已知函数(Ⅰ)求函数的最小正周期;(Ⅱ)求函数在区间上的最大值和最小值.【答案】
37.【2012高考江苏15】(14分)在中,已知.
(1)求证;
(2)若求A的值.【答案】解
(1)∵,∴,即由正弦定理,得,∴又∵,∴∴即
(2)∵,∴∴∴,即∴由
(1),得,解得∵,∴∴【考点】平面微量的数量积,三角函数的基本关系式,两角和的正切公式,解三角形【解析】
(1)先将表示成数量积,再根据正弦定理和同角三角函数关系式证明
(2)由可求,由三角形三角关系,得到,从而根据两角和的正切公式和
(1)的结论即可求得A的值。