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第二章 平面向量B时间120分钟 满分150分
一、选择题本大题共12小题,每小题5分,共60分1.已知向量a=42,b=x3,且a∥b,则x的值是 A.-6B.6C.9D.122.下列命题正确的是 A.单位向量都相等B.若a与b共线,b与c共线,则a与c共线C.若|a+b|=|a-b|,则a·b=0D.若a与b都是单位向量,则a·b=
1.3.设向量a=m-2,m+3,b=2m+1,m-2,若a与b的夹角大于90°,则实数m的取值范围是 A.-,2B.-∞,-∪2,+∞C.-2,D.-∞,2∪,+∞4.平行四边形ABCD中,AC为一条对角线,若=24,=13,则·等于 A.8B.6C.-8D.-65.已知|a|=1,|b|=6,a·b-a=2,则向量a与向量b的夹角是 A.B.C.D.6.关于平面向量a,b,c,有下列四个命题
①若a∥b,a≠0,则存在λ∈R,使得b=λa;
②若a·b=0,则a=0或b=0;
③存在不全为零的实数λ,μ使得c=λa+μb;
④若a·b=a·c,则a⊥b-c.其中正确的命题是 A.
①③B.
①④C.
②③D.
②④7.已知|a|=5,|b|=3,且a·b=-12,则向量a在向量b上的投影等于 A.-4B.4C.-D.8.设O,A,M,B为平面上四点,=λ+1-λ·,且λ∈12,则 A.点M在线段AB上B.点B在线段AM上C.点A在线段BM上D.O,A,B,M四点共线9.P是△ABC内的一点,=+,则△ABC的面积与△ABP的面积之比为 A.B.2C.3D.610.在△ABC中,=2,=2,若=m+n,则m+n等于 A.B.C.D.111.已知3a+4b+5c=0,且|a|=|b|=|c|=1,则a·b+c等于 A.-B.-C.0D.12.定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下对任意的a=m,n,b=p,q,令a⊙b=mq-np.下面说法错误的是 A.若a与b共线,则a⊙b=0B.a⊙b=b⊙aC.对任意的λ∈R,有λa⊙b=λa⊙bD.a⊙b2+a·b2=|a|2|b|2题号123456789101112答案
二、填空题本大题共4小题,每小题5分,共20分13.设向量a=12,b=23,若向量λa+b与向量c=-4,-7共线,则λ=________.14.a,b的夹角为120°,|a|=1,|b|=3,则|5a-b|=________.15.已知向量a=62,b=-4,,直线l过点A3,-1,且与向量a+2b垂直,则直线l的方程为________.16.已知向量=21,=17,=51,设M是直线OP上任意一点O为坐标原点,则·的最小值为________.
三、解答题本大题共6小题,共70分17.10分如图所示,以向量=a,=b为边作▱AOBD,又=,=,用a,b表示、、.18.12分已知a,b的夹角为120°,且|a|=4,|b|=2,求1a-2b·a+b;2|a+b|;3|3a-4b|.19.12分已知a=,-1,b=,且存在实数k和t,使得x=a+t2-3b,y=-ka+tb,且x⊥y,试求的最小值.20.12分设=25,=31,=63.在线段OC上是否存在点M,使MA⊥MB?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.21.12分设两个向量e
1、e2满足|e1|=2,|e2|=1,e
1、e2的夹角为60°,若向量2te1+7e2与e1+te2的夹角为钝角,求实数t的取值范围.22.12分已知线段PQ过△OAB的重心G,且P、Q分别在OA、OB上,设=a,=b,=ma,=nb.求证+=
3.第二章 平面向量B答案1.B [∵a∥b,∴4×3-2x=0,∴x=
6.]2.C [∵|a+b|2=a2+b2+2a·b|a-b|2=a2+b2-2a·b|a+b|=|a-b|.∴a·b=
0.]3.A [∵a与b的夹角大于90°,∴a·b0,∴m-22m+1+m+3m-20,即3m2-2m-80,∴-m
2.]4.A [∵==-=-1,-1,∴=-=-1,-1-24=-3,-5,∴·=-1,-1·-3,-5=
8.]5.C [∵ab-a=a·b-|a|2=2,∴a·b=3,∴cos〈a,b〉===,∴〈a,b〉=.]6.B [由向量共线定理知
①正确;若a·b=0,则a=0或b=0或a⊥b,所以
②错误;在a,b能够作为基底时,对平面上任意向量,存在实数λ,μ使得c=λa+μb,所以
③错误;若a·b=a·c,则ab-c=0,所以a⊥b-c,所以
④正确,即正确命题序号是
①④.]7.A [向量a在向量b上的投影为|a|cos〈a,b〉=|a|·==-=-
4.]8.B [∵=λ+1-λ=+λ-∴=λ,λ∈12,∴点B在线段AM上,故选B.]9.C [设△ABC边BC的中点为D,则==.∵=+=,∴=,∴||=||.∴=
3.]10.B [=+=+=+-=+故有m+n=+=.]11.B [由已知得4b=-3a-5c,将等式两边平方得4b2=-3a-5c2,化简得a·c=-.同理由5c=-3a-4b两边平方得a·b=0,∴a·b+c=a·b+a·c=-.]12.B [若a=m,n与b=p,q共线,则mq-np=0,依运算“⊙”知a⊙b=0,故A正确.由于a⊙b=mq-np,又b⊙a=np-mq,因此a⊙b=-b⊙a,故B不正确.对于C,由于λa=λm,λn,因此λa⊙b=λmq-λnp,又λa⊙b=λmq-np=λmq-λnp,故C正确.对于D,a⊙b2+a·b2=m2q2-2mnpq+n2p2+mp+nq2=m2p2+q2+n2p2+q2=m2+n2p2+q2=|a|2|b|2,故D正确.]13.2解析 ∵a=12,b=23,∴λa+b=λ,2λ+23=λ+22λ+3.∵向量λa+b与向量c=-4,-7共线,∴-7λ+2+42λ+3=
0.∴λ=
2.14.7解析 ∵|5a-b|2=5a-b2=25a2+b2-10a·b=25×12+32-10×1×3×-=
49.∴|5a-b|=
7.15.2x-3y-9=0解析 设Px,y是直线上任意一点,根据题意,有·a+2b=x-3,y+1·-23=0,整理化简得2x-3y-9=
0.16.-8解析 设=t=2t,t,故有·=1-2t7-t·5-2t1-t=5t2-20t+12=5t-22-8,故当t=2时,·取得最小值-
8.17.解 =-=a-b.∴=+=+=+=a+b.又=a+b.=+=+==a+b,∴=-=a+b-a-b=a-b.18.解 a·b=|a||b|cos120°=4×2×=-
4.1a-2b·a+b=a2-2a·b+a·b-2b2=42-2×-4+-4-2×22=
12.2∵|a+b|2=a+b2=a2+2a·b+b2=16+2×-4+4=
12.∴|a+b|=
2.3|3a-4b|2=9a2-24a·b+16b2=9×42-24×-4+16×22=16×19,∴|3a-4b|=
4.19.解 由题意有|a|==2,|b|==
1.∵a·b=×-1×=0,∴a⊥b.∵x·y=0,∴[a+t2-3b]-ka+tb=
0.化简得k=.∴=t2+4t-3=t+22-.即t=-2时,有最小值为-.20.解 设=t,t∈
[01],则=6t3t,即M6t3t.=-=2-6t5-3t,=-=3-6t1-3t.若MA⊥MB,则·=2-6t3-6t+5-3t1-3t=
0.即45t2-48t+11=0,t=或t=.∴存在点M,M点的坐标为21或.21.解 由向量2te1+7e2与e1+te2的夹角为钝角,得0,即2te1+7e2·e1+te
20.整理得2te+2t2+7e1·e2+7te
0.*∵|e1|=2,|e2|=1,〈e1,e2〉=60°.∴e1·e2=2×1×cos60°=1∴*式化简得2t2+15t+
70.解得-7t-.当向量2te1+7e2与e1+te2夹角为180°时,设2te1+7e2=λe1+te2λ0.对比系数得,∴∴所求实数t的取值范围是∪.
22.证明 如右图所示,∵=+=a+b,∴==a+b.∴=-=a+b-ma=-ma+b.=-=nb-ma.又P、G、Q三点共线,所以存在一个实数λ,使得=λ.∴-ma+b=λnb-λma,∴-m+λma+-λnb=
0.∵a与b不共线,∴由
①②消去λ得+=
3.。