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2013年普通高等学校招生全国统一考试理科数学乐享玲珑,为中国数学增光添彩!免费,全开放的几何教学软件,功能强大,好用实用第一部分共50分
一、选择题在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求(本大题共10小题,每小题5分,共50分)
1.设全集为R函数的定义域为M则为A[-11]B-11CD
2.根据下列算法语句当输入x为60时输出y的值为A25B30C31D
613.设为向量则“”是“”的A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件
4.某单位有840名职工现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查将840人按12…840随机编号则抽取的42人中编号落入区间
[481720]的人数为A11B12C13D
145.如图在矩形区域ABCD的AC两点处各有一个通信基站假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF该矩形区域内无其他信号来源基站工作正常.若在该矩形区域内随机地选一地点则该地点无信号的概率是ABCD
6.设z1z2是复数则下列命题中的假命题是A若则B若则C若则D若则
7.设△ABC的内角ABC所对的边分别为abc若则△ABC的形状为A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D不确定
8.设函数则当x0时表达式的展开式中常数项为A-20B20C-15D
159.在如图所示的锐角三角形空地中欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园阴影部分则其边长单位m的取值范围是A
[1520]B
[1225]C
[1030]D
[2030]
10.设[]表示不大于的最大整数则对任意实数,有A[-]=-[]B
[2]=2[]C[+]≤[]+[]D[-]≤[]-[]
二、填空题把答案填写在答题卡相应题号后的横线上(本大题共5小题,每小题5分,共25分)
11.双曲线的离心率为则m等于.
12.某几何体的三视图如图所示则其体积为.
13.若点位于曲线与y=2所围成的封闭区域则2x-y的最小值为.
14.观察下列等式:…照此规律第个等式可为.
15.考生请注意:请在下列三题中任选一题作答如果多做则按所做的第一题计分A.不等式选做题已知均为正数且则的最小值为.B.几何证明选做题如图弦AB与CD相交于内一点E过E作BC的平行线与AD的延长线相交于点P.已知PD=2DA=2则PE=.C.坐标系与参数方程选做题如图以过原点的直线的倾斜角为参数则圆的参数方程为.
三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤(本大题共6小题,共75分)
16.本小题满分12分已知向量设函数.Ⅰ求的最小正周期.Ⅱ求在上的最大值和最小值.
17.本小题满分12分设是公比为的等比数列.Ⅰ导的前项和公式;Ⅱ设≠1证明数列不是等比数列.
18.本小题满分12分如图四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形O为底面中心A1O⊥平面ABCD.Ⅰ证明:A1C⊥平面BB1D1D;Ⅱ求平面OCB1与平面BB1D1D的夹角的大小.
19.本小题满分12分在一场娱乐晚会上有5位民间歌手1至5号登台演唱由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手.各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手其中观众甲是1号歌手的歌迷他必选1号不选2号另在3至5号中随机选2名.观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱因此在1至5号中随机选3名歌手.Ⅰ求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率;ⅡX表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和求X的分布列和数学期望.
20.本小题满分13分已知动圆过定点A40且在y轴上截得的弦MN的长为
8.Ⅰ求动圆圆心的轨迹C的方程;Ⅱ已知点B-10设不垂直于x轴的直线与轨迹C交于不同的两点PQ若轴是的角平分线证明直线过定点.
21.本小题满分14分已知函数.Ⅰ若直线与的反函数的图像相切求实数的值;Ⅱ设讨论曲线与曲线公共点的个数.Ⅲ设比较与的大小并说明理由.参考答案
一、选择题1.D解所以选D2.C解所以选C3.C解若为真;相反,若,则所以“”是“a//b”的充分必要条件另当为零向量时,上述结论也成立所以选C4.B解使用系统抽样方法,从840人中抽取42人,即从20人抽取1人所以从编号1~480的人中,恰好抽取24人,接着从编号481~720共240人中抽取12人故选B5.A解该地点信号的概率=所以该地点无信号的概率是选A6.D解对(A),若则,所以为真对(B),若则互为共轭复数,所以为真对(C),设若则,,所以为真对(D),若则为真,而,所以为假选D7.B解因为,所以又联立两式得所以选B8.A解当的展开式中,常数项为所以选A9.C解设矩形高为y由三角形相似得:利用线性规划知识解得,选C10.D解代值法对A设x=-
1.8则[-x]=1-[x]=2所以A选项为假对B设x=-
1.4[2x]=[-
2.8]=-32[x]=-4所以B选项为假对C设x=y=
1.8对A[x+y]=[
3.6]=3[x]+[y]=2所以C选项为假故D选项为真所以选D11.9解12.解立体图为半个圆锥体,底面是半径为1的半圆,高为2所以体积13.-4解封闭区域为三角形令|x–1|=2解得,所以三角形三个顶点坐标分别为
(10),(-12),
(32),故2x-y在点(-12)取最小值-414.解分n为奇数、偶数两种情况第n个等式为当n为偶数时,分组求和当n为奇数时,第n个等式=综上,第n个等式15.
(1)2解利用柯西不等式求解,且仅当时取最小值2
(2)解
(3)解所以圆的参数方程为16.解Ⅰ=最小正周期所以最小正周期为Ⅱ..所以,fx在上的最大值和最小值分别为.17.解Ⅰ分两种情况讨论
①②.上面两式错位相减:
③综上,Ⅱ使用反证法设是公比q≠1的等比数列假设数列是等比数列.则
①当=0成立,则不是等比数列
②当成立,则这与题目条件q≠1矛盾
③综上两种情况,假设数列是等比数列均不成立,所以当q≠1时数列不是等比数列18.解Ⅰ;又因为,在正方形ABCD中,在正方形ABCD中AO=
1...证毕Ⅱ建立直角坐标系统使用向量解题以O为原点,以OC为X轴正方向,以OB为Y轴正方向则.由Ⅰ知平面BB1D1D的一个法向量设平面OCB1的法向量为所以,平面OCB1与平面BB1D1D的夹角为19.解Ⅰ设事件A表示:观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手观众甲选中3号歌手的概率为观众乙未选中3号歌手的概率为所以PA=.因此,观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为ⅡX表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和,则X可取
0123.观众甲选中3号歌手的概率为观众乙选中3号歌手的概率为当观众甲、乙、丙均未选中3号歌手时,这时X=0,PX=0=.当观众甲、乙、丙中只有1人选中3号歌手时,这时X=1,PX=1=.当观众甲、乙、丙中只有2人选中3号歌手时,这时X=2,PX=2=.当观众甲、乙、丙均选中3号歌手时,这时X=3,PX=3=.X的分布列如下表X0123P所以,数学期望20.解ⅠA40设圆心CⅡ点B-
10.直线PQ方程为所以,直线PQ过定点
(10)21.解Ⅰfx的反函数.设直线y=kx+1与相切与点所以Ⅱ当x0,m0时,曲线y=fx与曲线的公共点个数即方程根的个数由,则hx在hx.所以对曲线y=fx与曲线公共点的个数,讨论如下当m时有0个公共点;当m=有1个公共点;当m有2个公共点;Ⅲ设令,且所以输入xIfx≤50Theny=
0.5*xElsey=25+
0.6*x-50EndIf输出y。