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2.
1.2 空间中直线与直线之间的位置关系【课时目标】 1.会判断空间两直线的位置关系.2.理解两异面直线的定义,会求两异面直线所成的角.3.能用公理4解决一些简单的相关问题.1.空间两条直线的位置关系有且只有三种______________、________________、________________.2.异面直线的定义________________________________的两条直线叫做异面直线.3.公理4平行于同一条直线的两条直线____________.4.等角定理空间中如果两个角的两边分别对应________,那么这两个角________或________.5.异面直线所成的角直线a,b是异面直线,经过空间任一点O,作直线a′,b′,使________,________,我们把a′与b′所成的______________叫做异面直线a与b所成的角或夹角.如果两条直线所成的角是________,那么我们就说这两条异面直线互相垂直,两条异面直线所成的角的取值范围是________.
一、选择题1.分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是 A.异面B.平行C.相交D.以上都有可能2.若a和b是异面直线,b和c是异面直线,则a和c的位置关系是 A.异面或平行B.异面或相交C.异面D.相交、平行或异面3.分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是 A.一定平行B.一定相交C.一定异面D.相交或异面4.空间四边形的两条对角线相互垂直,顺次连接四边中点的四边形一定是 A.空间四边形B.矩形C.菱形D.正方形5.给出下列四个命题
①垂直于同一直线的两条直线互相平行;
②平行于同一直线的两直线平行;
③若直线a,b,c满足a∥b,b⊥c,则a⊥c;
④若直线l1,l2是异面直线,则与l1,l2都相交的两条直线是异面直线.其中假命题的个数是 A.1B.2C.3D.46.如图所示,已知三棱锥A-BCD中,M、N分别为AB、CD的中点,则下列结论正确的是 A.MN≥AC+BDB.MN≤AC+BDC.MN=AC+BDD.MNAC+BD
二、填空题7.空间两个角α、β,且α与β的两边对应平行且α=60°,则β为________.8.已知正方体ABCD—A′B′C′D′中1BC′与CD′所成的角为________;2AD与BC′所成的角为________.9.一个正方体纸盒展开后如图所示,在原正方体纸盒中有如下结论
①AB⊥EF;
②AB与CM所成的角为60°;
③EF与MN是异面直线;
④MN∥CD.以上结论中正确结论的序号为________.
三、解答题10.空间四边形ABCD中,AB=CD且AB与CD所成的角为30°,E、F分别是BC、AD的中点,求EF与AB所成角的大小.11.已知棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是棱CD、AD的中点.求证1四边形MNA1C1是梯形;2∠DNM=∠D1A1C1.能力提升12.如图所示,G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线GH,MN是异面直线的图形有________填序号.13.正方体AC1中,E、F分别是面A1B1C1D1和AA1DD1的中心,则EF和CD所成的角是 A.60°B.45°C.30°D.90°1.判定两直线的位置关系的依据就在于两直线平行、相交、异面的定义.很多情况下,定义就是一种常用的判定方法.另外,我们解决空间有关线线问题时,不要忘了我们生活中的模型,比如说教室就是一个长方体模型,里面的线线关系非常丰富,我们要好好地利用它,它是我们培养空间想象能力的好工具.2.在研究异面直线所成角的大小时,通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角.将空间问题向平面问题转化,这是我们学习立体几何的一条重要的思维途径.需要强调的是,两条异面直线所成角的范围为0°,90°],解题时经常结合这一点去求异面直线所成的角的大小.作异面直线所成的角,可通过多种方法平移产生,主要有三种方法
①直接平移法可利用图中已有的平行线;
②中位线平移法;
③补形平移法在已知图形中,补作一个相同的几何体,以便找到平行线.2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系答案知识梳理1.相交直线 平行直线 异面直线2.不同在任何一个平面内3.互相平行4.平行 相等 互补5.a′∥a b′∥b 锐角或直角 直角 0°,90°]作业设计1.D2.D [异面直线不具有传递性,可以以长方体为载体加以说明a、b异面,直线c的位置可如图所示.]3.D4.B [易证四边形EFGH为平行四边形.又∵E,F分别为AB,BC的中点,∴EF∥AC,又FG∥BD,∴∠EFG或其补角为AC与BD所成的角.而AC与BD所成的角为90°,∴∠EFG=90°,故四边形EFGH为矩形.]5.B [
①④均为假命题.
①可举反例,如a、b、c三线两两垂直.
④如图甲时,c、d与异面直线l
1、l2交于四个点,此时c、d异面,一定不会平行;当点A在直线a上运动其余三点不动,会出现点A与B重合的情形,如图乙所示,此时c、d共面相交.]6.D [如图所示,取BC的中点E,连接ME、NE,则ME=AC,NE=BD,所以ME+NE=AC+BD.在△MNE中,有ME+NEMN,所以MNAC+BD.]7.60°或120°8.160° 245°解析 连接BA′,则BA′∥CD′,连接A′C′,则∠A′BC′就是BC′与CD′所成的角.由△A′BC′为正三角形,知∠A′BC′=60°,由AD∥BC,知AD与BC′所成的角就是∠C′BC.易知∠C′BC=45°.9.
①③解析 把正方体平面展开图还原到原来的正方体,如图所示,AB⊥EF,EF与MN是异面直线,AB∥CM,MN⊥CD,只有
①③正确.10.解 取AC的中点G,连接EG、FG,则EG∥AB,GF∥CD,且由AB=CD知EG=FG,∴∠GEF或它的补角为EF与AB所成的角,∠EGF或它的补角为AB与CD所成的角.∵AB与CD所成的角为30°,∴∠EGF=30°或150°.由EG=FG知△EFG为等腰三角形,当∠EGF=30°时,∠GEF=75°;当∠EGF=150°时,∠GEF=15°.故EF与AB所成的角为15°或75°.11.证明 1如图,连接AC,在△ACD中,∵M、N分别是CD、AD的中点,∴MN是三角形的中位线,∴MN∥AC,MN=AC.由正方体的性质得AC∥A1C1,AC=A1C1.∴MN∥A1C1,且MN=A1C1,即MN≠A1C1,∴四边形MNA1C1是梯形.2由1可知MN∥A1C1,又因为ND∥A1D1,∴∠DNM与∠D1A1C1相等或互补.而∠DNM与∠D1A1C1均是直角三角形的锐角,∴∠DNM=∠D1A1C1.12.
②④解析
①中HG∥MN.
③中GM∥HN且GM≠HN,∴HG、MN必相交.13.B [连接B1D1,则E为B1D1中点,连接AB1,EF∥AB1,又CD∥AB,∴∠B1AB为异面直线EF与CD所成的角,即∠B1AB=45°.]。