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第三章 三角恒等变换A时间120分钟 满分150分
一、选择题本大题共12小题,每小题5分,共60分1.cos-sincos+sin等于 A.-B.-C.D.2.函数y=sin·cos+cos·sin的图象的一条对称轴方程是 A.x=B.x=C.x=πD.x=3.已知sin45°+α=,则sin2α等于 A.-B.-C.D.4.y=sin-sin2x的一个单调递增区间是 A.B.C.D.5.已知θ是锐角,那么下列各值中,sinθ+cosθ能取得的值是 A.B.C.D.6.sin163°sin223°+sin253°sin313°等于 A.-B.C.-D.7.已知tan2θ=-2,π2θ2π,则tanθ的值为 A.B.-C.2D.或-8.函数y=sinx-cosx的图象可以看成是由函数y=sinx+cosx的图象平移得到的.下列所述平移方法正确的是 A.向左平移个单位B.向右平移个单位C.向右平移个单位D.向左平移个单位9.设a=sin17°cos45°+cos17°sin45°,b=2cos213°-1,c=,则有 A.cabB.bcaC.abcD.bac10.化简的结果是 A.B.tan2αC.D.tanα11.如图,角α的顶点在坐标原点O,始边在y轴的正半轴,终边经过点P-3,-4.角β的顶点在原点O,始边在x轴的正半轴,终边OQ落在第二象限,且tanβ=-2,则cos∠POQ的值为 A.-B.-C.D.12.设a=a1,a2,b=b1,b2.定义一种向量积a⊗b=a1,a2⊗b1,b2=a1b1,a2b2.已知m=2,,n=,0,点Px,y在y=sinx的图象上运动,点Q在y=fx的图象上运动.且满足=m⊗+n其中O为坐标原点,则y=fx的最大值A及最小正周期T分别为 A.2,πB.24πC.,4πD.,π题号123456789101112答案
二、填空题本大题共4小题,每小题5分,共20分
13.的值是________.14.已知sinα=cos2α,α∈,π,则tanα=________.15.函数y=2sinxsinx+cosx的最大值为________.16.已知α、β均为锐角,且cosα+β=sinα-β,则tanα=________.
三、解答题本大题共6小题,共70分17.10分已知tanα,tanβ是方程6x2-5x+1=0的两根,且0α,πβ.求tanα+β及α+β的值.18.12分已知函数fx=2cos2x+sin2x-4cosx.1求f的值;2求fx的最大值和最小值.19.12分已知向量a=3sinα,cosα,b=2sinα,5sinα-4cosα,α∈,且a⊥b.1求tanα的值;2求cos的值.20.12分已知函数fx=2sin2-cos2x.1求fx的周期和单调递增区间;2若关于x的方程fx-m=2在x∈上有解,求实数m的取值范围.21.12分已知函数fx=2sinxcosx+2cos2x-1x∈R.1求函数fx的最小正周期及在区间[0,]上的最大值和最小值;2若fx0=,x0∈[,],求cos2x0的值.22.12分已知0αβπ,tan=,cosβ-α=.1求sinα的值;2求β的值.第三章 三角恒等变换A答案1.D [cos-sincos+sin=cos2-sin2=cos=.]2.C [y=sin=sin=cosx,当x=π时,y=-
1.]3.B [sinα+45°=sinα+cosα·=,∴sinα+cosα=.两边平方,∴1+sin2α=,∴sin2α=-.]4.B [y=sin-sin2x=sin2xcos-cos2xsin-sin2x=-sin2x-cos2x=-sin当x=时,ymin=-1;当x=π时,ymax=1,且T=π.故B项合适.]5.A [∵0θ,∴θ+∈,又sinθ+cosθ=sin,所以sin≤1,1sinθ+cosθ≤.]6.B [sin163°sin223°+sin253°sin313°=sin90°+73°sin270°-47°+sin180°+73°sin360°-47°=cos73°-cos47°-sin73°-sin47°=-cos73°cos47°-sin73°sin47°=-cos73°+47°=-cos120°=.]7.B [∵π2θ2π,∴θπ,则tanθ0,tan2θ==-2,化简得tan2θ-tanθ-=0,解得tanθ=-或tanθ=舍去,∴tanθ=-.]8.C [y=sinx+cosx=sin∴y=sinx-cosx=sin=sin.]9.A [a=sin62°,b=cos26°=sin64°,c=sin60°.∵y=sinx,x∈为递增函数,∴cab.]10.B [原式===tan2α.]11.A[tanβ=tanπ-θ1=-tanθ1=-2,∴tanθ1=2,tanθ2=.∴tan∠POQ==-2,∴∠POQπ.∴cos∠POQ=-.]12.C [=m⊗+n=2,⊗x,y+,0=2x+,y,则xQ=2x+,yQ=y,所以x=xQ-,y=2yQ,所以y=fx=sinx-.所以最大值A=,最小正周期T=4π.]13.1解析 ∵==tan45°=1,∴=
1.14.-解析 ∵sinα=cos2α=1-2sin2α∴2sin2α+sinα-1=0,∴sinα=或-
1.∵απ,∴sinα=,∴α=π,∴tanα=-.
15.+1解析 y=2sin2x+2sinxcosx=1-cos2x+sin2x=sin2x-+1,∴ymax=+
1.16.1解析 ∵cosα+β=sinα-β∴cosαcosβ-sinαsinβ=sinαcosβ-cosαsinβ∴cosαsinβ+cosβ=sinαcosβ+sinβ∵α、β均为锐角,∴sinβ+cosβ≠0,∴cosα=sinα,∴tanα=
1.17.解 ∵tanα、tanβ为方程6x2-5x+1=0的两根,∴tanα+tanβ=,tanαtanβ=,tanα+β===
1.∵0α,πβ,∴πα+β2π,∴α+β=.18.解 1f=2cos+sin2-4cos=-1+-2=-.2fx=22cos2x-1+1-cos2x-4cosx=3cos2x-4cosx-1=3cosx-2-,x∈R.因为cosx∈[-11],所以,当cosx=-1时,fx取得最大值6;当cosx=时,fx取得最小值-.19.解 1∵a⊥b,∴a·b=
0.而a=3sinα,cosα,b=2sinα,5sinα-4cosα,故a·b=6sin2α+5sinαcosα-4cos2α=
0.由于cosα≠0,∴6tan2α+5tanα-4=
0.解之,得tanα=-,或tanα=.∵α∈,tanα0,故tanα=舍去.∴tanα=-.2∵α∈,∴∈.由tanα=-,求得tan=-或tan=2舍去.∴sin=,cos=-,cos=coscos-sinsin=-×-×=-.20.解 1fx=2sin2-cos2x=1-cos-cos2x=1+sin2x-cos2x=2sin+1,周期T=π;2kπ-≤2x-≤2kπ+,解得fx的单调递增区间为k∈Z.2x∈,所以2x-∈,sin∈,所以fx的值域为
[23].而fx=m+2,所以m+2∈
[23],即m∈
[01].21.解 1由fx=2sinxcosx+2cos2x-1,得fx=2sinxcosx+2cos2x-1=sin2x+cos2x=2sin2x+,所以函数fx的最小正周期为π.因为fx=2sin2x+在区间[0,]上为增函数,在区间[,]上为减函数,又f0=1,f=2,f=-1,所以函数fx在区间[0,]上的最大值为2,最小值为-
1.2由1可知fx0=2sin2x0+.因为fx0=,所以sin2x0+=.由x0∈[,],得2x0+∈[,],从而cos2x0+=-=-.所以cos2x0=cos[2x0+-]=cos2x0+cos+sin2x0+sin=.22.解 1tanα==,所以=.又因为sin2α+cos2α=1,解得sinα=.2因为0αβπ,所以0β-απ.因为cosβ-α=,所以sinβ-α=.所以sinβ=sin[β-α+α]=sinβ-αcosα+cosβ-αsinα=×+×=.因为β∈,所以β=.。