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专题讲座二新概念型问题参考答案对应训练3.解
(1)如图;根据抛物线的对称性,抛物线的顶点A必在O、B的垂直平分线上,所以OA=AB,即“抛物线三角形”必为等腰三角形.故填等腰.
(2)∵抛物线y=-x2+bx(b>0)的“抛物线三角形”是等腰直角三角形,∴该抛物线的顶点()满足(b>0).∴b=2.
(3)存在.如图,作△OCD与△OAB关于原点O中心对称,则四边形ABCD为平行四边形.当OA=OB时,平行四边形ABCD是矩形,又∵AO=AB,∴△OAB为等边三角形.作AE⊥OB,垂足为E,∴AE=OE.∴=•(b′>0).∴b′=2.∴A(,3),B(2,0).∴C(-,-3),D(-2,0).设过点O、C、D的抛物线为y=mx2+nx,则,解得.故所求抛物线的表达式为y=x2+2x.8.
(1)1;
(2)或或解
(1)存在另外1条相似线.如图1所示,过点P作l3∥BC交AC于Q,则△APQ∽△ABC;故答案为1;
(2)设P(lx)截得的三角形面积为S,S=S△ABC,则相似比为12.如图2所示,共有4条相似线
①第1条l1,此时P为斜边AB中点,l1∥AC,∴=;
②第2条l2,此时P为斜边AB中点,l2∥AC,∴=;
③第3条l3,此时BP与BC为对应边,且=,∴==;
④第4条l4,此时AP与AC为对应边,且=,∴,∴=.故答案为或或.10.解
(1)由题意,得|x|+|y|=1,所有符合条件的点P组成的图形如图所示
(2)∵d(M,Q)=|x-2|+|y-1|=|x-2|+|x+2-1|=|x-2|+|x+1|,又∵x可取一切实数,|x-2|+|x+1|表示数轴上实数x所对应的点到数2和-1所对应的点的距离之和,其最小值为3.∴点M(2,1)到直线y=x+2的直角距离为311.解
(1)点C()是线段AB的“临近点”.理由是∵点P到直线AB的距离小于1,A、B的纵坐标都是3,∴AB∥x轴,3-1=2,3+1=4,∴当纵坐标y在2<y<4范围内时,点是线段AB的“临近点”,点C的坐标是(),∴y=>2,且小于4,∵C()在直线y=x-1上,∴点C()是线段AB的“临近点”.
(2)由
(1)知线段AB的“临近点”的纵坐标的范围是2<y<4,把y=2代入y=x-1得x=3,把y=4代入y=x-1得x=5,∴3<x<5,∵点Q(m,n)是线段AB的“临近点”,∴m的取值范围是3<m<5.13.解
①若PB=PC,连接PB,则∠PCB=∠PBC,∵CD为等边三角形的高,∴AD=BD,∠PCB=30°,∴∠PBD=∠PBC=30°,∴PD=DB=AB,与已知PD=AB矛盾,∴PB≠PC,
②若PA=PC,连接PA,同理可得PA≠PC,
③若PA=PB,由PD=AB,得PD=BD,∴∠APD=45°,故∠APB=90°;探究解∵BC=5,AB=3,∴AC===4,
①若PB=PC,设PA=x,则x2+32=(4-x)2,∴x=,即PA=,
②若PA=PC,则PA=2,
③若PA=PB,由图知,在Rt△PAB中,不可能.故PA=2或.14.解
(1)根据题意得△ABC∽△AB′C′,∴S△AB′C′S△ABC=()2=()2=3,∠B=∠B′,∵∠ANB=∠B′NM,∴∠BMB′=∠BAB′=60°;故答案为3,60;
(2)∵四边形ABB′C′是矩形,∴∠BAC′=90°.∴θ=∠CAC′=∠BAC′-∠BAC=90°-30°=60°.在Rt△ABC中,∠ABB=90°,∠BAB′=60°,∴∠AB′B=30°,∴n==2;
(3)∵四边形ABB′C′是平行四边形,∴AC′∥BB′,又∵∠BAC=36°,∴θ=∠CAC′=∠ACB=72°.∴∠BB′A=∠BAC=36°,而∠B=∠B,∴△ABC∽△B′BA,∴AB BB′=CB AB,∴AB2=CB•BB′=CB(BC+CB′),而 CB′=AC=AB=B′C′,BC=1,∴AB2=1(1+AB),∴AB=,∵AB>0,∴n==.15.解
(1)当m=2,n=2时,如题图1,线段BC与线段OA的距离等于平行线之间的距离,即为2;当m=5,n=2时,B点坐标为(5,2),线段BC与线段OA的距离,即为线段AB的长,如答图1,过点B作BN⊥x轴于点N,则AN=1,BN=2,在Rt△ABN中,由勾股定理得AB==.
(2)如答图2所示,当点B落在⊙A上时,m的取值范围为2≤m≤6当4≤m≤6,显然线段BC与线段OA的距离等于⊙A半径,即d=2;当2≤m<4时,作BN⊥x轴于点N,线段BC与线段OA的距离等于BN长,ON=m,AN=OA-ON=4-m,在Rt△ABN中,由勾股定理得∴d===.
(3)
①依题意画出图形,点M的运动轨迹如答图3中粗体实线所示由图可见,封闭图形由上下两段长度为8的线段,以及左右两侧半径为2的半圆所组成,其周长为2×8+2×π×2=16+4π,∴点M随线段BC运动所围成的封闭图形的周长为16+4π.
②结论存在.∵m≥0,n≥0,∴点M位于第一象限.∵A(4,0),D(0,2),∴OA=2OD.如图4所示,相似三角形有三种情形(I)△AM1H1,此时点M纵坐标为2,点H在A点左侧.如图,OH1=m+2,M1H1=2,AH1=OA-OH1=2-m,由相似关系可知,M1H1=2AH1,即2=2(2-m),∴m=1;(II)△AM2H2,此时点M纵坐标为2,点H在A点右侧.如图,OH2=m+2,M2H2=2,AH2=OH2-OA=m-2,由相似关系可知,M2H2=2AH2,即2=2(m-2),∴m=3;(III)△AM3H3,此时点B落在⊙A上.如图,OH3=m+2,AH3=OH3-OA=m-2,过点B作BN⊥x轴于点N,则BN=M3H3=n,AN=m-4,由相似关系可知,AH3=2M3H3,即m-2=2n
(1)在Rt△ABN中,由勾股定理得22=(m-4)2+n2
(2)由
(1)、
(2)式解得m1=,m2=2,当m=2时,点M与点A横坐标相同,点H与点A重合,故舍去,∴m=.综上所述,存在m的值使以A、M、H为顶点的三角形与△AOD相似,m的取值为
1、3或.。