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[学业水平训练]1.已知a与b是相反向量,且|a|=2,则a·b= A.2 B.-2C.4D.-4解析选D.由已知a=-b,∴a·b=a·-a=-a2=-|a|2=-
4.2.已知向量a,b满足|a|=|b|=2,a与b的夹角为120°,则|a-b|的值为 A.1B.C.2D.3解析选C.|a-b|2=a2-2a·b+b2=22-2×2×2×cos120°+22=
12.∴|a-b|==
2.3.已知a,b均为单位向量,2a+b·a-2b=-,则a与b的夹角为 A.30°B.45°C.135°D.150°解析选A.∵2a+b·a-2b=2a2-4a·b+a·b-2b2=-3a·b=-,∴a·b=.设夹角为θ,则cosθ==,又θ∈[0°,180°],∴θ=30°.4.下面给出的关系式中正确的个数是
①0·a=0;
②a·b=b·a;
③a2=|a|2;
④|a·b|≤a·b;
⑤a·b2=a2·b
2.A.1B.2C.3D.4解析选C.
①②③正确,
④错误,
⑤错误,a·b2=|a|·|b|cosθ2=a2·b2cos2θ≠a2·b
2.5.2014·石家庄质检已知平面向量a、b,|a|=1,|b|=,且|2a+b|=,则向量a与向量a+b的夹角为 A.B.C.D.π解析选B.∵|2a+b|2=4|a|2+4a·b+|b|2=7,|a|=1,|b|=,∴4+4a·b+3=7,a·b=0,∴a⊥b.如图所示,a与a+b的夹角为∠COA,∵tan∠COA==,∴∠COA=,即a与a+b的夹角为.6.已知e为一单位向量,a与e之间的夹角是120°,而a在e方向上的投影为-2,则|a|=________.解析∵|a|·cos120°=-2,∴|a|·-=-2,∴|a|=
4.答案47.若向量a的方向是正南方向,向量b的方向是北偏东60°方向,且|a|=|b|=1,则-3a·a+b=________.解析设a与b的夹角为θ,则θ=120°,∴-3a·a+b=-3|a|2-3a·b=-3-3×1×1×cos120°=-3+3×=-.答案-8.已知向量a与b的夹角为60°,且|a|=4,a+b·2a-3b=12,则|b|=________.解析∵a+b·2a-3b=|a|2+a·b-3|b|2=16+|a||b|cos60°-3|b|2=16+|b|-3|b|2,即16+|b|-3|b|2=12,∴3|b|2-|b|-4=0,解得|b|=.答案9.2014·三明高一检测已知a与b的夹角为,且|a|=10,|b|=8,求1|a+b|.2a+b与a的夹角θ的余弦值.解1|a+b|2=a+b2=a2+2a·b+b2=|a|2+2|a||b|cos+|b|2=102+2×10×8×+82=244,所以|a+b|=
2.2cosθ====,所以a+b与a的夹角的余弦值是.10.已知△ABC中,=a,=b,当a·b满足下列条件时,能确定△ABC的形状吗?1a·b<0;2a·b=0;3a·b>
0.解a·b=·=||·||·cosA.1当a·b<0时,∠A为钝角,△ABC为钝角三角形;2当a·b=0时,∠A为直角,△ABC为直角三角形;3当a·b>0时,∠A为锐角,△ABC的形状不确定.[高考水平训练]1.如图,在边长为2的菱形ABCD中,∠BAD=60°,E为BC中点,则·= A.-3B.0C.-1D.1解析选C.·=+·-=·-||2+||2=×2×2×cos60°-22+×22=-
1.2.已知a,b,c为单位向量,且满足3a+λb+7c=0,a与b的夹角为,则实数λ=________.解析由3a+λb+7c=0,可得7c=-3a+λb,即49c2=9a2+λ2b2+6λa·b,而a,b,c为单位向量,则a2=b2=c2=1,则49=9+λ2+6λcos,即λ2+3λ-40=0,解得λ=-8或λ=
5.答案-8或53.已知a·b=-9,a在b方向上的投影为-3,b在a方向上的投影为-,求a与b的夹角θ.解∵,∴,即,∴.∴cosθ===-.∵0°≤θ≤180°,∴θ=120°.4.已知两非零向量a、b的夹角θ=120°,|a|=2,|b|=
4.设y=|xa+b|x∈R,试求y的最小值,并求出对应的x的值.解∵|a|=2,|b|=4,θ=120°,∴a·b=|a||b|cos120°=2×4×-=-4,∴y2=|xa+b|2=xa2+2xa·b+b2=4x2-8x+16=4x-12+
12.又∵x∈R,∴当x=1时,y有最小值
2.。