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第三章 三角恒等变换B时间120分钟 满分150分
一、选择题本大题共12小题,每小题5分,共60分1.sin15°cos75°+cos15°sin105°等于 A.0B.C.D.12.若函数fx=sin2x-x∈R,则fx是 A.最小正周期为的奇函数B.最小正周期为π的奇函数C.最小正周期为2π的偶函数D.最小正周期为π的偶函数3.已知α∈,π,sinα=,则tanα+等于 A.B.7C.-D.-74.函数fx=sinx-cosxx∈[-π,0]的单调递增区间是 A.[-π,-]B.[-,-]C.[-,0]D.[-,0]5.化简的结果为 A.1B.C.D.tanθ6.若fsinx=3-cos2x,则fcosx等于 A.3-cos2xB.3-sin2xC.3+cos2xD.3+sin2x7.若函数fx=sinx++asinx-的一条对称轴方程为x=,则a等于 A.1B.C.2D.38.函数y=sin2x+sin2x,x∈R的值域是 A.[-,]B.[-+,+]C.[-,]D.[--,-]9.若3sinθ=cosθ,则cos2θ+sin2θ的值等于 A.-B.C.-D.10.已知3cos2α+β+5cosβ=0,则tanα+βtanα的值为 A.±4B.4C.-4D.111.若cos=,sin=-,则角θ的终边所在的直线方程为 A.7x+24y=0B.7x-24y=0C.24x+7y=0D.24x-7y=012.使奇函数fx=sin2x+θ+cos2x+θ在[-,0]上为减函数的θ的值为 A.-B.-C.D.题号123456789101112答案
二、填空题本大题共4小题,每小题5分,共20分13.函数fx=sin22x-的最小正周期是______.14.已知sinαcosβ=1,则sinα-β=________.15.若0αβπ,且cosβ=-,sinα+β=,则cosα=________.16.函数y=sinx+10°+cosx+40°,x∈R的最大值是________.
三、解答题本大题共6小题,共70分17.10分已知sinα+=-,α∈0,π.1求的值;2求cos2α-的值.18.12分已知函数fx=2cosxsinx+2cos2x-.1求函数fx的最小正周期;2求函数fx的最大值和最小值及相应的x的值;3求函数fx的单调增区间.19.12分已知向量a=cos,sin,b=cos,-sin,且x∈[-,].1求a·b及|a+b|;2若fx=a·b-|a+b|,求fx的最大值和最小值.20.12分已知△ABC的内角B满足2cos2B-8cosB+5=0,若=a,=b且a,b满足a·b=-9,|a|=3,|b|=5,θ为a,b的夹角.1求角B;2求sinB+θ.21.12分已知向量m=-1,cosωx+sinωx,n=fx,cosωx,其中ω0,且m⊥n,又函数fx的图象任意两相邻对称轴的间距为.1求ω的值;2设α是第一象限角,且fα+=,求的值.22.12分已知函数fx=sin2xsinφ+cos2xcosφ-sin+φ0φπ,其图象过点,.1求φ的值;2将函数y=fx的图象上各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,得到函数y=gx的图象,求函数gx在[0,]上的最大值和最小值.第三章 三角恒等变换B答案1.D [原式=sin15°cos75°+cos15°sin75°=sin90°=
1.]2.D [fx=sin2x-=2sin2x-1=-cos2x,∴T==π,fx为偶函数.]3.A [∵α∈,π,sinα=,∴cosα=-,tanα==-.∴tanα+===.]4.D [fx=sinx-cosx=2sinx-.令2kπ-≤x-≤2kπ+k∈Z,得2kπ-≤x≤2kπ+k∈Z,令k=0得-≤x≤.由此可得[-,0]符合题意.]5.B [原式===sin60°=.]6.C [fsinx=3-1-2sin2x=2+2sin2x,∴fx=2x2+2,∴fcosx=2cos2x+2=1+cos2x+2=3+cos2x.]7.B [fx=sinx+-asin-x=sinx+-acos+x=sinx+-φ∴f=sin+asin=a+=.解得a=.]8.B [y=sin2x+sin2x=sin2x+=sin2x-cos2x+=sin2x-+,∵x∈R,∴-1≤sin2x-≤1,∴y∈[-+,+].9.B [∵3sinθ=cosθ,∴tanθ=.cos2θ+sin2θ=cos2θ-sin2θ+2sinθcosθ====.]10.C [3cos2α+β+5cosβ=3cosα+βcosα-3sinα+βsinα+5cosα+βcosα+5sinα+βsinα=0,∴2sinα+βsinα=-8cosα+βcosα,∴tanα+βtanα=-
4.]11.D [cos=,sin=-,tan=-,∴tanθ===.∴角θ的终边在直线24x-7y=0上.]12.D [∵fx为奇函数,∴f0=sinθ+cosθ=
0.∴tanθ=-.∴θ=kπ-,k∈Z.∴fx=2sin2x+θ+=±2sin2x.∵fx在[-,0]上为减函数,∴fx=-2sin2x,∴θ=.]
13.解析 ∵fx=[1-cos4x-]=-sin4x∴T==.14.1解析 ∵sinαcosβ=1,∴sinα=cosβ=1,或sinα=cosβ=-1,∴cosα=sinβ=
0.∴sinα-β=sinαcosβ-cosαsinβ=sinαcosβ=
1.
15.解析 cosβ=-,sinβ=,sinα+β=,cosα+β=-,故cosα=cos[α+β-β]=cosα+βcosβ+sinα+βsinβ=-×-+×=.16.1解析 令x+10°=α,则x+40°=α+30°,∴y=sinα+cosα+30°=sinα+cosαcos30°-sinαsin30°=sinα+cosα=sinα+60°.∴ymax=
1.17.解 1sinα+=-,α∈0,π⇒cosα=-,α∈0,π⇒sinα=.==-.2∵cosα=-,sinα=⇒sin2α=-,cos2α=-.cos2α-=-cos2α+sin2α=-.18.解 1原式=sin2x+cos2x=2sin2x+cos2x=2sin2xcos+cos2xsin=2sin2x+.∴函数fx的最小正周期为π.2当2x+=2kπ+,即x=kπ+k∈Z时,fx有最大值为
2.当2x+=2kπ-,即x=kπ-k∈Z时,fx有最小值为-
2.3要使fx递增,必须使2kπ-≤2x+≤2kπ+k∈Z,解得kπ-≤x≤kπ+k∈Z.∴函数fx的递增区间为[kπ-,kπ+]k∈Z.19.解 1a·b=coscos-sinsin=cos2x,|a+b|===2|cosx|,∵x∈[-,],∴cosx0,∴|a+b|=2cosx.2fx=cos2x-2cosx=2cos2x-2cosx-1=2cosx-2-.∵x∈[-,].∴≤cosx≤1,∴当cosx=时,fx取得最小值-;当cosx=1时,fx取得最大值-
1.20.解 122cos2B-1-8cosB+5=0,即4cos2B-8cosB+3=0,得cosB=.又B为△ABC的内角,∴B=60°.2∵cosθ==-,∴sinθ=.∴sinB+θ=sinBcosθ+cosBsinθ=.21.解 1由题意,得m·n=0,所以fx=cosωx·cosωx+sinωx=+=sin2ωx++.根据题意知,函数fx的最小正周期为3π.又ω0,所以ω=.2由1知fx=sin++,所以fα+=sinα++=cosα+=.解得cosα=.因为α是第一象限角,故sinα=.所以====-.22.解 1因为fx=sin2xsinφ+cos2xcosφ-sin+φ0φπ,所以fx=sin2xsinφ+cosφ-cosφ=sin2xsinφ+cos2xcosφ=sin2xsinφ+cos2xcosφ=cos2x-φ.又函数图象过点,,所以=cos2×-φ,即cos-φ=1,又0φπ,所以φ=.2由1知fx=cos2x-,将函数y=fx的图象上各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,得到函数y=gx的图象,可知gx=f2x=cos4x-,因为x∈[0,],所以4x∈[0,π],因此4x-∈[-,],故-≤cos4x-≤
1.所以y=gx在[0,]上的最大值和最小值分别为和-.。