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【步步高】2014-2015学年高中数学第一章解三角形章末检测(A)新人教A版必修5
一、选择题本大题共12小题,每小题5分,共60分1.△ABC的三内角A、B、C的对边边长分别为a、b、c.若a=b,A=2B,则cosB等于 A.B.C.D.答案 B解析 由正弦定理得=,∴a=b可化为=.又A=2B,∴=,∴cosB=.
2.在△ABC中,AB=3,AC=2,BC=,则·等于 A.-B.-C.D.答案 A解析 由余弦定理得cosA===.∴·=||·||·cosA=3×2×=.∴·=-·=-.3.在△ABC中,已知a=,b=,A=30°,则c等于 A.2B.C.2或D.以上都不对答案 C解析 ∵a2=b2+c2-2bccosA,∴5=15+c2-2×c×.化简得c2-3c+10=0,即c-2c-=0,∴c=2或c=.4.根据下列情况,判断三角形解的情况,其中正确的是 A.a=8,b=16,A=30°,有两解B.b=18,c=20,B=60°,有一解C.a=5,c=2,A=90°,无解D.a=30,b=25,A=150°,有一解答案 D解析 A中,因=,所以sinB==1,∴B=90°,即只有一解;B中,sinC==,且cb,∴CB,故有两解;C中,∵A=90°,a=5,c=2,∴b===,即有解,故A、B、C都不正确.5.△ABC的两边长分别为23,其夹角的余弦值为,则其外接圆的半径为 A.B.C.D.9答案 C解析 设另一条边为x,则x2=22+32-2×2×3×,∴x2=9,∴x=
3.设cosθ=,则sinθ=.∴2R===,R=.6.在△ABC中,cos2=a、b、c分别为角A、B、C的对边,则△ABC的形状为 A.直角三角形B.等腰三角形或直角三角形C.等腰直角三角形D.正三角形答案 A解析 由cos2=⇒cosA=,又cosA=,∴b2+c2-a2=2b2⇒a2+b2=c2,故选A.7.已知△ABC中,A、B、C的对边分别为a、b、c.若a=c=+,且A=75°,则b等于 A.2B.-C.4-2D.4+2答案 A解析 sinA=sin75°=sin30°+45°=,由a=c知,C=75°,B=30°.sinB=.由正弦定理===
4.∴b=4sinB=
2.8.在△ABC中,已知b2-bc-2c2=0,a=,cosA=,则△ABC的面积S为 A.B.C.D.6答案 A解析 由b2-bc-2c2=0可得b+cb-2c=
0.∴b=2c,在△ABC中,a2=b2+c2-2bccosA,即6=4c2+c2-4c2·.∴c=2,从而b=
4.∴S△ABC=bcsinA=×2×4×=.9.在△ABC中,AB=7,AC=6,M是BC的中点,AM=4,则BC等于 A.B.C.D.答案 B解析 设BC=a,则BM=MC=.在△ABM中,AB2=BM2+AM2-2BM·AM·cos∠AMB,即72=a2+42-2××4·cos∠AMB
①在△ACM中,AC2=AM2+CM2-2AM·CM·cos∠AMC即62=42+a2+2×4×·cos∠AMB
②①+
②得72+62=42+42+a2,∴a=.10.若==,则△ABC是 A.等边三角形B.有一内角是30°的直角三角形C.等腰直角三角形D.有一内角是30°的等腰三角形答案 C解析 ∵=,∴acosB=bsinA,∴2RsinAcosB=2RsinBsinA2RsinA≠
0.∴cosB=sinB,∴B=45°.同理C=45°,故A=90°.11.在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,若a2+c2-b2tanB=ac,则角B的值为 A.B.C.或D.或答案 D解析 ∵a2+c2-b2tanB=ac,∴·tanB=,即cosB·tanB=sinB=.∵0Bπ,∴角B的值为或.12.△ABC中,A=,BC=3,则△ABC的周长为 A.4sin+3B.4sin+3C.6sin+3D.6sin+3答案 D解析 A=,BC=3,设周长为x,由正弦定理知===2R,由合分比定理知=,即=.∴2=x,即x=3+2=3+2=3+2=3+2=3+6=3+6sin.
二、填空题本大题共4小题,每小题4分,共16分13.在△ABC中,--=________.答案 014.在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,若a2+c2-b2=ac,则角B的值为________.答案 解析 ∵a2+c2-b2=ac,∴cosB===,∴B=.15.已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C所对的边.若a=1,b=,A+C=2B,则sinC=________.答案 1解析 在△ABC中,A+B+C=π,A+C=2B.∴B=.由正弦定理知,sinA==.又ab.∴A=,C=.∴sinC=
1.16.钝角三角形的三边为a,a+1,a+2,其最大角不超过120°,则a的取值范围是________.答案 ≤a3解析 由.解得≤a
3.
三、解答题本大题共6小题,共74分17.10分如图所示,我艇在A处发现一走私船在方位角45°且距离为12海里的B处正以每小时10海里的速度向方位角105°的方向逃窜,我艇立即以14海里/小时的速度追击,求我艇追上走私船所需要的时间.解 设我艇追上走私船所需时间为t小时,则BC=10t,AC=14t,在△ABC中,由∠ABC=180°+45°-105°=120°,根据余弦定理知14t2=10t2+122-2·12·10tcos120°,∴t=
2.答 我艇追上走私船所需的时间为2小时.18.12分在△ABC中,角A、B、C所对的边长分别是a、b、c,且cosA=.1求sin2+cos2A的值;2若b=2,△ABC的面积S=3,求a.解 1sin2+cos2A=+cos2A=+2cos2A-1=.2∵cosA=,∴sinA=.由S△ABC=bcsinA,得3=×2c×,解得c=
5.由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,可得a2=4+25-2×2×5×=13,∴a=.19.12分如图所示,△ACD是等边三角形,△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,BD交AC于E,AB=
2.1求cos∠CBE的值;2求AE.解 1∵∠BCD=90°+60°=150°,CB=AC=CD,∴∠CBE=15°.∴cos∠CBE=cos45°-30°=.2在△ABE中,AB=2,由正弦定理得=,即=,故AE===-.20.12分已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a=2,cosB=.1若b=4,求sinA的值;2若△ABC的面积S△ABC=4,求b,c的值.解 1∵cosB=0,且0Bπ,∴sinB==.由正弦定理得=,sinA===.2∵S△ABC=acsinB=4,∴×2×c×=4,∴c=
5.由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB=22+52-2×2×5×=17,∴b=.21.12分2010·辽宁在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且2asinA=2b+csinB+2c+bsinC.1求A的大小;2若sinB+sinC=1,试判断△ABC的形状.解 1由已知,根据正弦定理得2a2=2b+cb+2c+bc,即a2=b2+c2+bc.由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA,故cosA=-,A=120°.2方法一 由1得sin2A=sin2B+sin2C+sinBsinC,又A=120°,∴sin2B+sin2C+sinBsinC=,∵sinB+sinC=1,∴sinC=1-sinB.∴sin2B+1-sinB2+sinB1-sinB=,即sin2B-sinB+=
0.解得sinB=.故sinC=.∴B=C=30°.所以,△ABC是等腰的钝角三角形.方法二 由1A=120°,∴B+C=60°,则C=60°-B,∴sinB+sinC=sinB+sin60°-B=sinB+cosB-sinB=sinB+cosB=sinB+60°=1,∴B=30°,C=30°.∴△ABC是等腰的钝角三角形.22.14分已知△ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c,设向量m=a,b,n=sinB,sinA,p=b-2,a-2.1若m∥n,求证△ABC为等腰三角形;2若m⊥p,边长c=2,角C=,求△ABC的面积.1证明 ∵m∥n,∴asinA=bsinB,即a·=b·,其中R是△ABC外接圆半径,∴a=b.∴△ABC为等腰三角形.2解 由题意知m·p=0,即ab-2+ba-2=
0.∴a+b=ab.由余弦定理可知,4=a2+b2-ab=a+b2-3ab,即ab2-3ab-4=
0.∴ab=4舍去ab=-1,∴S△ABC=absinC=×4×sin=.。