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【金版学案】2014-2015学年高中数学第2章数列章末知识整合苏教版必修5题型1 求数列的通项公式
一、观察法 写出下列数列的一个通项公式11,-713,-1925,…22,,,,,…3,,,,2,…4133557799,…分析观察数列中的每一项与它的序号之间的对应关系,以及所给数列与一些特殊数列之间的关系.解析1原数列的各项可看成数列{an}1,-11,-1,…与数列{bn}17131925,…对应项相乘的结果.又an=-1n+1,bn=1+6n-1=6n-
5.故原数列的一个通项公式为cn=-1n+16n-5.2原数列可改写成1+,2+,3+,4+,….故其通项公式为an=n+.3这个分数数列中分子、分母的规律都不明显,不妨把分子变成4,然后看分母,从而有,,,,…,分母正好构成等差数列,从而原数列的通项公式为an=.4注意到此数列的特点奇数项与项数相等,偶数项比项数大1,故它可改写成1+02+13+04+15+06+1,…所以原数列的通项公式为an=n++.►归纳拓展1观察是归纳的前提,合理的转换是完成归纳的关键.2由数列的前n项归纳出的通项公式不一定唯一.如数列50,-505,…的通项公式可为5cosn∈N*,也可为an=5sinn∈N*.3已知数列的前n项,写出数列的通项公式时,要熟记一些特殊数列.如{-1n},{n},{2n-1},{2n},{2n-1},{n2},等,观察所给数列与这些特殊数列的关系,从而写出数列的通项公式.►变式迁移1.写出下列数列的一个通项公式.11,-,,-,…;2,,2,2,…;31361015,…;41,-47,-1013,….解析1an=-1n+
1.2原数列可写成,,,,…,易得an=.3∵3=1+26=1+2+310=1+2+3+415=1+2+3+4+5,…,∴an=1+2+3+…+n=.4∵1471013,…组成1为首项,3为公差的等差数列,易得an=-1n+13n-2.
二、利用an=求an 设Sn为数列{an}的前n项的和,且Sn=an-1n∈N*,求数列{an}的通项公式.分析由Sn与an的关系消去Sn或an,转化为an或Sn的递推关系求解.解析∵Sn=an-1,∴当n=1时,S1=a1=a1-1,解得a1=
3.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=an-1-an-1-1,得=3,∴当n≥2时,数列{an}是以3为公比的等比数列,且首项a2=3a1=
9.∴n≥2时,an=9×3n-2=3n.显然n=1时也成立.故数列的通项公式为an=3nn∈N*.►归纳拓展已知数列的前n项和公式,求数列的通项公式,其方法是an=Sn-Sn-1n≥2.这里常常因为忽略了n≥2的条件而出错,即由an=Sn-Sn-1求得an时的n是从2开始的自然数,否则会出现当n=1时Sn-1=S0,而与前n项和定义矛盾.可见由an=Sn-Sn-1所确定的an,当n=1时的a1与S1相等时,an才是通项公式,否则要用分段函数表示为an=►变式迁移2.设数列{an}的前n项和为Sn,数列{Sn}的前n项和为Tn,满足Tn=2Sn-n2,n∈N*.1求a1的值.解析1当n=1时,T1=2S1-1,而T1=S1=a1,∴a1=2a1-1,解得a1=
1.2求{an}的通项公式.解析2n≥2时,Sn=Tn-Tn-1=2Sn-n2-[2Sn-1-n-12]=2Sn-2Sn-1-2n+
1.∴Sn=2Sn-1+2n-1,
①Sn+1=2Sn+2n+1,
②②-
①得an+1=2an+2,即an+1+2=2an+2,亦即=
2.a1+2=3,a2+2=6,=2,∴{an+2}是首项为3,公比为2的等比数列,∴an+2=3·2n-1,故an=3·2n-1-
2.
三、叠加法 已知数列{an}满足a1=1,an=3n-1+an-1n≥2.1求a2,a3;2证明an=.分析已知a1,由递推公式可以求出a2,a3,因为an=3n-1+an-1属于an+1=an+fn型递推公式,所以可以用叠加法求出an.解析1∵a1=1,∴a2=3+1=4,a3=32+4=
13.2由已知an-an-1=3n-1,令n分别取234,…,n得a2-a1=31,a3-a2=32,a4-a3=33,…an-an-1=3n-1,以上n-1个式子相加,得an-a1=31+32+…+3n-
1.∴an=,∵n=1时,a1==1,∴an=.►归纳拓展1对n=1时,检验a1=1是否满足an=是必要的,否则就要写成分段的形式.2如果给出数列{an}的递推公式为an=an-1+fn型,并且{fn}容易求和,这时可采用叠加法.对n=1检验是必要的,否则就要写成分段函数的形式,这里说的fn易求和,指的是fn的形式为等差数列前n项和、等比数列前n项和,或是常见的特殊公式,如12+22+32+…+n2=等.►变式迁移3.已知数列{an}满足an+1=an+n2,且a1=1,求{an}的通项公式.解析∵an+1=an+n2,∴an+1-an=n2,∴叠加即得an-a1=12+22+…+n-12=,∴an=nn-12n-1+
1.
四、叠乘法 在数列{an}中,a1=2,an+1=an,求数列{an}的通项公式an.分析由an+1=an⇒=知,已知条件属于=fn型递推公式,所以用叠乘法求出an.解析由a1=2,an+1=an,∴=.取n=123…,n-1得=,=,=,…=,=.把上述各式两边分别相乘,得××…××=×××…××,∴=,∴an=a1,即an=nn+1.当n=1时,a1=2适合上式.故an=nn+1n∈N*.►归纳拓展如果数列{an}的递推公式为=fn型时,并且{fn}容易求前n项的积,这时可采用叠乘法.叠乘的目的是出现分子、分母相抵消情况.►变式迁移4.在数列{an}中,已知a1=,an+1=2nan,求an.解析由an+1=2nan得=2n,∴=21,=22,…,=2n-1,叠乘得=2×22×…×2n-1=2,∴an=2×=2
五、构造转化法 已知数列{an}中a1=1,an+1=,则通项公式an=________.分析通过观察给出的递推公式可以发现两边取倒数可以得到与的关系,也可以将式子乘开得到an+1an+2an+1=2an两边同时除以2anan+1,转化为等差数列求解.解析解法一将an+1=两边取倒数,得==+,∴-=,∴数列是首项为=1,公差为的等差数列,∴=1+n-1×=,∴an=.解法二1∵an+1=,∴an+1an+2=2an,∴an+1·an=2an-2an+
1.两边同除以2an+1·an得-=.∴数列是等差数列,首项为=1,公差为.∴=+n-1×=.∴an=.答案►归纳拓展根据已知条件构造一个与{an}有关的新的数列,通过新数列通项公式的求解求得{an}的通项公式.新的数列往往是等差数列或是等比数列.例如形如an=pan-1+qp,q为常数的形式,往往变为an-λ=pan-1-λ,构成等比数列,求an-λ通项公式,再求an.►变式迁移5.已知数列{an}中,a1=2,an+1=3an-2,求an.解析由an+1=3an-2,设an+1+k=3an+k,其中k是待定系数,即an+1=3an+2k与条件进行对比,得2k=-2,∴k=-
1.故an+1-1=3an-1,∴{an-1}是2-1=1为首项,公比为3的等比数列,∴an-1=1×3n-1,∴an=3n-1+
1.题型2 数列的求和
一、公式法 1求1+4+7+…+3n+1的值;2若数列{xn}满足logaxn+1=1+logaxnn∈N*,a>0,且a≠1且x1+x2+x3+…x100=100,求x101+x102+…x200的值.分析1中147,…,3n+1是个等差数列,但容易这样求解Sn==+n.这是错误的,错在没搞清此数列有多少项.2可以作个变换logaxn+1-logaxn=loga=1,推导出{xn}是等比数列再求解.解析1∵数列中3×0+1=1,∴第1项1是n=0时得到的,∴此数列是首项为1,末项为3n+1,项数为n+1的等差数列.∴Sn==++
1.2由logaxn+1=1+logaxn得logaxn+1-logaxn=1,∴loga=1,∴=a,∴数列{xn}是公比为a的等比数列.由等比数列的性质得x101+x102+…x200=x1+x2+…x100a100=100×a
100.►归纳拓展数列求和常用的公式有等差数列Sn==na1+d;等比数列Sn=k=1+2+3+…+n=nn+1;k2=12+22+32+…n2=nn+12n+1.►变式迁移6.设{an}为等比数列,{bn}为等差数列,且b1=0,cn=an+bn,若{cn}是112,…,求{cn}的前10项之和.解析设{an}的首项为a,公比为q,{bn}首项为b,公差为d,b1=0,由c1=a1+b1=1,知a1=
1.c2=a2+b2=q+d=1,c3=a3+b3=q2+2d=2,解得q=2,d=-1,∴an=2n-1,bn=1-n,∴cn=2n-1+1-n.∴{cn}前10项和为a1+a2+…+a10+b1+b2+…+b10=+=
978.
二、分组求和法求和2+2+…+
2.分析此数列的通项公式是an=2=x2n+2+,而数列{x2n},是等比数列,2是常数,故采用分组求和法.解析当x≠±1时,Sn=++…+=x2+x4+…+x2n++2n=++2n=+2n.当x=±1时,Sn=4n.综上,Sn=►归纳拓展将数列的每一项拆成多项,然后重新分组,将一般数列求和问题转化为特殊数列的求和问题,运用的是化归的数学思想,通项变形是这种方法的关键.►变式迁移7.已知数列{an}的通项公式为an=nn+1,求{an}的前n项和Sn.解析an=nn+1=n+n2,∴Sn=1+2+3+…+n+12+22+32+…+n2=+=.
三、裂项相消法 求数列++++…+的前n项和.分析通项an===,所以可以使用裂项相消法.解析∵an===,∴Sn=++++…++=+-+…+==--.►归纳拓展裂项相消求和就是将数列的每一项拆成二项或多项.使数列中的项出现有规律的抵消项,从而达到求和的目的.常见的拆项公式有1=-;2=;3=;4=-;5an=Sn-Sn-1n≥2.►变式迁移8.已知数列{an}的通项公式为an=,求{an}的前n项和Sn.解析∵==-,∴Sn=+++…+=1-=.
四、错位相减法 求数列的前n项和Sn.分析此数列非等差数列也非等比数列,其通项公式an=可以认为是一个等差数列bn=n与一个等比数列cn=相乘得到的,可以用乘公比错位相减法来求解.解析Sn=a1+a2+a3+…+an,Sn=1×+2×+3×+…+n×,
①Sn=1×+2×+…+n-1·+n·,
②①-
②得Sn=+++…+-n·=-n·=1--n·,∴Sn=2--.►归纳拓展若数列{an}是等差数列,数列{bn}是等比数列,由这两个数列的对应项乘积组成的新数列为{anbn},当求该数列前n项和时,常常采用将{anbn}的各项乘以公比,并向后错一项与{anbn}的同项对应相减,即可转化为特殊数列的求和,这种求和的方法称为错位相减法.►变式迁移9.求和Sn=1×2+4×22+7×23+…+3n-2×2n.解析因为Sn=1×2+4×22+7×23+…+[3n-1-2]×2n-1+3n-2×2n,
①2Sn=1×22+4×23+…+[3n-1-2]×2n+3n-2×2n+1,
②所以
①-
②得-Sn=1×2+3×22+3×23+…+3×2n-3n-2×2n+1=32+22+…+2n-3n-2×2n+1-4=32n+1-2-3n-2×2n+1-4=3×2n+1-6-3n×2n+1+2n+2-4=2n+2+31-n×2n+1-
10.所以Sn=3n-1×2n+1-2n+2+
10.
五、倒序相加法求和 设fx=,利用教科书上推导数列前n项和公式的方法,可求得f-5+f-4+…+f0+…+f5+f6的值为________.分析若直接求解则相当麻烦,考虑fx=的特点及f-5,f6;f-4,f5;…的特点,fx与f1-x是否有某种特别的联系,如果有则可以用求等差数列前n项和公式的方法解答此题.解析∵fx=,∴f1-x===.∴fx+f1-x=+=.设S=f-5+f-4+…+f0+…+f5+f6,倒过来,则有S=f6+f5+…+f0+…+f-4+f-5,∴2S=[f-5+f6]+[f-4+f5]+…+[f6+f-5]=
6.∴S=
3.►归纳拓展此题运用了倒序相加法求得所给函数值的和,由此可以看出,熟练掌握重要的定理、公式的推导过程是非常重要的,它有助于同学们理解各种解题方法,强化思维过程的训练.当数列{an}满足ak+an-k=常数时,可用倒序相加法求数列{an}的前n项和.►变式迁移10.设fx=,求和S=f2014+f2013+f2012+…+f1+f+f+…+f+f.解析∵fx=,∴f==,∴fx+f=1,S=f2014+f2013+…+f1+f+…+f,又S=f+f+…+f1+f2+…+f2014,两式相加得2S=2014+2013,∴S=.题型3 数列应用题
一、与等差数列有关的实际应用题有30根水泥电线杆,要运往1000米远的地方安装,在1000米处放一根,以后每隔50米放一根,一辆汽车每次只能运三根,如果用一辆汽车完成这项任务完成任务回到原处,那么这辆汽车的行程共为多少千米?分析读懂题意,将实际问题转化为等差数列,关键要找准首项、公差,弄清an还是Sn.解析如下图所示,假定30根水泥电线杆存放在M处,则a1=MA=1000,a2=MB=1050,a3=MC=1100,a6=a3+50×3=1250,…a30=a3+150×9,由于一辆汽车每次只能装3根,故每运一次只能到a3,a6,a9,…,a30,这些地方,这样组成公差为150,首项为1100的等差数列,令汽车的行程为S,则S=2a3+a6+…+a30=2a3+a3+150×1+…+a3+150×9=2=
35.5千米,即这辆汽车的行程为
35.5千米.►归纳拓展对于与等差数列有关的应用题,要善于发现“等差”的信息,如“每一年比上一年多少”“一个比一个多少”等,此时可化归为等差数列,明确已知a1,an,n,d,Sn中的哪几个量,求哪几个量,选择哪一个公式.►变式迁移11.有一种零存整取的储蓄项目,它是每月某日存入一笔相同金额,这是零存,到一定时期到期,可以提出全部本金及利息,这是整取,它的本利和公式如下本利和=每期存入金额×.1试解释这个本利和公式.解析1设每期存入金额为A,每期利率为p,存的期数为n,则各期利率之和为Ap+2Ap+3Ap+…+nAp=nn+1Ap,连同本金可得本利和nA+nn+1Ap=A.2若每月初存入100元,月利率为
5.1‰,则到第12个月底的本利和是多少?解析2当A=100,p=
5.1‰,n=12时,本利和=100×=
1239.78元.3若每月初存入一笔金额,月利率是
5.1‰,希望到第12个月底取得本利和2000元,那么每月初应存入多少钱?解析3将1中公式变形,得A==≈
161.32元,即每月初应存入
161.32元.
二、与等差、等比数列有关的综合应用题某工厂三年的生产计划中,从第二年起,每一年比上一年增长的产值都相同,三年的总产值为300万元,如果第一年、第二年、第三年分别比原计划的年产值多10万元、10万元、11万元,那么每一年比上一年的产值增长的百分数都相同,求原计划中每年的产值.分析将实际问题转化为数列,弄清哪部分为等差数列或等比数列,结合等差、等比数列性质求解.解析由题意得原计划三年中每年的产值组成等差数列,设为a-d,a,a+dd>0,则有a-d+a+a+d=300,解得a=
100.又由题意得a-d+10,a+10,a+d+11组成等比数列,∴a+102=[a-d+10][a+d+11],将a=100代入上式,得1102=110-d111+d,∴d2+d-110=0,解得d=10,或d=-11舍,∴原计划三年中每年的产值分别为90万元、100万元、110万元.►归纳拓展读懂题意,将实际问题转化为等比数列问题,找准首项,公比差,弄清求什么.混合型应用题常有两种解法一是归纳法,归纳出前n次项,寻找规律,再写出前n次项的通项前n项和,此时要注意下标或指数的规律.第二个方法是逆推法,寻找前后两项的逆推关系,再从逆推关系求an,Sn,此时应注意第n-1次变到第n次的变化过程.►变式迁移12.某地房价从2004年的1000元/m2增加到十年后2014年的5000元/m2,问平均每年增长百分之几?注意当x∈
00.2时,lnx+1≈x,取lg2=
0.3,ln10=
2.3解析设年增长率为x,则每年的房价依次排列组成首项为1000,公比为1+x的等比数列.由题意可得1000×1+x10=5000,即1+x10=5,取自然对数有10ln1+x=ln5=ln10lg5=
2.3×1-lg2=
1.61,再利用lnx+1≈x,可得x≈=
0.16=16%.答每年约增长16%.。