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3.2 简单的三角恒等变换课时目标 ,进一步体会三角变换的规律.1.半角公式1S sin=____________________;2C cos=____________________________;3T tan=______________无理形式=________________=______________有理形式.2.辅助角公式使asinx+bcosx=sinx+φ成立时,cosφ=__________________,sinφ=______,其中φ称为辅助角,它的终边所在象限由__________决定.
一、选择题1.已知180°α360°,则cos的值等于 A.-B.C.-D.2.函数y=sin+sin的最大值是 A.2B.1C.D.3.函数fx=sinx-cosx,x∈的最小值为 A.-2B.-C.-D.-14.使函数fx=sin2x+θ+cos2x+θ为奇函数的θ的一个值是 A.B.C.D.5.函数fx=sinx-cosxx∈[-π,0]的单调递增区间是 A.B.C.D.6.若cosα=-,α是第三象限的角,则等于 A.-B.C.2D.-2题 号123456答 案
二、填空题7.函数fx=sin2x--2sin2x的最小正周期是______.8.已知等腰三角形底角的余弦值为,则顶角的正弦值是________.9.已知等腰三角形顶角的余弦值为,则底角的正切值为________.
10.2002年在北京召开的国际数学家大会,会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的.弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成一个大正方形如图所示.如果小正方形的面积为1,大正方形的面积为25,直角三角形中较小的锐角为θ,那么cos2θ的值等于____.
三、解答题11.已知函数fx=sin+2sin2x∈R.1求函数fx的最小正周期;2求使函数fx取得最大值的x的集合.12.已知向量m=cosθ,sinθ和n=-sinθ,cosθ,θ∈π,2π,且|m+n|=,求cos的值.能力提升13.当y=2cosx-3sinx取得最大值时,tanx的值是 A.B.-C.D.414.求函数fx=3sinx+20°+5sinx+80°的最大值.1.学习三角恒等变换,千万不要只顾死记硬背公式,而忽视对思想方法的理解,要学会借助前面几个有限的公式来推导后继公式,立足于在公式推导过程中记忆公式和运用公式.2.辅助角公式asinx+bcosx=sinx+φ,其中φ满足
①φ与点a,b同象限;
②tanφ=或sinφ=,cosφ=.3.研究形如fx=asinx+bcosx的函数性质,都要运用辅助角公式化为一个整体角的正弦函数或余弦函数的形式.因此辅助角公式是三角函数中应用较为广泛的一个重要公式,也是高考常考的考点之一.对一些特殊的系数a、b应熟练掌握.例如sinx±cosx=sin;sinx±cosx=2sin等.§
3.2 简单的三角恒等变换知识梳理1.1± 2± 3±
2. 点a,b作业设计1.C2.B [y=2sinxcos=sinx.]3.D [fx=sin,x∈.∵-≤x-≤,∴fxmin=sin=-
1.]4.D [fx=sin2x+θ+cos2x+θ=2sin.当θ=π时,fx=2sin2x+π=-2sin2x.]5.D [fx=2sin,fx的单调递增区间为k∈Z,令k=0得增区间为.]6.A [∵α是第三象限角,cosα=-,∴sinα=-.∴===·===-.]7.π解析 fx=sin2x-cos2x-1-cos2x=sin2x+cos2x-=sin2x+-,∴T==π.
8.解析 设α为该等腰三角形的一底角,则cosα=,顶角为180°-2α.∴sin180°-2α=sin2α=2sinαcosα=2·=.9.3解析 设该等腰三角形的顶角为α,则cosα=,底角大小为180°-α.∴tan=tan====
3.
10.解析 由题意,5cosθ-5sinθ=1,θ∈.∴cosθ-sinθ=.由cosθ+sinθ2+cosθ-sinθ2=
2.∴cosθ+sinθ=.∴cos2θ=cos2θ-sin2θ=cosθ+sinθcosθ-sinθ=.11.解 1∵fx=sin2+1-cos2=2+1=2sin+1=2sin+1,∴T==π.2当fx取得最大值时,sin=1,有2x-=2kπ+,即x=kπ+k∈Z,∴所求x的集合为{x|x=kπ+,k∈Z}.12.解 m+n=cosθ-sinθ+,cosθ+sinθ,|m+n|====
2.由已知|m+n|=,得cos=.又cos=2cos2-1,所以cos2=.∵πθ2π,∴+.∴cos
0.∴cos=-.13.B [y=2cosx-3sinx==sinφcosx-cosφsinx=sinφ-x,当sinφ-x=1,φ-x=2kπ+时,y取到最大值.∴φ=2kπ++x,k∈Z∴sinφ=cosx,cosφ=-sinx,∴cosx=sinφ=,sinx=-cosφ=-.∴tanx=-.]14.解 3sinx+20°+5sinx+80°=3sinx+20°+5sinx+20°cos60°+5cosx+20°sin60°=sinx+20°+cosx+20°=sinx+20°+φ=7sin其中cosφ=,sinφ=.所以fxmax=
7.。