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本册综合测试二时间120分钟 满分150分
一、选择题本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题后给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1.变量y与x之间的回归方程 A.表示y与x之间的函数关系B.表示y与x之间的不确定关系C.反映y与x之间的真实关系D.反映y与x之间真实关系达到最大限度的吻合解析 回归方程是表示y与x具有相关关系,相关关系是一种非确定性关系,而回归方程是由最小二乘法求得的,它反映了y与x之间真实关系达到最大限度的吻合.答案 D2.若z1=1+i2,z2=1-i,则等于 A.1+i B.-1+iC.1-iD.-1-i解析 z1=1+i2=2i,z2=1-i,====-1+i.答案 B3.散点图在回归分析过程中的作用是 A.查找个体个数B.比较个体数据大小关系C.探究个体分类D.粗略判断变量是否线性相关答案 D4.设a,b,c均为正实数,P=a+b-c,Q=b+c-a,R=c+a-b,则“PQR0”是“P,Q,R同时大于0”的 A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析 必要性显然成立;PQR0,包括P,Q,R同时大于0,或其中两个为负两种情况.假设P0,Q0,则P+Q=2b0,这与b为正实数矛盾.同理当P,R同时小于0或Q,R同时小于0的情况亦得出矛盾,故P,Q,R同时大于0,所以选C.答案 C5.在一个2×2列联表中,由其数据计算得到K2的观测值k=
13.097,则其两个变量间有关系的可能性为 A.
99.9%B.95%C.90%D.0解析 ∵
13.
09710.828,∴有
99.9%的把握认为两个变量有关系.答案 A6.设a,b为实数,若复数=1+i,则 A.a=,b=B.a=3,b=1C.a=,b=D.a=1,b=3解析 =1+i,则1+2i=1+ia+bi=a-b+a+bi,∵a,b∈R,∴解得答案 A7.在一次试验中,当变量x的取值分别为
1、、、时,变量y的值依次为
2、
3、
4、5,则y与x之间的回归曲线方程为 A.=x+1B.=2x+1C.=+3D.=+1解析 把变量x的值代入验证知,回归曲线方程为=+
1.答案 D8.用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤
①A+B+C=90°+90°+C180°,这与三角形内角和为180°矛盾,A=B=90°不成立.
②所以三角形中不能有两个直角.
③假设三角形的三个内角A、B、C中有两个直角,不妨设A=B=90°.正确顺序的序号为 A.
①②③B.
③①②C.
①③②D.
②③①答案 B9.复数z=i为虚数单位,则|z|= A.25B.C.5D.解析 解法一z====-4-3i.∴|z|=|-4-3i|==
5.解法二|z|====
5.答案 C10.已知下表a1a2 a3a4 a5 a6…则a81的位置是 A.第13行第2个数B.第14行第3个数C.第13行第3个数D.第17行第2个数解析 第n行最后一项为a,故当n=13时,有a91,所以a81是第13行第3个数.答案 C11.如图所示,程序框图输出的所有实数对x,y所对应的点都在函数 A.y=x+1的图象上B.y=2x的图象上C.y=2x的图象上D.y=2x-1的图象上解析 读程序框图知,输出的x,y依次是11,22,34,48,这些点都在y=2x-1的图象上.答案 D12.已知数列1,a+a2,a2+a3+a4,a3+a4+a5+a6,…,则数列的第k项是 A.ak+ak+1+…+a2kB.ak-1+ak+…+a2k-1C.ak-1+ak+…+a2kD.ak-1+ak+…+a2k-2解析 设数列为{bn},则b1=1=a1-1,b2=a+a2=a2-1+a22-1,b3=a2+a3+a4=a3-1+a3+a23-1,b4=a3+a4+a5+a6=a4-1+a4+a5+a24-1,…bn=an-1+an+…+a2n-1n∈N*,∴bk=ak-1+ak+…+a2k-1.答案 D
二、填空题本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把答案填在题中横线上13.观察数列,3,,,3,…,写出数列的一个通项公式an=________.解析 观察数列,,,,,…,被开方数39152127,…,成等差数列,通项为3+n-1×6=6n-3,故an=n∈N*.答案 n∈N*14.下列表示旅客搭乘火车的流程,正确的是________.
①买票―→候车―→上车―→检票
②候车―→买票―→上车―→检票
③买票―→候车―→检票―→上车
④候车―→买票―→上车―→检票答案
③15.设θ∈,当θ=________时,z=1+sinθ+icosθ-sinθ是实数.解析 若z为实数,则cosθ=sinθ,即tanθ=1,∵θ∈,∴θ=,或θ=.答案 或16.如图所示,在三棱锥S-ABC中,SA⊥SB,SB⊥SC,SC⊥SA,且SA,SB,SC和底面ABC所成的角分别为α1,α2,α3,△SBC,△SAC,△SAB的面积分别为S1,S2,S3,类比三角形中的正弦定理,给出空间图形的一个猜想是________.解析 在△ABC中,有正弦定理==,于是类比三角形中的正弦定理,在三棱锥S-ABC中,猜想==.答案 ==
三、解答题本大题共6个小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17.10分某人酷爱买彩票,一次他购买了1000注的彩票,共有50注中奖,于是他回到家对彩票的号码进行了分析,分析后又去买了1500注的彩票,有75注中奖.请分析他对号码的研究是否对中奖产生了大的影响.解 根据题意可知购买1000注的彩票,中奖50注,未中奖的有950注;购买1500注彩票,中奖75注,未中奖的有1425注.列出对应的2×2列联表如下中奖注数未中奖注数总计未分析509501000分析后7514251500总计12523752500假设H0对彩票号码的研究与中奖无关.由表中数据,得K2的观测值为k==
0.因为
02.706,所以没有足够的证据说明对彩票号码的分析与中奖有关.18.12分已知fz=|1+z|-,且f-z=10+3i,求复数z.解 fz=|1+z|-,f-z=|1-z|+,设z=a+bia,b∈R,则=a-bi.由f-z=10+3i,得|1-a+bi|+a-bi=10+3i,所以解方程组得所以复数z=5-3i.19.12分某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数
①sin213°+cos217°-sin13°cos17°;
②sin215°+cos215°-sin15°cos15°;
③sin218°+cos212°-sin18°cos12°;
④sin2-18°+cos248°-sin-18°cos48°;
⑤sin2-25°+cos255°-sin-25°cos55°.1试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数;2根据1的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论.解 1选择
②式,计算如下sin215°+cos215°-sin15°cos15°=1-sin30°=1-×=.2三角恒等式为sin2α+cos230°-α-sinαcos30°-α=.证明如下sin2α+cos230°-α-sinαcos30°-α=sin2α+cos30°cosα+sin30°sinα2-sinαcos30°cosα+sin30°sinα=sin2α+2-sinαcosα-sin2α=sin2α+cos2α+sinαcosα+sin2α-sinαcosα=sin2α+cos2α=.20.12分下面命题是真命题还是假命题,用分析法证明你的结论.命题若abc,且a+b+c=0,则.解 命题是真命题,证明如下∵abc,且a+b+c=0,∴a0,c
0.要证,只需证a,只需证b2-ac3a2,因为b=-a-c,故只需证a+c2-ac3a2,即证2a2-ac-c20,即证2a+ca-c
0.∵2a+ca+b+c=0,a-c0,∴2a+ca-c0成立,故原命题成立.21.12分设函数y=fx定义在R上,对任意实数m,n,恒有fm+n=fm·fn,且当x0时,0fx
1.1求证f0=1,且当x0时,fx1;2证明fx在R上是减函数.证明 1∵对m,n∈R,恒有fm+n=fm·fn,∴令m=1,n=0,得f1=f1·f0.又0f11,∴f0=
1.当x0时,-x0,从而f0=fx-x=fx·f-x,∴fx=.∵-x0,∴0f-x1,从而fx
1.2任取x1,x2∈R,且x1x2,∴x2-x10,故0fx2-x11,即0fx2·f-x
11.又f0=fx1-x1=fx1·f-x1=1,∴f-x1=.又当x∈R时,fx0,∴01,∴fx2fx1,即fx1fx2,故fx在R上是减函数.22.12分某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中,随机抽取了100名电视观众,相关的数据如下表所示文艺节目新闻节目总计20至40岁401858大于40岁152742总计55451001由表中数据直观分析,收看新闻节目的观众是否与年龄有关?2用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取5名,大于40岁的观众应该抽取几名?3在上述抽取的5名观众中,任取2名,求恰有一名观众的年龄为20至40岁的概率.解 1因为在20岁至40岁的58名观众中有18名观众收看新闻节目,而大于40岁的42名观众中有27名收看新闻节目,所以,经直观分析,收看新闻节目的观众与年龄是有关的.2应抽取大于40岁的观众人数为×5=3名.3用分层抽样方法抽取的5名观众中,20岁至40岁的有2名记为y1,y2,大于40岁的有3名记为A1,A2,A
3.5名观众中任取2名,共有10种不同的取法y1y2,y1A1,y1A2,y1A3,y2A1,y2A2,y2A3,A1A2,A1A3,A2A
3.设A表示随机事件“5名观众中任取2名,恰有一名年龄在20岁至40岁”,则A中的基本事件有6种y1A1,y1A2,y1A3,y2A1,y2A2,y2A
3.故所求的概率为PA==
0.
6.。