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时间100分钟,满分120分
一、选择题本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是正确的1.下列角中终边与330°相同的角是 A.30° B.-30°C.630°D.-630°解析选B.与330°终边相同的角为{α|α=330°+k·360°,k∈Z}.当k=-1时,α=-30°.2.半径为πcm,圆心角为60°所对的弧长是 A.cmB.cmC.cmD.cm解析选B.l=|α|·r=×π=cm,故选B.3.已知角θ的终边过点4,-3,则cosπ-θ= A.B.-C.D.-解析选B.∵角θ的终边过4,-3,∴cosθ=.∴cosπ-θ=-cosθ=-.4.已知tanα=2,则的值为 A.-B.-2C.D.2解析选C.===.5.把函数y=sin的图象向左平移个单位长度,所得到的图象对应的函数 A.是奇函数B.是偶函数C.既是奇函数也是偶函数D.是非奇非偶函数解析选A.y=sin=sin,向左平移个单位长度后为y=sin=sin2x,为奇函数,故选A.6.如果cosπ+A=-,那么sin+A= A.-B.C.-D.解析选B.cosπ+A=-cosA=-,则cosA=,sin+A=cosA=.7.函数y=sin3x+的图象的一条对称轴是 A.x=-B.x=-C.x=D.x=-解析选A.令3x+π=+kπk∈Z,得x=-+kπk∈Z,当k=0时,x=-.8.函数y=tan-xx∈[-,]且x≠0的值域为 A.[-1,1]B.-∞,-1]∪[1,+∞C.-∞,1D.[-1,+∞解析选B.∵-≤x≤,∴≤-x≤且-x≠.由函数y=tanx的单调性,可得y=tan-x的值域为-∞,-1]∪[1,+∞.9.已知函数fx=sinx-x∈R,下面结论错误的是 A.函数fx的最小正周期是2πB.函数fx在区间上是增函数C.函数fx的图象关于直线x=0对称D.函数fx是奇函数解析选D.因为y=sinx-=-cosx,所以T=2π,A正确;y=cosx在上是减函数,y=-cosx在上是增函数,B正确;由图象知y=-cosx关于直线x=0对称,C正确;y=-cosx是偶函数,D错误.故选D.10.当x=时,函数fx=Asinx+φA>0取得最小值,则函数y=f-x是 A.奇函数且图象关于点,0对称B.偶函数且图象关于点π,0对称C.奇函数且图象关于直线x=对称D.偶函数且图象关于点,0对称解析选C.当x=时,函数fx=Asinx+φA>0取得最小值,即+φ=-+2kπ,k∈Z,即φ=-+2kπ,k∈Z,所以fx=Asinx-A>0,所以y=f-x=Asin-x-=-Asinx,所以函数为奇函数且图象关于直线x=对称,故选C.
二、填空题本大题共5小题,每小题4分,共20分.把答案填在题中横线上11.已知函数y=3cosπ-x,则当x=________时函数取得最大值.答案2kπ+πk∈Z
12.的值等于________.解析原式====-
2.答案-213.一正弦曲线的一个最高点为,3,从相邻的最低点到这个最高点的图象交x轴于点-,0,最低点的纵坐标为-3,则这一正弦曲线的解析式为________.解析由题知A=3,由T=4×=2,求得ω=π,再利用当x=时,πx+φ=,求出φ=.答案y=3sin14.函数fx=3sinωx+φ对任意实数x都有f=f恒成立,设gx=3cosωx+φ+1,则g=________.解析∵f=f,∴函数fx=3sinωx+φ关于直线x=对称,即f=±
3.∴hx=3cosωx+φ关于对称,即h=
0.∴g=h+1=
1.答案115.已知ω>0,函数fx=sinωx+在,π上单调递减,则ω的取值范围是________.解析因为ω>0,fx=sinωx+在,π上单调递减,所以函数fx=sinωx+的周期T≥2π-=π.又ω>0,所以0<ω≤
2.因为<x<π,所以+<ωx+<ωπ+,所以解得≤ω≤.答案[,]
三、解答题本大题共5小题,每小题10分,共50分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤16.已知fα=.1化简fα;2若fα=,且<α<,求cosα-sinα的值.解1fα==sinα·cosα.2由fα=sinα·cosα=可知,cosα-sinα2=cos2α-2sinα·cosα+sin2α=1-2sinα·cosα=1-2×=.又∵<α<,∴cosα<sinα,即cosα-sinα<
0.∴cosα-sinα=-.17.已知函数fx=2cos.1求fx的单调递增区间.2求fx的最小值及取得最小值时相应的x值.解1令2kπ-π≤3x+≤2kπk∈Z,解得-≤x≤-k∈Z.∴fx的单调递增区间为k∈Z.2当3x+=2kπ-πk∈Z时,fx取最小值-
2.即x=-k∈Z时,fx取得最小值-
2.
18.如图,一个水轮的半径为4m,水轮圆心O距离水面2m,已知水轮每分钟转动5圈,如果从水轮上点P从水中浮现时图中点P0开始计算时间.1将点P距离水面的高度zm表示为时间ts的函数;2点P第一次到达最高点大约需要多长时间?解1建立如图所示的直角坐标系.设角φ-<φ<0是以Ox为始边,OP0为终边的角.OP每秒钟所转过的角为=,则OP在时间ts内所转过的角为t.由题意可知水轮逆时针转动,得z=4sint+φ+
2.当t=0时,z=0,得sinφ=-,即φ=-.故所求的函数关系式为z=4sint-+
2.2令z=4sint-+2=6,得sint-=1,令t-=,得t=4,故点P第一次到达最高点大约需要4s.19.设函数fx=sin2x+φ-π<φ<0,已知它的一条对称轴是直线x=.1求φ.2求函数fx的递减区间.3画出fx在[0,π]上的图象.解1因为函数fx的一条对称轴是直线x=,所以2×+φ=kπ+,k∈Z.因为-π<φ<0,所以φ=-.2由1知fx=sin2x-,+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z,即+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.所以函数fx的递减区间为k∈Z.3由fx=sin2x-列表如下x0πy--1010-故函数fx在[0,π]上的图象如图.20.已知函数fx=2cos-x-.1求函数fx的对称轴;2将函数fx的图象上所有的点向左平移1个单位长度,得到函数gx的图象,若函数y=gx+k在-2,4上有两个零点,求实数k的取值范围.解1因为fx=2cos-x-,所以fx=2sinx+.令x+=+kπ,k∈Z.解得x=1+4k,k∈Z,所以函数fx的对称轴为x=1+4k,k∈Z.2依题意,将函数fx的图象向左平移1个单位长度后,得到的图象对应的函数解析式为gx=2sin[x+1+]=2cosx,函数y=gx+k在-2,4上有两个零点,即函数y=gx与y=-k在x∈-2,4上有两个交点,如图所示,所以0<-k<2,即-2<k<0,所以实数k的取值范围为-2,0.。