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1.2013·高考辽宁卷设函数fx满足x2f′x+2xfx=,f2=,则x>0时,fx A.有极大值,无极小值B.有极小值,无极大值C.既有极大值又有极小值D.既无极大值也无极小值解析选D.由题意知f′x=-=.令gx=ex-2x2fx,则g′x=ex-2x2f′x-4xfx=ex-2x2f′x+2xfx=ex-=ex.由g′x=0得x=2,当x=2时,gxmin=e2-2×22×=0,即gx≥0,则当x>0时,f′x=≥0,故fx在0,+∞上单调递增,既无极大值也无极小值.2.2012·高考湖南卷设定义在R上的函数fx是最小正周期为2π的偶函数,f′x是fx的导函数,当x∈[0,π]时,0<fx<1;当x∈0,π且x≠时,x-f′x>
0.则函数y=fx-sinx在[-2π,2π]上的零点个数为 A.2B.4C.5D.8解析选B.∵f′x>0,当<x<π时,f′x>0,∴fx在上是增函数.当0<x<时,f′x<0,∴fx在上是减函数.设π≤x≤2π,则0≤2π-x≤π.由fx是以2π为最小正周期的偶函数知f2π-x=fx.故π≤x≤2π时,0<fx<
1.依题意作出草图可知,y1=fx与y2=sinx在[-2π,2π]上有四个交点.3.2013·石家庄高三检测已知等比数列{an},且a4+a8=dx,则a6a2+2a6+a10的值为________.解析由定积分的几何意义知dx=π,∴a4+a8=π,∴a6a2+2a6+a10=a6a2+2a+a6a10=a+2a4a8+a=a4+a82=π
2.答案π24.已知函数fx=ex-ae-x,若f′x≥2恒成立,则实数a的取值范围是________.解析由题意可知,f′x=ex+ae-x≥2恒成立,分离参数可得,a≥2-exex恒成立,令ex=tt>0,问题等价于a≥-t2+2tmax=
3.所以a∈[3,+∞.答案[3,+∞5.2012·高考北京卷已知函数fx=ax2+1a0,gx=x3+bx.1若曲线y=fx与曲线y=gx在它们的交点1,c处具有公共切线,求a,b的值;2当a=3,b=-9时,若函数fx+gx在区间[k2]上的最大值为28,求k的取值范围.解1∵fx=ax2+1,∴f′x=2ax,∴f′1=2a.又f1=c=a+1,∴fx在点1,c处的切线方程为y-c=2ax-1,即y-2ax+a-1=
0.∵gx=x3+bx,∴g′x=3x2+b,∴g′1=3+b.又g1=1+b=c,∴gx在点1,c处的切线方程为y-1+b=3+bx-1,即y-3+bx+2=
0.依题意知3+b=2a,且a-1=2,即a=3,b=
3.2记hx=fx+gx.当a=3,b=-9时,hx=x3+3x2-9x+1,h′x=3x2+6x-
9.令h′x=0,得x1=-3,x2=
1.hx与h′x在-∞,2]上的变化情况如下x-∞,-3-3-311122h′x+0-0+hx↗28↘-4↗3由此可知当k≤-3时,函数hx在区间[k2]上的最大值为h-3=28;当-3k2时,函数hx在区间[k2]上的最大值小于
28.因此,k的取值范围是-∞,-3].6.设函数fx=xex.1求fx的单调区间与极值;2是否存在实数a,使得对任意的x
1、x2∈a,+∞,当x1<x2时恒有>成立?若存在,求a的取值范围;若不存在,请说明理由.解1f′x=1+xex.令f′x=0,得x=-
1.f′x,fx随x的变化情况如下x-∞,-1-1-1,+∞f′x-0+fx↘极小值↗∴fx的单调递减区间是-∞,-1,单调递增区间是-1,+∞;fx极小值=f-1=-.2设gx=,由题意,对任意的x
1、x2∈a,+∞,当x1<x2时恒有gx2>gx1,即y=gx在a,+∞上是单调递增函数.又g′x====,∴∀x∈a,+∞,g′x≥
0.令hx=x2ex-axex-aex+aea,h′x=2xex+x2ex-a1+xex-aex=xx+2ex-ax+2ex=x+2x-aex.若a≥-2,当x>a时,h′x>0,hx为a,+∞上的单调递增函数,∴hx>ha=0,不等式成立.若a<-2,当x∈a,-2时,h′x<0,hx为a,-2上的单调递减函数,∴∃x0∈a,-2,hx0<ha=0,与∀x∈a,+∞,hx≥0矛盾.综上,a的取值范围为[-2,+∞.。