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圆的有关概念与性质◆课前热身
1.如图,AB是⊙O的弦,OD⊥AB于D交⊙O于E,则下列说法错误的是()A.AD=BDB.∠ACB=∠AOEC.D.OD=DE
2.如图,⊙O的直径AB垂直弦CD于点P,且P是半径OB的中点,CD=6cm,则直径AB的长是()A.B.C.D.3.如图,⊙O的弦AB=6,M是AB上任意一点,且OM最小值为4,则⊙O的半径为( )A.5B.4C.3D.24.如图,⊙O的半径为5,弦AB=8,M是弦AB上的动点,则OM不可能为( )A.2B.3C.4D.55.如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点E,∠CDB=30°⊙O的半径为,则弦CD的长为()A.B.C.D.【参考答案】
1.D
2.D
3.A
4.A
5.B◆考点聚焦1.圆的有关概念,包括圆心、半径、弦、弧等概念,这是本节的重点之一.2.掌握并灵活运用垂径定理及推论,圆心角、弧、弦、弦心距间的关系定理以及圆周角定理及推论,这也是本书的重点,其中在运用相关定理时正确区分各定理的题设和结论是本节难点.3.理解并掌握圆内接四边形的相关知识,而圆和三角形、四边形等结合的题型也是中考热点.◆备考兵法“垂径定理”联系着圆的半径(直径)、弦长、圆心和弦心距,通常结合“勾股定理”来寻找三者之间的等量关系,同时其中还蕴含着弓形高(半径与弦心距的差或和)与这三者之间的关系.所以,在求解圆中相关线段的长度时,常引的辅助线方法是过圆心作弦的垂线段,连结半径构造直角三角形,把垂径定理和勾股定理结合起来,有直径时,常常添加辅助线构造直径上的圆周角,由此转化为直角三角形的问题.常考题型圆心角、圆周角定理及推论常以选择题或填空题出现;垂径定理和勾股定理结合起来常以计算题出现.◆考点链接
1.圆上各点到圆心的距离都等于.
2.圆是对称图形,任何一条直径所在的直线都是它的;圆又是对称图形,是它的对称中心.
3.垂直于弦的直径平分,并且平分;平分弦(不是直径)的垂直于弦,并且平分.
4.在同圆或等圆中,如果两个圆心角,两条弧,两条弦,两条弦心距,两个圆周角中有一组量,那么它们所对应的其余各组量都分别.
5.同弧或等弧所对的圆周角,都等于它所对的圆心角的.
6.直径所对的圆周角是,90°所对的弦是.◆典例精析例1(2009山西太原)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,若以点C为圆心,CB长为半径的圆恰好经过AB的中点D,则AC的长等于()A.B.5C.D.6【答案】A【解析】本题考查圆中的有关性质,连接CD,∵∠C=90°,D是AB中点,AB=10,∴CD=AB=5,∴BC=5,根据勾股定理得AC=,故选A.例2(2009年黑龙江哈尔滨)如图,⊙O的直径CD=10,弦AB=8,AB⊥CD,垂足为M,则DM的长为.【答案】8【解析】主要利用垂径定理求解.连接OA,根据垂径定理可知AM=4,又OA=5,则根据勾股定理可得OM=3又OD=5,则DM=
8.例3(2008年贵州贵阳)如图,已知AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,且AB=13,BC=5.
(1)求sin∠BAC的值;
(2)如果OD⊥AC,垂足为点D,求AD的长;
(3)求图中阴影部分的面积.(精确到0.1)【答案】解
(1)∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°.∴sin∠BAC=.
(2)在Rt△ABC中,AC==12.又∵OD⊥AC于点D,∴AD=AC=6.
(3)∵S半圆=×()2=×=.S△ABC=AC×BC=×12×5=30,∴S阴影=S半圆-S△ABC=-30≈
36.3点评“直径所对的圆周角为90°”以及“垂径定理”可以将圆的有关知识和三角形有关知识结合起来.因此对这部分知识应加以重视.◆迎考精练
一、选择题
1.(2009年湖北孝感)如图,⊙O是△ABC的外接圆,已知∠B=60°,则∠CAO的度数是A.15°B.30°C.45°D.60°
2.(2009年山东泰安)如图,⊙O的半径为1,AB是⊙O的一条弦,且AB=,则弦AB所对圆周角的度数为()A.30°B.60°C.30°或150°D.60°或120°
3.(2009年浙江嘉兴)如图,⊙P内含于⊙O,⊙O的弦AB切⊙P于点C,且AB∥OP.若阴影部分的面积为,则弦AB的长为( )A.3B.4 C.6D.
94.(2009年天津市)如图,△ABC内接于⊙O,若∠OAB=28°,则∠C的大小为()A.28° B.56° C.60° D.62°
5.(2009年安徽)如图,弦CD垂直于⊙O的直径AB,垂足为H,且CD=,BD=,则AB的长为()A.2B.3C.4D.
56.2009年浙江温州如图,∠AOB是⊙0的圆心角,∠AOB=80°,则弧AB所对圆周角∠ACB的度数是A.40°B.45°C.50°D.80°
7.(2009年四川遂宁)如图,已知⊙O的两条弦AC,BD相交于点E,∠A=70o,∠C=50o,那么sin∠AEB的值为A.B.C.D.
8.(2009年甘肃兰州)如图,某公园的一座石拱桥是圆弧形(劣弧),其跨度为24米,拱的半径为13米,则拱高为A.5米B.8米C.7米D.5米
9.(2009年湖北十堰)如图,△ABC内接于⊙O,连结OA、OB,若∠ABO=25°,则∠C的度数为()A.55°B.60°C.65°D.70°
10.(2009年山东青岛)一根水平放置的圆柱形输水管道横截面如图所示,其中有水部分水面宽
0.8米,最深处水深
0.2米,则此输水管道的直径是().A.
0.4米B.
0.5米C.
0.8米D.1米
11.(2009年山西太原)如图,AB是半圆O的直径,点P从点O出发,沿的路径运动一周.设为,运动时间为,则下列图形能大致地刻画与之间关系的是()
二、填空题
1.(2009年河南)如图,AB为半圆O的直径,延长AB到点P,使BP=AB,PC切半圆O于点C,点D是上和点C不重合的一点,则的度数为.
2.2009年广东梅州如图,在⊙O中,∠ACB=20°,则∠AOB=______度.
3.(2009年山西省)如图所示,A、B、C、D是圆上的点,则度.
4.2009年湖北鄂州在⊙O中,已知⊙O的直径AB为2,弦AC长为,弦AD长为.则DC2=______
5.(2009年福建福州)如图,AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,OD∥AC,若BD=1,则BC的长为
6.(2009年广东中山)已知的直径为上的一点,,则=_.
7.2009年山东济南如图,的半径弦点为弦上一动点,则点到圆心的最短距离是cm.
8.(2009年北京市)如图,AB为⊙O的直径,弦CD⊥AB,E为上一点,若∠CEA=,则∠ABD=°.
9.2009年福建宁德如图,AB是⊙O的直径,AC是弦,若∠ACO=32°,则∠COB的度数等于.
三、解答题
1.(2009年广西柳州)如图,AB是⊙O的直径,C是弧BD的中点,CE⊥AB,垂足为E,BD交CE于点F.
(1)求证CF=BF;
(2)若AD=2,⊙O的半径为3,求BC的长.
2.(2009年广西钦州)已知如图,⊙O1与坐标轴交于A(1,0)、B(5,0)两点,点O1的纵坐标为.求⊙O1的半径.
3.(2009年湖北宜昌)已知如图,⊙O的直径AD=2,,∠BAE=90°.1求△CAD的面积;2如果在这个圆形区域中,随机确定一个点P,那么点P落在四边形ABCD区域的概率是多少?
4.2009年湖北黄冈如图,已知AB是⊙O的直径,点C是⊙O上一点,连结BC,AC,过点C作直线CD⊥AB于点D,点E是AB上一点,直线CE交⊙O于点F,连结BF,与直线CD交于点G.求证.【参考答案】选择题
1.B
2.D
3.C
4.D
5.B
6.A
7.D
8.B
9.C
10.D
11.C【解析】本题考查圆的有关性质、函数图象等知识,点P从点O向点A运动,OP逐渐增大,当点P从点A向点B运动,OP不变,当点P从点B向点O运动,OP逐渐减小,故能大致地刻画与之间关系的是C.填空题
1.30°
2.
403.
304.
5.
26.
47.
38.
289.64º解答题
1.证明
(1)连结AC,如图∵C是弧BD的中点∴∠BDC=∠DBC又∠BDC=∠BAC在三角形ABC中,∠ACB=90°,CE⊥AB∴∠BCE=∠BAC∠BCE=∠DBC∴CF=BF因此,CF=BF.
(2)证法一作CG⊥AD于点G,∵C是弧BD的中点∴∠CAG=∠BAC,即AC是∠BAD的角平分线.∴CE=CG,AE=AG在Rt△BCE与Rt△DCG中,CE=CG,CB=CD∴Rt△BCE≌Rt△DCG∴BE=DG∴AE=AB-BE=AG=AD+DG即6-BE=2+DG∴2BE=4,即BE=2又△BCE∽△BAC∴(舍去负值)∴
(2)证法二∵AB是⊙O的直径,CE⊥AB∴∠BEF=,在与中,∵∴∽,则即,∴又∵,∴利用勾股定理得又∵△EBC∽△ECA则,即则∴即∴∴.
2.解过点O1作O1C⊥AB,垂足为C,则有AC=BC.由A(1,0)、B(5,0),得AB=4,∴AC=2.在中,∵O1的纵坐标为,∴O1C=.∴⊙O1的半径O1A==3.
3.解
(1)∵AD为⊙O的直径,∴∠ACD=∠BAE=90°.∵,∴∠BAC=∠CAD=∠DAE.∴∠BAC=∠CAD=∠DAE=30°.∵在Rt△ACD中,AD=2,CD=2sin30°=1,AC=2cos30°=.∴S△ACD=AC×CD=.2连BD,∵∠ABD=90°,∠BAD==60°,∴∠BDA=∠BCA=30°,∴BA=BC.作BF⊥AC,垂足为F,(5分)∴AF=AC=,∴BF=AFtan30°=,∴S△ABC=AC×BF=,∴SABCD=.∵S⊙O=π,∴P点落在四边形ABCD区域的概率==.
(2)解法2作CM⊥AD,垂足为M.∵∠BCA=∠CAD(证明过程见解法),∴BC∥AD.∴四边形ABCD为等腰梯形.∵CM=ACsin30°=,∴SABCD=BC+ADCM=.∵S⊙O=π,∴P点落在四边形ABCD区域的概率==.
4.证明∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°又∵CD⊥AB于点D,∴∠BCD=90°-∠ABC=∠A=∠F∵∠BCD==∠F,∠FBC=∠CBG∴△FBC∽△CBG∴∴BCDAPAOBstOsOtOstOstA.B.C.D.ABCD1。