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第23课时与圆有关的位置关系【课时目标】1.探索并了解点与圆的位置关系;了解直线和圆的位置关系,圆和圆的位置关系及三角形内切圆的概念,会判断图形的位置关系.2.掌握切线的概念,探索切线与过切点的半径的关系,会用三角尺过圆上一点画圆的切线.3.探索并证明切线长定理,会利用它进行证明和相关计算.4.能根据两圆相切及两圆相交的性质进行有关计算.【知识梳理】1.点与圆的位置关系设圆的半径为r,点到圆心的距离为d,那么1dr点在________.2d=r点在________.3dr点在_______.2.直线与圆的位置关系如果⊙O的半径为r,圆心O到直线l的距离为d,那么1dr直线l与圆________.2d=r直线l与圆________.3dr直线l与圆________.3.圆与圆的位置关系没两圆的半径分别为R和rRr,圆心距为d,那么1两圆_______dR+r.2两圆外切d________R+r.3两圆_______R-rdR+r.4两圆内切d=________.5两圆内含d________R-r.4.与圆有_______公共点的直线叫做圆的切线,唯一的公共点叫做_______.切线的判定定理经过半径的外端并且_______于这条半径的直线是圆的切线.性质定理圆的切线垂直于经过_______的半径.5.在经过圆外一点的圆的切线上,这点和切点之间________的长,叫做这点到圆的切线长.切线长定理从圆外一点引圆的两条切线,,它们的切线长_______,圆心和这一点的连线_______两条切线的夹角.6.与三角形各边_______的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心叫三角形的_______.这个三角形叫做圆的_______三角形.【考点例析】考点一 直线和圆的位置关系例1(2012.无锡)已知⊙O的半径为2,直线l上有一点P满足PO=2,则直线l与⊙O的位置关系是A.相切B.相离C.相离或相切D.相切或相交提示 根据直线和圆的位置关系进行判定.已知条件中的PO=2并不一定表示圆心到直线的距离,故此题需分OP垂直于直线l,OP不垂直直线l两种情况讨论.考点二 圆和圆的位置关系 例2(2012.柳州)定圆O的半径是4cm,动圆P的半径是2cm,动圆P在直线l上移动,当两圆相切时,OP的值是 A.2cm或6cm B.2cm C.4cm D.6cm提示 定圆O与动圆P相切时,分两种情况考虑内切与外切.当两圆内切时,圆心距OP=R-r;当两圆外切时,圆心距OP=R+r.考点三 切线的性质与判定例3(2012.宁夏)如图,AB为⊙O的直径,PD切⊙O于点C,交AB的延长线于D,且CO=CD,则∠ACP的度数为A.30°B.45°C.60°D.
67.5°提示 根据切线性质可得∠OCP=∠OCD=90°,要求∠ACP的度数,需求出∠ACO的度数.由CO=CD可知∠COD=∠ACO+∠CAO=2∠ACO=45°,从而可求出∠ACO=
22.5°,最后求出∠ACP的度数,问题得解.例4(2012.自贡)如图,AB是⊙O的直径,AP是⊙O的切线,A是切点,BP与⊙O交于点C.1若AB=2,∠P=30°,求AP的长;2若D为AP的中点,求证直线CD是⊙O的切线.提示1由切线的性质可知PA⊥AB,再在Rt△BAP中,通过∠P的正切或应用勾股定理求解;2欲证直线CD是⊙O的切线,只需连接OC,证明OC⊥CD即可.连接AC,由圆周角性质得到Rt△ACP,根据直角三角形斜边上中线等于斜边一半得CD=AD,再利用等腰三角形性质即可证∠OCD=∠OAD=90°.考点四 切线长定理与内切圆例5 (2012.泉州)如图,O是△ABC的内心,过点O作EF∥AB,与AC、BC分别交于点E、F,则A.EFAE+BFB.EFAE+BFC.EF=AE+BFD.EF≤AE+BF提示 三角形内心为三角形角平分线的交点,连接AO、BO,利用“两直线平行,内错角相等”找出相等的两个底角,从而构造出等腰三角形,利用等腰三角形的判定定理即可证得边相等.例6(2012.贺州)如图,P为⊙O外一点,PA、PB为⊙O的切线,A、B为切点,AC为⊙O的直径,PO交⊙O于点E.1试判断∠APB与∠BAC的数量关系,并说明理由;2若⊙O的半径为4,P是⊙O外一动点,是否存在点P.使四边形PAOB为正方形?若存在,请求出PO的长,并判断点P的个数及其满足的条件;若不存在,请说明理由.提示 1根据切线长定理可以知道PA=PB,∠APO=∠BPO=∠APB,根据等腰三角形的性质和三角形的内角和可以证明出∠APO=∠BAC,从而得出∠APB与∠BAC的数量关系;2根据正方形的判定方法,当∠APB=90°时,四边形PAOB为正方形.根据勾股定理可求出PO的长,再根据圆的定义,到定点距离等于定长的点的集合,可以判断出点P的个数和其满足的条件.【反馈练习】1.(2012.衡阳)已知⊙O的直径等于12cm,圆心O到直线l的距离为5cm,则直线l与⊙O的交点个数为A.0B.1C.2D.无法确定2.(2012.宿迁)已知⊙O1,⊙O2的半径是r1=2,r2=4,圆心距d=5,则这两圆的位置关系是A.内切B.相交C.外切D.外离3.2012.玉林如图,Rt△ABC的内切圆⊙O与两直角边AB、BC分别相切于点D、E,过劣弧不包括端点D、E上任一点P作⊙O的切线MN,与AB、BC分别交于点M、N.若⊙O的半径为r,则Rt△MBN的周长为A.rB.rC.2rD.r4.2012.广元在同一平面上,⊙O外一点P到⊙O上一点的距离最长为6cm,最短为2cm,则⊙O的半径为_______cm.5.(2012.崇左)已知∠AOB=30°,P是OA上的一点,OP=24cm,以r为半径作⊙P.1若r=12cm,试判断⊙P与OB的位置关系;2若⊙P与OB相离,试求出r需满足的条件.6.(2012.东营)如图,AB是⊙O的直径,AM和BN是它的两条切线,DE切⊙O于点E,交AM于点D,交BN于点C.1求证OD∥BE;2如果OD=6cm,OC=8cm,求CD的长.参考答案【考点例析】
1.D
2.A
3.D
4.122略
5.C
6.1∠APE=2∠BAC24这样的点有无数个【反馈练习】1.C 2.B 3.C
4.25.1相切 20cmr12cm
6.1略210cm。